一類非線性六階波動(dòng)方程的幾乎守恒律

王宏偉

（安陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽(yáng) 455000）

一類非線性六階波動(dòng)方程的幾乎守恒律

王宏偉

（安陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽(yáng) 455000）

研究了一類非線性六階波動(dòng)方程的Chaucy問題，通過引入一個(gè)修正的能量泛函，借助Airy方程的Strichartz估計(jì)，在Bourgain空間中證明了這類方程的幾乎守恒律.

修正的能量泛涵；幾乎守恒律；Bourgain空間

在研究具有表面張力的淺水波表面的毛細(xì)管重力波傳播問題時(shí)，Daripa和Dash［1］提出了如下的非線性六階波動(dòng)方程

這里u（x，t）是未知函數(shù)，φ（x），ψ（x）是已知的初始函數(shù)，下標(biāo)t，x分別表示對(duì)t，x求偏導(dǎo)數(shù)，f（u）是非線性項(xiàng)，β＝±1.方程（1）也可以作為彈性晶體中晶格動(dòng)力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型［2］.

當(dāng)非線性項(xiàng)f（u）＝u2時(shí)，Esfahani［3］研究了方程（1）局部解的適定性問題，即解的存在性、唯一性和解對(duì)初值的連續(xù)依賴性；Wang［4］討論了周期解的適定性問題.對(duì)非線性項(xiàng)f（u）＝｜u｜2u，Wang［5］利用I－能量方法證明了當(dāng)初值（φ，ψ）∈Hs×Hs－1，3／2＜s＜2時(shí)方程（1）整體解的適定性.

對(duì)更一般的非線性項(xiàng)f（u）＝｜u｜2ku，k≥1，k∈Z，方程（1）具有下面的能量守恒律［6，7］

當(dāng)初值（φ，ψ）∈Hs×Hs－1，s≥2時(shí)，利用局部解的存在性和守恒律就可以得到方程（1）整體解的適定性.當(dāng)初值的正則性指標(biāo)s＜2時(shí)，能量可能是無(wú)窮大，此時(shí)守恒律沒有意義.本文的主要目標(biāo)是引入一個(gè)修正的能量泛函，并在初值的正則性指標(biāo)1／2＜s＜2的條件下，證明這個(gè)能量泛函是幾乎守恒的.隨著時(shí)間的增大，該能量泛函可以得到控制，由此可以把局部解的存在區(qū)間延拓到任意的時(shí)間T，從而得到整體解的適定性.

1　預(yù)備知識(shí)

u（x，t）的時(shí)空Fourier變換定義為u∧（ξ，τ）＝∫R2e－i（xξ＋tτ）u（x，t）dtdx.對(duì)s∈R，Hs（R）表示通常的Sobolev空間，它的范數(shù)定義為‖f‖Hs＝‖〈ξ〉f∧（ξ）‖L2，其中〈·〉＝1＋｜·｜，記LqtLrx為混合時(shí)空范數(shù)

定義1 對(duì)s，b∈R，記Xs，b為Schwartz函數(shù)類在下列范數(shù)下的完備化空間

根據(jù)定義1，有如下范數(shù)的等價(jià)形式

利用Kato的光滑性估計(jì)［9］，有

由定義1直接可以得到

（4），（5）兩式利用插值定理，有

使用最大值函數(shù)的估計(jì)，還可以得到

下面我們給出一個(gè)新的修正的能量泛函.給定s＜2和一個(gè)常數(shù)N》1，定義乘子I為

把算子I作用到方程（1），（2）兩邊，得到

合并以上兩式，得到

2　主要結(jié)論

下面的定理說明，隨著時(shí)間的增大，E（Iu）（t）是幾乎守恒的.

定理 假定s＞1／2，N》1，Iu是（9）定義在［0，δ］上的解，則下列估計(jì)成立

證明 等式（11）兩邊在［0，δ］上對(duì)t積分，再應(yīng)用Parseval公式，得到

要得到（12），只須證明下列不等式成立關(guān)于ξ2，ξ3，…，ξ2k＋2的對(duì)稱性，不妨假定N2≥N3≥…≥N2k＋2.由于，故下面我們通過比較N和Ni的相對(duì)大小，分情況來(lái)證明（13）.

情形1：N》N2.此時(shí)根據(jù)m（ξ）的定義，（14）式的值等于零.（13）成立

情形2：N2＞N》N3.由于＝0，此時(shí)可以得到N1～N2.根據(jù)中值定理，有

由（6），（7）和Hlder不等式，可知

情形3：N2》N3＞N.此時(shí)，估計(jì)（14）如下

由于m（ξ2）～m（ξ3），得到

這里最后一個(gè)不等式成立是由于對(duì)任何p≥2－s，函數(shù)m（x）xp是單調(diào)增加的，并且m（x）〈x〉p是有下界的，這就表明

（1）N3》.此時(shí)A的估計(jì)如下

綜合以上各種情況，定理得到證明.

［1］ DAPIPAP，DASH R K.Studies of capillary ripples in a sixth－order Boussinesq equation arising in water waves，in：mathematical and numerical aspects of wave propagation［M］.SIAM Philadelphia，2000：285－291.

［2］ MAUGIN G A.Nonlinear waves in elastic crystals［M］.Oxford Mathematical Monographs Series，Oxford，1999.

［3］ ESFAHANI A，F(xiàn)ARAH L G.Local well－posedness for the sixth－order boussinesq equation［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，385（1）：230－242.

［4］ WANG H，ESFAHANI A.Well－posedness for the cauchy problem associated to a periodic boussinesq equation［J］.Nonlinear Analysis TMA，2013，89：267－275.

［5］ WANG H，ESFAHANI A.Global rough solutions to the sixth－order boussinesq equation［J］.Nonlinear Analysis TMA，2014，102：97－104.

［6］ ESFAHANI A，LFVANDOSKYS.Stability of solitary waves for the generalized higher－order boussinesq equation［J］.Journal of Dynamics and Differential Equations，2012，24：391－425.

［7］ ESFAHANI A，F(xiàn)ARAHL G，WANG H.Global existence and blow－up for the generalized sixth－order boussinesq equation［J］.Nonlinear Analysis TMA，2012，75：4325－4338.

［8］ KENIG C，PONCE G，VEGAL.On the（generalized）korteweg de vries equation［J］.Duke Math J，1989，59：585－610.

［9］ KENIG C，PONCEG，VEGAL.Wellposedness and scattering results for the generalized korteweg de vries equation via the contraction principle［J］.Commun Pure Appl Math，1993，46：527－620.

The Almost Conervation Law of a Nonlinear Sixth－Order Wave Equation

WANG Hong－wei
（Department of Mathematic and Statistics，Anyang Normal Unversity，Anyang 455000，China）

In this paper，we study the Cauchy problem of a nonlinear sixth－order wave equation.We introduce a new modified energy function.By use of the Strichartz estimates of Airy equation，the almost conservation law of this equation is proved in Bourgain space.

modified energy functional；almost conservation law；Bourgain space

O175.25

A

1001－2443（2016）03－0226－04

10.14182／J.cnki.1001－2443.2016.03.004

2015－04－10

國(guó)家自然科學(xué)基金（10771166）；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（14B110028，16A110007）；安陽(yáng)師范學(xué)院培育基金（AYNUKP－B04）.

王宏偉（1977－），男，河南湯陰人，講師，博士研究生.主要從事調(diào)和分析和偏微分方程的研究.

引用格式：王宏偉.一類非線性六階波動(dòng)方程的幾乎守恒律［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，39（3）：226－229.