基于能量突變的強度折減法邊坡失穩(wěn)判據(jù)

劉新榮，涂義亮，鐘祖良，劉永權(quán)

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基于能量突變的強度折減法邊坡失穩(wěn)判據(jù)

劉新榮1, 2，涂義亮1, 2，鐘祖良1, 2，劉永權(quán)1, 2

(1. 重慶大學土木工程學院，重慶，400045；2. 重慶大學山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶，400045)

為了建立有限元強度折減法(SSR?FEM)中邊坡失穩(wěn)的能量突變判據(jù)，基于能量原理，推導強度折減過程中邊坡能量反應的計算理論，二次開發(fā)折減過程中能量反應的FLAC3D計算程序。獲得二維邊坡能量反應隨折減系數(shù)的變化規(guī)律，與常見3類失穩(wěn)判據(jù)判定的安全系數(shù)對比。并利用三維邊坡算例進一步驗證能量突變判據(jù)的適用性。研究結(jié)果表明：當邊坡達到臨界失穩(wěn)狀態(tài)時，重力勢能降、動能增量和耗散能增量均突然增大，而彈性應變能增量突然減小，表明能量突變可作為一類邊坡失穩(wěn)判據(jù)。能量突變判據(jù)具有物理意義明確、整體性強和易于判斷等優(yōu)點，尤其適用于三維邊坡。

有限元強度折減法；邊坡；失穩(wěn)判據(jù)；能量突變

有限元強度折減法具有無需假定滑動面位置和形狀、考慮了巖土體本構(gòu)關(guān)系和能夠得到邊坡變形破壞過程等優(yōu)點，因而在邊坡工程中得到了較廣泛的應 用[1?3]。但該方法仍存在一些限制其應用的缺點，如邊坡失穩(wěn)判據(jù)沒有達成統(tǒng)一。依據(jù)不同的失穩(wěn)判據(jù)判定的安全系數(shù)可能不同，甚至差異較大，因此，研究有限元強度折減法中邊坡的失穩(wěn)判據(jù)具有重要的理論意義和工程價值。目前，國內(nèi)外許多專家學者對此展開了深入的研究，根據(jù)研究內(nèi)容，他們主要從2方面展開。一方面，許多學者對當前最常見的數(shù)值計算收斂性判據(jù)[4?6]、塑性區(qū)貫通判據(jù)[7?9]和特征點位移突變判據(jù)[10?11]3類判據(jù)的影響因素、計算精度、適用條件及統(tǒng)一性等進行了研究。如，趙尚毅等[6]認為塑性區(qū)貫通是邊坡破壞的必要不充分條件，可把有限元計算是否收斂作為邊坡破壞的依據(jù)。欒茂田等[7]認為廣義塑性應變分布及其發(fā)展狀態(tài)可以作為邊坡失穩(wěn)判據(jù)。劉祚秋等[9]認為采用一定幅值的等效塑性應變從坡腳到坡頂上下貫通作為邊坡破壞的標準是適宜的。裴利劍等[12]認為常見3類失穩(wěn)判據(jù)本質(zhì)上具有一致性和統(tǒng)一性，人為誤判和數(shù)值計算誤差是導致各判據(jù)判定結(jié)果差異的原因。另一方面，一些專家學者在常見3類失穩(wěn)判據(jù)的基礎(chǔ)上，提出了新的失穩(wěn)判據(jù)。如劉曉宇 等[13]提出局部化帶貫通判據(jù)；鄭穎人等[14]通過算例分析，提出了剪切應變增量判據(jù)；吳春秋等[15]提出了動力學失穩(wěn)判據(jù)，并證明了該判據(jù)的優(yōu)點；柴紅保等[16]認為彈性應變能隨折減系數(shù)的變化規(guī)律可以作為邊坡失穩(wěn)判據(jù)。以往的失穩(wěn)判據(jù)主要是從應力?應變和強度變形等角度進行研究，而邊坡巖土體作為一種復雜的非線性材料，注定其變形失穩(wěn)過程的應力?應變狀態(tài)非常復雜，從而，有可能給這些失穩(wěn)判據(jù)的研究帶來困難[16]。事實上，邊坡在變形失穩(wěn)過程中，始終與外部環(huán)境交換著能量，且遵循能量守恒定律，邊坡發(fā)生失穩(wěn)的根本原因是能量的驅(qū)動作用。本文作者基于能量原理，推導有限元強度折減過程中邊坡能量反應的計算理論，分析折減過程中各能量的反應變化，建立基于能量突變的失穩(wěn)判據(jù)，并通過算例分析驗證該失穩(wěn)判據(jù)的適用性。

1 能量突變失穩(wěn)判據(jù)的建立

1.1 邊坡變形失穩(wěn)過程的能量反應分析

利用能量原理研究邊坡的變形失穩(wěn)過程，首先需要確定1個研究體系。通常可以將承受力、熱、光、電、生物和化學等作用的邊坡作為研究對象，而邊坡存在的空間稱為外部環(huán)境[17]。

邊坡體系與外部環(huán)境處于動態(tài)平衡的能量場中，外部環(huán)境通過力、位移和溫度等對邊坡的約束作用本質(zhì)上是能量的輸入、傳遞、轉(zhuǎn)化和耗散過程。而邊坡巖土體既是能量傳遞的介質(zhì)，又是能量轉(zhuǎn)化和耗散的載體。外荷載、自重應力、溫度、電磁輻射等作用在邊坡上，以機械能、內(nèi)能和輻射能等能量形式輸入到邊坡內(nèi)。輸入的能量一部分使邊坡產(chǎn)生彈性變形，并以彈性應變能的形式存儲于巖土體內(nèi)，另一部分被邊坡巖土體的塑性變形、內(nèi)部損傷、各種聲熱及電磁輻射等耗散。但邊坡承受輸入能量的能力有限，即邊坡巖土體所能存儲的彈性應變能和所能耗散的能量有限[17]。當輸入的總能量大于所能承受能量時，多余的能量將轉(zhuǎn)化為邊坡動能，而此時邊坡表現(xiàn)為滑動破壞。邊坡能量的輸入、傳遞、轉(zhuǎn)化和耗散過程始終處于動態(tài)平衡狀態(tài)，并且遵循能量守恒定律，即外界輸入的總能量等于邊坡體系存儲的能量、耗散的能量和輸出的能量總和，可表示為

式中：Δ為外荷載、自重應力等對邊坡所做的機械功；Δt為環(huán)境溫度、電磁輻射等輸入到邊坡內(nèi)的熱能；Δe為邊坡彈性應變能增量；Δd為邊坡耗散能增量；Δk為邊坡動能增量。

1.2 邊坡強度折減過程的能量計算

在有限元強度折減過程中，邊坡體系的能量反應滿足能量守恒定律。通常折減過程只考慮自重應力的作用，忽略外部荷載、環(huán)境溫度、聲輻射和電磁輻射等的影響，即Δt=0 J。因此，由式(1)可得，對于任意的折減系數(shù)，邊坡體系的能量平衡方程可簡化為

以邊坡體系中任意單位體積的單元為研究對象，單元處于3向應力狀態(tài)，若3個主應力分別為1，2和3，主應變分別為1，2和3，單元重心的速度和在鉛垂方向的高度分別為和，材料彈性模量和泊松比分別為和，密度為，則單元所存儲的重力勢能g、彈性應變能e和動能k為：

邊坡中的應力?應變、速度?位移及材料參數(shù)等并非均勻分布，而是坐標的函數(shù)。因此，由式(3)~(5)可求整個邊坡體系存儲的重力勢能g、彈性應變能e和動能k，即

由式(6)~(8)可求邊坡從初始狀態(tài)到折減系數(shù)為過程中，體系的重力勢能降Δg、彈性應變能增量Δe和動能增量Δk，如式(9)~(11)所示。

將式(9)~(11)代入式(2)，得邊坡從初始狀態(tài)到折減系數(shù)為過程中，邊坡的耗散能增量為

1.3 邊坡強度折減過程的能量反應分析

為了研究邊坡強度折減過程的能量反應，采用文獻[6?8]中的邊坡算例進行分析，如圖1所示。土體為服從摩爾?庫侖屈服準則與非關(guān)聯(lián)流動法則的理想彈塑性材料，土的重度=20 kN/m3，黏聚力=42 kPa，內(nèi)摩擦角=17°，彈性模量=100 MPa，泊松比=0.3。采用FLAC3D軟件分析，建立平面應變模型，厚度為1 m，共包含1 842個節(jié)點和850個單元。邊界條件為邊坡兩側(cè)水平約束，底部固定約束。特征點1~3分別位于邊坡坡頂、坡中和坡腳。收斂條件為最大不平衡力與節(jié)點力平均值之比小于10?5。

單位：m

利用強度折減法折減材料強度參數(shù)，采用FLAC3D內(nèi)嵌的FISH語言，根據(jù)式(9)~(12)編制折減系數(shù)下邊坡重力勢能降Δg、彈性應變能增量Δe、動能增量Δk和耗散能增量Δd的計算程序，并提取特征點1的豎直方向位移Δ1z和特征點2的水平方向位移Δ2x。表1所示為程序的部分計算結(jié)果。

表1 部分折減系數(shù)下邊坡的特征點位移和各能量增量

利用數(shù)值計算收斂性判據(jù)、特征點位移突變判據(jù)和塑性區(qū)貫通判據(jù)判定邊坡安全系數(shù)。

由表1可知：當折減系數(shù)為1.23時，計算收斂；當折減系數(shù)為1.24 時，計算將不收斂，因此，采用數(shù)值計算收斂性判據(jù)判定邊坡的安全系數(shù)等于1.24。

作出折減系數(shù)?特征點位移Δ曲線，如圖2所示，位移以向右和向上為正。由圖2可知：當折減系數(shù)從1.22增至1.23時，特征點位移發(fā)生突變。因此，采用特征點位移突變判據(jù)判定該邊坡的安全系數(shù)應等于1.23。

1—特征點1豎直方向位移；2—特征點2豎直方向位移；3—特征點2水平方向位移。

觀察各折減系數(shù)下邊坡的等效塑性應變云圖，當折減系數(shù)為1.21時，塑性區(qū)尚未貫通；當折減系數(shù)為1.22時，塑性區(qū)完全貫通；當折減系數(shù)為1.23時，邊坡沿著塑性區(qū)產(chǎn)生較大滑動，如圖3所示。因此，采用塑性區(qū)貫通判據(jù)判定邊坡的安全系數(shù)應等于1.22。

F：(a) 1.21；(b) 1.22；(c) 1.23

為了分析邊坡能量反應隨折減系數(shù)的變化規(guī)律，作折減系數(shù)?邊坡能量增量曲線，如圖4所示。

(a) 所有能量增量；(b) 彈性應變能增量；(c) 動能增量

由圖4和表1可發(fā)現(xiàn)：1) 重力勢能降隨著折減系數(shù)增大而增大，當折減系數(shù)小于1.24時，其增長速度比較平穩(wěn)，當折減系數(shù)大于1.24時，增長速度突然增大；2) 重力勢能降絕大部分轉(zhuǎn)化為耗散能，且耗散能隨折減系數(shù)的變化規(guī)律近似于重力勢能降的變化規(guī)律，當折減系數(shù)為1.24時，曲線出現(xiàn)拐點；3) 重力勢能降僅有一小部分轉(zhuǎn)化為彈性應變能，且彈性應變能增量隨折減系數(shù)的變化規(guī)律表現(xiàn)為先增大后減小，當折減系數(shù)為1.24時，彈性應變能增量達到峰值；4) 當折減系數(shù)小于1.24時，邊坡的動能極小，考慮FLAC3D計算的誤差，可以認為此時邊坡的動能為 0 J，當折減系數(shù)大于1.24時，動能突然增大到不可忽略的水平。綜上所述，當折減系數(shù)為1.24時，4種能量增量都出現(xiàn)了明顯的突變。

事實上，在強度折減過程中，邊坡的能量反應與穩(wěn)定性存在密切的關(guān)系。折減過程中輸入邊坡的能量全部來自重力勢能降，其一部分因材料的塑性變形而耗散，另一部分以彈性應變能的形式存儲于材料內(nèi)部。重力勢能降隨著折減系數(shù)的增大而平穩(wěn)增大，轉(zhuǎn)化成的彈性應變能和耗散能也將平穩(wěn)增大。但邊坡存儲和耗散能量的能力是有限的，當重力勢能降增大到這一極限能量時，邊坡達到臨界失穩(wěn)狀態(tài)；當重力勢能降進一步增大時，多余的能量將轉(zhuǎn)化為動能，滑體由靜止變成運動，邊坡發(fā)生失穩(wěn)破壞。重力勢能降因滑體的突然滑動而突然增大；邊坡滑動將耗散大量的能量，耗散能也將突然增大；而邊坡所存儲的彈性應變能將得到釋放，彈性應變能突然減小。

因此，可以利用邊坡的重力勢能降、耗散能增量、彈性應變能增量和動能增量的突變作為強度折減法的失穩(wěn)判據(jù)。采用能量突變判據(jù)可判定上述邊坡的安全系數(shù)應等于1.24，與常見3類失穩(wěn)判據(jù)判定的安全系數(shù)非常接近。

2 有限元算例驗證

前文通過分析一個簡單的算例并不足以說明能量判據(jù)的適用性，為了不失一般性，防止分析計算的偶然因素影響，下面將利用前面的方法進一步分析2個算例，以驗證能量突變判據(jù)的適用性。

2.1 算例一

本算例采用圖1所示的計算模型，材料參數(shù)和邊界條件完全不變，幾何尺寸除坡角改變外，其他均不變。分別計算坡角為 30°，35°，40°，45°和 50°時，邊坡的安全系數(shù)。

通過計算得到不同坡角邊坡的折減系數(shù)?能量增量關(guān)系曲線如圖5所示。根據(jù)不同的失穩(wěn)判據(jù)判定的安全系數(shù)如表2所示。由表2可知：基于能量突變判據(jù)判定的安全系數(shù)與常見的3類失穩(wěn)判據(jù)判定的安全系數(shù)近似相等。

(a) 重力勢能降；(b) 耗散能增量；(c) 彈性應變能增量；(d) 動能增量坡角/(°)：1—30；2—35；3—40；4—45；5—50。

表2 不同失穩(wěn)判據(jù)下各坡度邊坡的安全系數(shù)

2.2 算例二

三維邊坡模型如圖6所示，邊坡材料為服從摩 爾?庫侖屈服準則與非關(guān)聯(lián)流動法則的理想彈塑性材料，重度=25 kN/m3，黏聚力=100 kPa，內(nèi)摩擦角=45°，剪切模量=200 MPa，體積模量=100 MPa。采用FLAC3D軟件分析，建立模型共包含5 394個節(jié)點和4 510個單元。邊界條件為邊坡前后左右4個面水平約束，底部固定約束，特征點1~3如圖6所示。收斂條件為最大不平衡力與節(jié)點力平均值小于10?5。

單位：m

采用強度折減法計算該邊坡安全系數(shù)，根據(jù)數(shù)值計算收斂性判據(jù)可判定邊坡安全系數(shù)為2.25。折減系數(shù)?特征點位移曲線如圖7所示。由圖7可知：當折減系數(shù)從2.23增為2.24時，特征點1和特征點2均發(fā)生了較大的位移突變，因此采用特征點位移突變判據(jù)判定邊坡的安全系數(shù)應等于2.24。圖8所示為邊坡的等效塑性應變云圖。由圖8可知：當折減系數(shù)為2.23時，塑性區(qū)尚未貫通；當折減系數(shù)為2.24時，塑性區(qū)完全貫通，因此采用塑性區(qū)貫通判據(jù)判定該邊坡的安全系數(shù)應等于2.24。

1—特征點1X方向位移；2—特征點1Z方向位移；3—特征點2X方向位移；4—特征點2Z方向位移。

單位：m

折減系數(shù)?能量增量曲線如圖9所示。從圖9可發(fā)現(xiàn)：當折減系數(shù)從2.23增為2.24時，重力勢能降、耗散能增量、動能增量突然增大，因此，采用重力勢能降、耗散能增量、動能增量突變判據(jù)判定該邊坡的安全系數(shù)應約等于2.24；當折減系數(shù)增為2.25時，彈性應變能增量突然減小，因此采用彈性應變能增量突變判據(jù)判定該邊坡的安全系數(shù)應約等于2.25。

(a) 所有能量增量；(b) 彈性應變能增量；(c) 動能增量

通過前面的分析可得三維邊坡的安全系數(shù)如表3所示。由表3可得：基于能量突變判據(jù)判定的安全系數(shù)與常見的3類失穩(wěn)判據(jù)判定的安全系數(shù)近似相等，證明能量突變判據(jù)具有一定的適用性。

表3 不同判據(jù)判定的三維邊坡安全系數(shù)

與常見失穩(wěn)判據(jù)相比，能量突變判據(jù)以邊坡整體作為研究對象，無需考慮邊坡復雜的應力應變、強度位移和滑動面的位置和形狀，只需定量計算折減過程中的能量變化，通過各能量突變來判定安全系數(shù)。該判據(jù)具有物理意義較明確、整體性較強和判斷簡易等優(yōu)點，尤其適用于三維邊坡。

3 結(jié)論

1) 邊坡變形失穩(wěn)的根本原因是能量的驅(qū)動作用。在強度折減過程中，輸入邊坡的重力勢能降大部分轉(zhuǎn)化為耗散能，少部分存儲為彈性應變能。邊坡耗散和存儲能量的能力是有限的，當重力勢能降大于耗散能加彈性應變能之和時，多余的能量轉(zhuǎn)化為動能，表現(xiàn)為邊坡出現(xiàn)滑動破壞。

2) 邊坡達到臨界失穩(wěn)狀態(tài)之前，隨著折減系數(shù)增大，重力勢能降、彈性應變能增量和耗散能增量均平穩(wěn)增大，而動能保持為0 J。邊坡達到臨界失穩(wěn)狀態(tài)時，各能量均出現(xiàn)突變。其中，重力勢能降和耗散能增量增長速度均突然增大，動能突然從0 J增大到一定數(shù)值，而彈性應變能增量則突然減小。

3) 通過二維邊坡和三維邊坡算例分析，發(fā)現(xiàn)利用能量突變來判定的安全系數(shù)與常見3類失穩(wěn)判據(jù)得到的安全系數(shù)近似相等，表明能量突變可以作為邊坡失穩(wěn)判據(jù)，具有一定的適用性。

4) 能量突變判據(jù)以邊坡整體作為研究對象，無需考慮邊坡復雜的應力應變、強度位移和滑動面位置與形狀，整體性較強，物理意義較明確，尤其適用于三維邊坡。

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(編輯 劉錦偉)

Slope’s failure criterion based on energy catastrophe in shear strength reduction method

LIU Xinrong1, 2, TU Yiliang1, 2, ZHONG Zuliang1, 2, LIU Yongquan1, 2

(1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area(Chongqing University),Ministry of Education, Chongqing 400045, China)

In order to establish the slope’s failure criterion of energy catastrophe in finite element method with shear strength reduction (SSR?FEM), the theory for calculating the slope’s energy response was deduced based on the energy principle, and the procedure for calculating the energy response was re-developed with FLAC3D in the process of SSR?FEM. Then, the variation law of the energy response of the two-dimensional slope with the reduction factor was obtained, which was compared with the safety factors judged by the three common failure criteria. Finally, the applicability of energy catastrophe criterion was verified by a three-dimensional slope example. The results show that the gravitational potential energy decrement, kinetic energy increment and dissipated energy increment all increase suddenly when the slopes reach the state of critical failure, but the elastic strain energy increment contrariwise decreases. Thus, the energy catastrophe can be used as a slope failure criterion. The energy catastrophe criterion possesses some advantages, such as definite physical meaning, strong integrity and easy to judge. Moreover, it is especially suitable for three- dimensional slopes.

strength reduction finite element method; slope; failure criterion; energy catastrophe

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.06.034

TU4

A

1672?7207(2016)06?2065?08

2015?06?09；

2015?08?03

國家自然科學基金資助項目(51108485，41372356)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20110191120033)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費科研專項基金資助項目(CDJZR12200012)(Projects(51108485, 41372356) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(20110191120033) supported by the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China; Project(CDJZR12200012) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

涂義亮，博士，從事邊坡工程理論、試驗和數(shù)值計算研究；E-mail：tyl_ok@126.com