論初中數學教學中舉反例的兩點技巧

王剛

摘要：一個錯誤概念的解決能催人奮進，一個錯誤判斷的落實能使人豁然開朗，一種錯誤的推理方法的矯正能使人回味無窮，反例教學猶如黑夜中的星辰，給人以鼓舞和希望，反例教學恰似大海中的航標燈，照亮學生避免觸及知識海洋中的暗礁，只要我們教師在教學過程中勤于積累，勇于探索，持之以恒，充分利用反例教學這一銳利武器，必定能讓師生共同分享到成功的喜悅，必定能讓師生終生受益。

關鍵詞：數學；反例；教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）09-0217-01

1.數學教學中反例的作用與地位

數學學科邏輯性強、思維嚴謹，學生在學習過程中要具有耐心、嚴謹的態度。數學要求學生具有一定的發散性思維，能夠舉一反三，通過一個例子的靈活變動掌握一系列相關的知識點。通過反例能夠提高數學課堂的針對性，加深學生對個別知識點的認知。通過反例還能夠提高學生的邏輯推理能力，從反方面驗證數學原理，提高辯證推理能力。由于我們平時接觸的命題大多數是真命題，大多數學生往往堅定信念，一往無前，總是千方百計地希望從正面證得結論成立，這就反映出學生思維品質的缺陷。而反例就是讓學生從另一個角度去思考，敢于質疑，把冥想苦思，正面不能解決的問題，以否定的方式巧妙解決。反例教學，能夠打破思維格式、彌補思維缺陷和認知結構，對于全面提升思維品質起著它獨一無二的作用。又由于反例能夠把一個很難說清、容易混淆的問題變得簡單明了、淺顯易懂，具有極強的說服力。因此它在數學教學中非常容易被學生理解接受，容易引起學生的共鳴。并且學生能把這種數學思想、數學方法潛移默化地運用到其他學科和生活領域當中，對培養學生運用數學知識的意識有著不可估量的作用。

2.反例在數學教學中的功能

2.1反例是使學生加深理解概念的重要工具。數學概念是中學數學教學的重要內容，是思維的細胞。學好數學概念是學好中學數學知識，提高數學思維能力的基礎。所以，加強數學概念的學習是中學數學教學的重要任務。事實上，現實中的中學教學的概念教學不盡人意。學生往往對數學概念缺少深刻的理解。就數學教學而言，素質教育提倡的是為理解而教。教學上需要用不同的策略處理，用不同的理論指導。就數學學習的內容而言，常規訓練是否對概念形成有作用，是否有利于理解領會，還需要從內容方面剖析概念形成的過程，要構造自己理解的概念，從而達到學習目的。

在初二學習函數定義時：在某一變化過程中，存在兩個變量x，y。當變量x在某一允許變化范圍內任取一個值。通過某種對應法則，使得都有唯一的y值與之對應，則稱y是x的函數，記作y=f（x）。其中x叫做自變量，y叫因變量。

表面上，同學們都認為這個定義不需要解釋也能明白、理解。仔細分析下來，很多學生對上述定義中"任取"和"唯一"這兩個詞語理解不透。于是教師就在此處引用幾個反例來說明所謂"任取"和"唯一"所指的具體含義。

2.2反例是否定命題的重要方法。由于反例在否定一個命題時具有特殊的重要意義。因此在教學中充分利用反例的這一特點適當地運用反例，可以收到事半功倍的效果。

例如：要說明"兩個無理數的積仍是無理數"的結論成立，只要舉出一個相反的例子駁斥它就可以了。如：因為2×=6，而6不是無理數，故這個結論不成立。

2.3反例是數學思維能力培養的重要手段。利用反例，可使學生克服思維定勢，有利于培養思維的靈活性。在教學過程中，學生在教師習慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式，即定勢。思維定勢對解決相同類型的問題有積極的作用，而對解決變形的問題則會起到消極作用。思維定勢是客觀的存在，學生的認識過程是在現有的定勢上發生的。舉反例就是一種解決問題有效的數學思維方法。利用反例，克服思維定勢，抑制產生負遷移，有助于培養思維的靈活性。

3.反例教學的重要作用

3.1培養學生思維的縝密性。數學是一門嚴謹的學科，解決數學問題的思維過程應是縝密的。教師可以把以往學生易犯的錯誤設置成反例，有針對性地培養學生思維的縝密性。

判斷：對于任意的自然數n，n2-n+11一定是質數。

對于這一題，假如從第一個自然數0開始代入驗證，我們發現結論是正確的，以后繼續代數，一直到10結論也都是正確的。學生往往還沒有代到10就已認為結論是正確的了。因為對于代值驗證的問題，我們通常能代入3、5個值驗證都已經很不錯了。這一題反例的構建需要從式子本生的角度去思考，通過對式子的觀察，大部分學生不難得出n=11時，n2-n+11就已經不是質數了。在此，常用的構造反例的特殊值法卻行不通了，因此反例構建的過程其實也是學生多角度思考問題的一個過程，注重反例教學的適當的引入不但能使學生發現錯誤和漏洞，而且還可以修補相關知識，學會多角度考慮問題，從而提高思維的全面性。

3.2培養學生的創新精神。反例構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創造性活動，是培養學生創新精神、誘發學生創造力的一種很好的載體。

判斷：底面是正三角形，側面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐。

這個命題看起來，條件比較苛刻，似乎正確性不容懷疑，但是條件"側面是等腰三角形"并不等同于條件"側面是全等的等腰三角形"。分析：底面ABC是正三角形，DA垂直于平面ABC，并且DA=AB，這樣側面△ABD，△ACD均是等腰直角三角形，△DBC是等腰三角形，符合題設諸條件。顯然此棱錐不是正三棱錐。在上述反例的探索過程中，學生在新的問題情景中，能享受到創造的樂趣，從而能激發起學習數學的興趣和刻苦鉆研數學問題的熱情和毅力，培養學生思維的創新性。

3.3培養學生思維的發散性。

在學完正多邊形以后，學生們都知道了正多邊形的一些性質，例如：正多邊形的所有的邊都相等，所有的內角都相等。為了加深對這一性質的理解，教師可以從反面進行鞏固。

判斷：（1）所有邊都相等的多邊形一定是正多邊形；（2）所有角都相等的多邊形一定是正多邊形。

（1）和（2）都是錯誤的，例如菱形和矩形。這兩個反例學生都比較容易能想到。但是，除此之外，還有沒有其余的反例呢？教師還可以做進一步的提問。顯然這時難度就增加了。其實，所有邊都相等的多邊形都是正多邊形的反例有無數多個，例如我們可以先做一個正多邊形（不是正三角形），利用這些正多邊形具有的不穩定性，它們的內角在變化的過程中就會出現邊都保持相等，但是角度卻會出現不等的情形。對于所有角都相等的多邊形是正多邊形的反例，其實也是有無數個。

在這個問題中，后面的反例的列舉難度顯然增加了，然而學生卻可以通過此題更加加深對多邊形性質正反兩方面的理解，另外列舉反例的過程也是學生發散性思維充分發揮和展示的一個過程。

總之，數學反例是數學課堂教學中一個調節器，在數學教學中，適時地引進一些反例或適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，幫助他們鞏固和掌握定理、公式和法則，培養他們思維的縝密性、靈活性、發散性、深刻性、創新性和全面性。