彈性支撐旋轉Timoshenko梁動力學特性

黃意新，趙　陽，田　浩，李慧通

彈性支撐旋轉Timoshenko梁動力學特性

黃意新，趙陽，田浩，李慧通

（哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001）

為研究彈性支撐旋轉梁動力學特性隨轉速及彈性支撐參數變化規律，考慮剪切效應、轉動慣量和陀螺效應，采用Hamilton原理推導旋轉Timoshenko梁動力學方程，應用Chebyshev譜方法獲得系統渦動頻率與模態振型數值解。結果表明，在高速轉動狀態下陀螺效應、支撐結構剛度對Timoshenko梁動力學特性有顯著影響；各階固有頻率隨著轉速增加而分成正向渦動頻率與反向渦動頻率，高階頻率變化幅度更大；渦動頻率隨支撐結構直線剛度增加而呈階梯狀變化，當直線剛度增加到一定值后系統渦動頻率將保持穩定；隨著支撐結構轉動剛度增加，渦動頻率出現一個最小值與最大值，前者低于自由邊界條件下頻率值，后者高于固定邊界條件下頻率值。相關結果可用于各類旋轉梁機構的設計與優化。

振動與波；旋轉Timoshenko梁；彈性支撐；Chebyshev譜方法；陀螺效應；渦動頻率

旋轉梁結構廣泛應用于各類工程機械中，包括燃氣輪機、衛星、發動機及各類機床設備等，其動力學特性對機械效率與加工精度至關重要［1-2］。隨著高速切削等加工技術的發展，各類旋轉梁結構轉速逐漸升高，可達180 000 r/min［3］。由于旋轉運動產生的離心力及科氏力效應，旋轉梁的固有頻率、模態振型及動力學響應均與非旋轉梁不同［4］。隨著轉速增加，梁的振動幅度可能增大，影響設備穩定性與精度，甚至造成損壞。因此，在精密旋轉機械設計與制造中，需要對旋轉梁的渦動頻率、模態振型、臨界轉速等動力學特性進行準確分析。

對于高速旋轉的非細長梁，需要考慮其剪切效應與轉動慣量效應，因此需要采用Timoshenko梁理論［5］。目前對旋轉Timoshenko梁動力學特性的研究多集中于自由、固支、鉸支等一般邊界條件，工程中軸系設計多半是根據剛性安裝狀態進行設計［6］，而實際工程中支撐結構并非完全剛性支撐，彈性支撐邊界條件對系統動力學特性有顯著影響［7-8］，因此有必要對彈性支撐旋轉梁的動力學特性作系統分析。由于旋轉運動引起的附加效應，如陀螺效應，使得旋轉梁的分析變得更為復雜，增加了控制方程的數值求解難度［9］。譜方法是繼差分法和有限元法之后又一種重要的數值方法，它用在整個區間都非零的連續函數的線性組合來逼近精確解，其精度可直接由級數展開式的項數來決定，具有指數收斂特性，常被視為具有“無窮階”收斂性，當真解足夠光滑時，采用譜方法可以得到很好的效果。譜方法可應用于微分方程數值求解［10］，梁動力學問題分析等［11］。從函數近似的角度看，譜方法可以分為Fourier方法，Chebyshev或Legendre方法。前者適用于周期性問題，后者適用于非周期性問題。

本文采用Timoshenko梁理論和Hamilton原理推導彈性支撐旋轉Timoshenko梁動力學方程，采用Chebyshev譜方法數值求解旋轉梁渦動頻率、模態振型，研究分析了轉速、彈性支撐剛度等參數對旋轉梁動力學特性的影響。

1　動力學模型

圖1為一等截面旋轉梁，長度為L，密度為ρ，圓截面半徑為r，面積為A，以恒定角速度Ω旋轉，XYZ為固定直角坐標系，Z軸與變形前的梁中線重合。轉動坐標系xyz隨梁以角速度Ω旋轉，z軸與Z軸重合。坐標系ξηζ為局部正交坐標系，原點位于截面微元中心。梁兩端與支撐結構的連接采用直線彈簧和轉動彈簧表示，kx0、kxL分別為梁兩端連接處x方向的直線剛度，ky0、kyL為梁兩端連接處y方向的直線剛度，kαx0、kαxL為xoz平面內轉動剛度，kαy0、kαyL為yoz平面內轉動剛度，在圖中沒有繪出。

圖1　彈性支撐旋轉梁模型

采用Timoshenko梁模型，變形后微元質心矢徑在坐標系xyz中可表示為

式中ix、iy、iz是坐標系xyz的基向量，wx、wy為微元中心沿x、y方向的彈性變形。則質心平動速度為

系統平動動能為

Timoshenko梁微元段變形如圖2所示，剪切角β與彎曲變形角α關系為

圖2　梁微元彎曲與剪切變形

由于梁的彎曲，微元分別繞x、y軸轉動角度αx、αy，則微元角速度可表示為

式中ωξ、ωη、ωζ分別為微元繞ξ、η、ζ軸轉動的角速度。由歐拉運動學方程可得

基于小變形假設，式（6）可簡化為

則系統轉動動能為

系統動能由平動動能和轉動動能兩部分組成

旋轉梁變形勢能由彎曲變形能與剪切變形能組成，考慮式（4），變形能可表示為

式中E為楊氏模量，G為剪切模量，κ為剪切系數。

fx、fy、Mx、My為作用在梁上的分布作用力和力矩，則非保守力所作虛功為

彈性支撐邊界條件可表示為在z=0，L時有

2　動力學方程分析

2.1Chebyshev譜方法

根據譜方法中級數展開方法的不同，譜方法分為Fourier方法和Chebyshev方法等，本文中采用Chebyshev多項式作為級數展開時的基函數，即Chebyshev譜方法。Chebyshev多項式有兩類，本文采用第一類Chebyshev多項式，它是一類遞歸正交多項式，其第k項可表示為

且滿足遞推關系

式中x∈［-1，1］。函數y（x）的N-1階Chebyshev多項式逼近為

Chebyshev多項式導數

式中k＞1，由式（17）、（20）可得

多項式系數bk組成N維向量b

式中變換矩陣D可由式（20）、（21）獲得。綜合式（21）、（22）可得函數y（x）的n階導數值

Qn為n階Chebyshev微分矩陣。根據式（23），可由函數y（x）采樣點值求得其在采樣點處的各階空間導數值。

2.2離散動力學方程

由式（13）及式（23）可得旋轉Timoshenko梁動力學方程的離散形式為

式中wx、wy、αx、αy均為N維列向量，其元素分別為wx、wy、αx、αy在N個采樣點上的值，I為N階單位矩陣。

定義

則旋轉Timoshenko梁離散力學方程可表示為

2.3彈性支撐邊界條件

彈性支撐邊界條件（14）的離散形式可表示為BEq=0，即

對于任意滿足式（32）的解q可表示為

3　算例

數值計算采用如下參數：L=1.3 m，r=0.05m，κ=0.88，ρ=7 800?kg/m3，E=2.0×1011N/m2，G= 7.7×1010N/m2。圖3（a）為Ω=10 000 r/min，kx0= kxL=2×109N/m，kα0=kαL=2×109N?m/rad時旋轉梁前3階反向渦動與正向渦動模態振型（正向渦動方向與梁旋轉方向一致，反向渦動頻率則與之相反），二者基本一致，有微小的不同。圖3（b）為彈簧剛度變為 kx0=kxL=5×109N/m，kα0=kαL=5×109N?m/rad時的渦動模態振型，二者對比可以看出相較于剛性支撐兩端固支時，其兩端位移均不再為零，且隨著支撐剛度的降低而增大。

圖3　前3階渦動模態振型

圖4　渦動頻率隨轉速變化規律

圖6為旋轉Timoshenko梁前3階固有頻率隨轉動剛度kα0、kαL的變化規律，Ω=10 000 r/min時，從圖中可以看出，各階正、反渦動頻率隨轉動剛度變化存在兩個極值，在二者之間各階頻率隨轉動剛度增大而增大，當達到最大值后逐漸降低收斂于剛性支撐下的相應頻率值。為保證彈性支撐旋轉梁動力學特性穩定，轉動剛度應大于頻率最大值對應的轉動剛度kup，此外還可以利用此特性需獲得比剛性支撐條件下更高的固有頻率特性或比自由邊界條件下更低的固有頻率。

圖5　Ω=10 000 r/min時直線剛度對渦動頻率的影響

圖6　Ω=10 000 r/min時轉動剛度對渦動頻率的影響

4　結語

本文推導了旋轉Timoshenko梁的動力學方程，通過Chebyshev譜方法獲得了彈性支撐邊界條件下各階渦動頻率與模態振型，得出以下結論。

（1）彈性支撐條件下旋轉梁渦動頻率與模態振型與剛性支撐不同，各階模態振型邊界處振幅不為零，且隨支撐剛度的降低而增大。

（2）旋轉梁固有頻率隨著轉速的增大而分成正向渦動頻率、反向渦動頻率兩部分，正向渦動頻率隨著轉速的增大而增大，反向渦動頻率隨著轉速的增大而減小，其相對于非旋轉梁固有頻率的比值隨著頻率的階次增大而增大。

（3）存在一直線剛度值區間，低于此區間時，旋轉梁各階頻率幾乎不變，高于此區間時各階頻率亦幾乎不變，在此區間內，各階頻率隨著剛度的增大而增大，為保證系統動力學特性穩定，應保證支撐直線剛度高于此區間并保有一定余量。

（4）存在一轉動剛度區間，在此區間內各階固有頻率達到最大值和最小值，低于或高于此區間值，各階頻率隨轉動剛度的變化而變化很小，為保證系統動力學特性穩定，應保證支撐結構轉動剛度高于此區間，此外可利用此特性獲得比剛性支撐更高的固有頻率或比自由邊界條件下更低的固有頻率。

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Dynamic Characteristics of a Spinning Timoshenko Beam with Elastic Supports

HUANG Yi-xin，ZHAOYang，TIANHao，LI Hui-tong
（School ofAstronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

The dynamic characteristics of a spinning Timoshenko beam with elastic supports are investigated.The model of the beam is built and the rotatory inertia，shear effects and gyroscopic effects are considered.The governing equation is derived based on the extended Hamilton's principle and is numerically solved by Chebyshev spectral method，and the natural frequencies and modals are obtained.It is shown that the gyroscopic effects and the support stiffness have a significant effect on the dynamic characteristics of the spinning Timoshenko beam.The natural frequencies are split into forward whirl speed and backward whirl speed，the distinction between the forward and backward whirl speeds becomes more obvious for higher order modes.The whirling speeds vary in step-wise with translational spring stiffness increasing and become stable when the stiffness exceeds a critical value.Two extremum values appear as the rotational stiffness increasing，the minimal value is smaller than the corresponding value under the free boundary condition and the maximum value is bigger than the corresponding value under the fixed boundary condition.The results can be used for designing and optimizing the mechanism of rotating beams.

vibration and wave；spinning Timoshenko beam；elastic supports；Chebyshev spectral method；gyroscopic effects；whirling speeds

O326

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.002

1006-1355（2016）03-0006-05+15

2015-12-25

國家重點基礎研究發展973計劃資助項目（2013CB733004）

黃意新（1987-），男，湖南衡陽人，博士生，主要研究方向為航天器結構動力學。E-mail：huangyixin87@126.com