分數階Chen系統的控制與反相延遲同步

吉枳霖，鄭永愛

（揚州大學江蘇揚州225127）

分數階Chen系統的控制與反相延遲同步

吉枳霖，鄭永愛

（揚州大學江蘇揚州225127）

分數階混沌系統在保密通信和振蕩器設計等領域有著巨大的應用前景。利用分數階線性系統的穩定性理論分析了分數階Chen混沌系統在平衡點處的局部穩定性。設計線性反饋控制并依據分數階Routh-Hurwitz準則實現了分數階Chen系統的混沌控制，提供了抑制混沌到不穩定平衡點的充分條件。結合反相同步和延遲同步，提出了分數階系統的反相延遲同步，并設計相應的非線性控制器實現了分數階Chen系統的反相延遲同步。數值仿真結果表明了該方法的有效性和可行性。

分數階Chen系統；混沌控制；分數階赫爾維茨判據；反相延遲同步

分數階微積分起源于17世紀，其發展幾乎與整數階微積分具有同樣長的歷史。分數階微積分實際是整數階微積分的推廣，分數階微積分的記憶性和遺傳性更能反映系統呈現的工程物理現象，從而促進了分數階系統的研究和發展。

由于分數階混沌系統在保密通信和振蕩發生器設計等領域有著巨大的應用前景，分數階混沌系統的控制與同步已成為混沌和控制領域的研究熱點。隨著對分數階混沌理論的深入研究，人們從不同角度提出了多種分數階混沌系統控制和同步的方法，例如，利用分數階Routh-Hurwitz準則和選擇特定的線性反饋控制器，文獻［1］控制分數階Newton-Leipnik系統到它的平衡點；進一步結合分數階穩定性理論，實現了分數階Newton-Leipnik系統的混合投影同步。結合廣義T-S模糊模型和自適應調節機制，文獻［2］提出了控制分數階混沌系統的一種簡單但非常有效的方法。基于分數階系統穩定性理論和非線性動力學理論，文獻［3］構造出相應的非線性控制器，實現了兩個維數不同，分數階次不相等異結構混沌系統與超混沌系統的完全同步與反相同步。通過設計非線性時延觀察器，文獻［4］分別實現了整數階Rossler混沌系統和Chua混沌系統的延遲同步。基于分數階線性系統的穩定性理論，結合反饋控制和主動控制方法，文獻［5］提出了實現分數階混沌系統延遲同步的一種新方法。

文中首先利用分數階線性系統的穩定性理論分析了分數階Chen混沌系統在平衡點處的局部穩定性。設計線性反饋控制實現了對分數階Chen系統的混沌控制，并利用分數階Routh-Hurwitz準則求出了控制參數的取值范圍，避免了每取一組值就要代入公式進行驗算，加強了取值的明確性。然后，再結合反相同步和延遲同步提出了分數階反相延遲同步。通過設計非線性反饋控制器實現了分數階Chen系統的反相延遲同步，從理論上證明了該方案的可行性。利用預估-校正算法［6-7］對分數階Chen系統進行的數值模擬驗證了該方案的有效性。

1　分數階微積分定義

盡管分數階微積分有Riemann-Liouville（R-L）定義和Caputo定義兩種常用定義，下面是經常使用的Caputo定義：

在這里m是不小于α的第一個整數，y（m）表示m階導數，yβ表示如下β階R-L積分算子：通常表示α階微分算子，Γ（·）是Gamma函數。

2　分數階Chen混沌系統的控制

描述如下三維分數階Chen混沌系統：

這里0＜q≤1。利用分數階微分方程的預估-校正算法進行數值仿真。取a=35，b=3，c=28，q=0.9，初始值為（x，y，z）=（2，1，3），時間步長h=0.01，圖1呈現了Chen混沌系統（3）的混沌吸引子。

圖1　分數階Chen系統的吸引子相空間

下面給出分數階Routh-Hurwitz準則，考慮三維分數階系統：

其中q∈（0，1］。上述系統（4）在平衡點處的Jacobian矩陣為：

在平衡點處的特征方程為：

判別式為：

引理1：分數階系統（4）是局部漸近穩定的當且僅當在平衡點處的Jacobian矩陣（5）的任意特征值λ滿足|arg（λ）|＞

引理2（分數階Routh-Hurwitz準則）［8］：

（i）若D（P）＞0，則系統（4）的平衡點是局部漸近穩定的充分必要條件是a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0。

（ii）若D（P）＜0，a1≥0，a2≥0，a3＞0，則當α＜2/3時，系統（4）的平衡點是局部漸近穩定的；若D（P）＜0，a1＜0，a2＜0，a＞2/3，則方程（6）的所有根滿足

（iii）若D（P）＜0，a1＞0，a2＞0，a1a2-a3=0，則對于0＜q≤1，系統（4）的平衡點是局部漸近穩定的。

（iv）系統（4）的平衡點局部漸近穩定的必要條件是a3＞0。

我們首先來討論系統（1）的平衡點的穩定性。當參數a= 35，b=3，c=28時，系統（3）有3個平衡點：

性質1：當參數a=35，b=3，c=28時，對于任意的q∈（0，1］，系統（3）的平衡點E1始終是不穩定的。

證明:當參數a=35，b=3，c=28時，系統（3）在平衡點E1處的特征多項式為：

式（8）的特征值為：λ1=-30.8359，λ2=23.8359，λ3=-3.0000。因為λ2＞0，根據引理1，對于任意的q∈（0，1］，平衡點E1是不穩定的。

性質2：當參數a=35，b=3，c=28時，如果q＜0.8244，系統（3）的平衡點E2或者E3是漸近穩定的；如果q＞0.8244，系統（3）的平衡點E2或者E3是不穩定的。

證明：當參數a=35，b=3，c=28時，根據系統（3）的平衡點E2或者E3得到特征多項式：

上式（9）的特征值為：

這里λ1是個負實數。根據引理1，當q＜2|arg（λi）|/π≈0.8244（i=2，3）時，系統（3）的平衡點E2或者E3是漸近穩定的。如果q＞0.8244，系統（3）的平衡點E2或者E3是不穩定的。

下面我們利用反饋控制和分數階Routh-Hurwitz準則來抑制三維分數階Chen混沌系統到它的一個不穩定的平衡點，三維分數階Chen混沌受控系統描述如下：

其中k1，k2，k3為控制參數，是系統（3）的平衡點。這里我們僅利用線性反饋來穩定系統（3）的平衡點E1（0，0，0）。當a=35，b=3，c=28，系統（10）在平衡點E1（0，0，0）處的Jacobian矩陣為：

相應的特征多項式為：

判別式為：

其中

雖然這里我們很難同時求出3個控制參數的取值范圍，但是我們經過計算可以先給兩個參數賦值，利用分數階Routh-Hurwitz準則求出第三個控制參數的取值范圍。這樣避免了每取一組值就要代入公式進行驗算，加強了取值的明確性。所以將k1=20，k2=-13代入（14）式中，經過嚴格的數學計算，如果要滿足D（P）＜0，a1＞0，a2＞0，a1a2=a3成立，則k3＜3即可。

3　分數階Chen系統的反相延遲同步

考慮分數階Chen混沌系統（3）為驅動系統，那么響應系統為：

這里u1，u2，u3為控制器。對于系統（3）與（15），如果存在常數τ使得則稱分數階Chen混沌系統（3）與（15）達到分數階反相延遲同步。其中X（t）=（x（t），y（t），z（t））T，Y（t）=（x1（t），y1（t），z1（t））T分別為系統（3）和（15）的狀態向量。結合反饋控制和主動控制方法，設計控制器為：

誤差系統為：

當a=35，b=3，c=28時，通過計算要使D（P）＞0，a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0成立，則k＞23.8359。根據Routh-Hurwitz判據條件，當k＞23.8359時，誤差系統（17）在平衡點E1（0，0，0）處漸近穩定，即驅動系統（3）和響應系統（15）實現了分數階反相延遲同步。

4　數值仿真

利用分數階微分方程的預估-校正算法，對分數階Chen混沌系統的控制和反相延遲同步進行數值仿真，其中選取步長h=0.01，q=0.9，a=35，b=3，c=28。首先對分數階Chen混沌系統的不穩定平衡點E1（0，0，0）進行混沌控制。選取初始點x（0）=2，y（0）=1，z（0）=3。參數k1=20，k2=-13，k3=2，q=0.9。仿真結果如圖2所示。其次對驅動系統（3）和響應系統（15）的反相延遲同步進行仿真。當k=25，時間t=40 s，延遲時間τ=10 s，q=0.9，步長h=0.01，系統（3）和（15）的初值分別為x（0）=（2，1，3）T，y（0）=（3，3，6）T時，圖3給出了分數階線性誤差系統（17）中分數階反相延遲同步誤差收斂曲線。

圖2　系統（10）在平衡點E1（0，0，0）控制結果

圖3　同步誤差系統的時間序列曲線

5　結論

本文以分數階Chen系統為例，利用分數階Routh-Hurwitz準則和線性反饋控制混沌系統到平衡點。通過對分數階Chen混沌系統構造相應的非線性控制器實現了分數階Chen系統反相延遲同步。數值仿真結果驗證了該方法的有效性和可行性。該方法同樣可以簡潔地實現高維分數階混沌系統的反相延遲同步。

［1］ZHANG K，WANG H，FANG H.Feedback control and hybrid projective synchronization of Sci［J］.Numer Simulat，2012（17）:317-328.

［2］ZHENG Y A，NIAN Y B，WANG D J.Controlling fractional order chaotic systems based on Takagi-Sugeno fuzzy model and adaptive adjustment mechanism［J］.Physics Letters A，2010（2）:125-129.

［3］董俊，張廣軍，姚宏，等.分數階異結構超混沌系統完全同步與反相同步控制［J］.動力學與控制學報，2014（2）:119-126.

［4］LI C D，LIAO X F.Lag synchronization of Rossler ctsystem and Chua circuit via a scalar signa［J］.Physics Letters A，2004，329:301-308.

［5］王德金，鄭永愛.分數階混沌系統的延遲同步［J］.動力學與控制學報，2010（8）:338-341.

［6］K Diethelm，N J Ford，A D Freed.A predictor-crrector approach for the numerical solution of Fractional differentialequations［J］.Nonlinear Dynamics，2002（29）:3-22.

［7］K Diethelm.An algorithm for the numerical solution of differential equations of fractional order［J］.Electron Trans Numer Anal，1997（5）:1-6.

［8］Matignon D.Stability results for fractional differential equations with applications to control processing［J］.Computational Engineering in Systems And Application Multi Conference，1996（2）:963-968.

Control and inverse lag synchronization of the fractional order Chen system

JI Zhi-lin，ZHENG Yong-ai
（Yangzhou University，Yangzhou 225127，China）

Fractional order chaotic system has a very great prospect in the fields of secure communication and oscillator design. In this article the local stability of the fractional order Chen chaotic system at various equilibrium points is analyzed using the stability theory of fractional order linear systems.Feedback control is designed to realize chaos control of the fractional order Chen system according to fractional order Routh-Hurwitz criterion，and provide the sufficient conditions suppressing chaos to a unstable equilibrium point.Combining inverse synchronization with lag synchronization，a novel fractional order inverse lag synchronization method is proposed.A corresponding nonlinear controller is designed to reach the inverse lag synchronization of fractional order Chen system.Numerical simulation shows effective and feasibility of the proposed method.

fractional order Chen system；chaos control；fractional routh-hurwitz criteria；inverse lag synchronization

TN93

A

1674－6236（2016）12-0070-03

2015-07-01稿件編號：201507007

吉枳霖（1987—），男，江蘇南通人，碩士研究生。研究方向：混沌控制。