具不同階導數的中值問題的輔助函數構造方法分類

滕興虎，陳桂東，毛自森，張燕

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具不同階導數的中值問題的輔助函數構造方法分類

滕興虎，陳桂東，毛自森，張燕

（解放軍理工大學 理學院，江蘇 南京 211101）

針對中值問題中中值表達式含有函數不同階導數的情形，基于函數求導的四則運算法則，對輔助函數的類型進行了分類與總結，并以實例做了具體的說明．

微分中值定理；積分中值定理；中值點；輔助函數

在高等數學中，介值定理、微分中值定理、泰勒公式、費馬定理和積分中值定理等內容均涉及到中值點的存在性問題[1-3]．這些內容具有嚴密的邏輯推理，體現出數學思維的嚴謹性，既是高等數學教學中的一個重點，也是一個難點．特別是所需證明的中值表達式中含有函數不同階導數的一類問題，在中值定理的應用中，具有更強的綜合性，問題的難度更大[4-9]．針對中值問題中的此類問題，本文基于函數求導的四則運算法則，對輔助函數的類型進行了分類與總結，并以實例做了具體的說明．

1構造2個函數相乘型的輔助函數

1∶250 000比例尺圖上面積大于2 mm2(實地面積125 000 m2)的水庫依比例尺表示(按面采集)[2]。

2構造2個函數相除型的輔助函數

3構造不同函數項相加或相減型的輔助函數

將包含同階或不同階導數的函數項，進行相加或相減作為輔助函數，在一定約束條件下，可以得到含有不同階的中值表達式．

[1] 同濟大學數學系．高等數學（上冊）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：68-242

[2] 四川大學數學系．高等數學（第一冊）[M]．北京：高等教育出版社，1978：113-122

[3] 徐森林，薛春華．數學分析（第一冊）[M]．北京：清華大學出版社，2005：185-197

[4] 李心燦．大學生數學競賽試題研究生入學數學考試難題解析選編[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000：226-396

[5] 西北工業大學高等數學教研室．高等數學專題分類指導[M]．上海：同濟大學出版社，1999：58-78

[6] 陳兆斗，鄭連存，王輝，等．大學生數學競賽習題精講[M]．北京：清華大學出版社，2010：36-47

[7] 王戈平．數學分析選講[M]．徐州：中國礦業大學出版社，2002：107-118

[8] 徐利治．大學數學解題方法詮釋[M]．合肥：安徽教育出版社，1999：55-70

[9] 胡適耕．大學解題藝術[M]．長沙：湖南大學出版社，1999：296-302

The classification of the method of the construction of the auxiliary function in the mean value problems with different order derivative

TENG Xing-hu，CHEN Gui-dong，MAO Zi-sen，ZHANG Yan

（School of Science，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，China）

In the discussion of mean value problems，some mean value expression has function with different order．To solve this kind of problems，the type of auxiliary function was classified and summarized base on the function derivation law．Also，some special examples was given．

differential mean value theorem；integral mean value theorem；mean value point；auxiliary function

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.005

2015-12-15

解放軍理工大學校級課題（GJ1507037）

滕興虎（1975-），男，江蘇邳州人，碩士，講師，從事數學教育與非線性動力學研究．E-mail：tengxh3121@163.corn

1007-9831（2016）04-0018-04