尺度比穩健估計及參考橢球參數確定

李祖鋒

(中國電建西北勘測設計研究院有限公司,陜西 西安 710065)

?

尺度比穩健估計及參考橢球參數確定

李祖鋒

(中國電建西北勘測設計研究院有限公司,陜西 西安 710065)

短程精密測距精度一般優于GNSS測量精度，工程中常用GNSS測量與精密測距方法聯合建立高精度工程測量控制網，對兩者所存在的尺度差異，常采用尺度比進行統一，其關鍵是尺度比的合理選擇。文中參照精密測距邊長確定的實測尺度比相對于理論尺度比的殘差，建立空間分布與尺度殘差線性關系，對尺度差異進行估計并確定合理的尺度比，再在投影層面將尺度比等價轉換成參考橢球參數進行數據歸算，從而實現GNSS與精密測距成果的高度融合，得到高精度工程測量控制網的可靠成果。

尺度比殘差；尺度比差異估計；綜合投影變形；橢球參數

短程精密測距精確度一般優于GNSS測量精度，所以工程中常用GNSS測量與精密測距方法聯合建立工程測量控制網。由于受到大氣折射等因素的影響，以及大部分項目三維平差所引入的位置基準一般采用測站單點定位坐標，精度不高，這些因素在GNSS測量及數據處理環節都會導致尺度發生變化，對于GNSS成果反算邊長與精密測距邊長所存在的尺度差異，應以精密測距邊長作為尺度基準，將GNSS解算邊長與精密測距邊長的尺度進行統一。

由于高斯投影變形量是一個以至中央子午線距離為自變量的二次冪函數，其投影后的邊長變形量沿橫向呈二次曲線變化，本文將地面實測邊長(為簡化計算，地面實測邊長不做投影)與GNSS投影至平面的邊長比值定義為尺度比，理論上尺度比應符合二次冪函數分布特征，但由于受測量誤差的影響，并不符合以上分布特征。測距邊在空間上分布一般是不均衡的，生產中采用尺度比算數平均值沒有考慮到測距邊長在空間分布上的不均衡對其權重的影響，在文獻[1]中提出加權尺度比的計算方法，對這個問題進行考慮，文中尺度比計算采用的兩組邊長精度信息是可以估計的，并可據誤差傳播定律求出尺度比誤差，但文獻[1]中尺度比計算沒有顧及尺度比自身的精度，僅按照分布特征及其可代表的范圍進行確權。本文參照精密測距邊長確定的實測尺度比相對于理論尺度比的殘差，通過顧及測量邊長空間分布及邊長誤差因素的影響對尺度差異進行估計，從而確定合理的尺度比，然后在投影層面將尺度比等價轉換成參考橢球參數進行數據歸算，從而實現GNSS解算邊長與精密測距成果的高度融合，通過聯合平差，得到高精度工程測量控制網的可靠成果。

1　尺度比殘差分析

以高斯投影為例進行尺度比殘差分析，其高斯投影變形部分可簡化

(1)

式中:D1為邊長在參考橢球面長度;Ym為所選邊端點橫坐標平均值;Rm系參考橢球面選定邊長中點平均曲率半徑。

已知邊的參考橢球面邊長為D1ab,其投影到高斯投影面上的邊長為D2ab，在小范圍內，可以近似認為D1ab為平距，則計算理論尺度比Lt為

(2)

設己知GNSS控制網a，b兩點的反算邊長為DGab, 精密測距平距為Dab,實測邊長與GNSS成果反算邊長計算尺度比為

(3)

由式(2)、式(3)確定尺度比殘差，則

(4)

式中:Lir做為測量值;Lit被認為真值。

如果測量數據不存在系統性偏差，則E(ΔL)=0，即ELr=Lt。

2　尺度比差異值的確定

2.1尺度比差異最小二乘線性回歸分析

考慮到參與尺度比計算的邊長沿空間分布是不均衡的，尺度差異僅采用算數平均計算，并沒有考慮到測距邊長在空間分布不均衡對其權重的影響，為了估算出測區尺度比殘差值，應按照各個區域的尺度比所代表的范圍進行定權，用橫坐標Yi來表達測距邊長的空間分布，借助線性回歸方程進行尺度差異的分析，以測區中央部位回歸直線的數值作為最終的尺度差異結果。

由此確定殘差ΔLi與Yi的線性關系為

(5)

式中：Yi為選定邊長距離中央子午線距離；Δ，ε為系數；ei為隨機誤差。

通過線性相關系數ρ判斷尺度殘差數據中是否存有異常數據，即

(6)

令

(7)

由最小二乘求解算式[2-4]，得

(8)

求解法方程組得

(9)

系數Δ為尺度差異的常數量，當ε近似于0時，各個時段的尺度是一致的，但普遍情況下，多時段觀測受外界因素的影響而存在系統性的尺度差異，ε數值的大小可部分反映這種差異的量級，但不完全。

殘差值

(10)

中誤差

(11)

中誤差可反映出項目隨機誤差的規模。

對于存在大誤差的數據，應采用穩健的估計方法進行參數解算。

2.2尺度比殘差穩健估算方法

設GNSS測量邊長誤差為σG，實測邊長誤差為σ，據誤差傳播率得尺度比誤差算式知

(12)

由式(12)可看出，所求尺度比精度與邊長及邊長測量精度相關，較大的誤差以及較短的邊長均會導致參數解算誤差增大，對于這部分數據有必要采用更穩健的方法進行估算。下邊建議兩個穩健的估計方法，對于測距邊數量較多的項目采用最小二乘穩健估計方法，對于測距邊較少的項目采用最小一乘估算方法，最小一乘和二乘的使用界定，以試算結果作為參考，一般建議邊長少于5條，采用最小一乘方法。

最小二乘穩健估計方法將殘差作為統計量，在所選定的顯著水平下，判斷其是否滿足所設定的期望，對異常數據降權或者剔除處理。抗差最小二乘方法如下：

Ρ函數為ρ(u)=|u|，相應的權因子為

(13)

(14)

現在討論計算中實測邊長較少的情況，邊長較少時，最小二乘方法會放大尺度比異常偏差影響[3]，雖然穩健估計對異常尺度差異進行了降權或者剔除，但有時這種異常數據恰好反映某些區域的尺度信息，不應該隨意降權或者剔除。最小一乘方法可以克服最小二乘的上述缺點。其要求實測點到回歸直線的縱向距離的絕對值之和為最小，針對小樣本，“穩健性”好于最小二乘法。求出Δ，ε,使得不同位置的尺度差異沿y軸到直線ΔLi=Δ+εYi的偏差絕對值和最小 ,即

(15)

最小一乘線性回歸參數估計算法：

(16)

最小一乘線性回歸系數β的估計，需要了解無約束不可微最優化問題，即

(17)

即要求超定矛盾線性方程組

(18)

的l1范數極小解。

(19)

(20)

最小一乘系數計算采用 MATLAB實現 。

3　基于尺度比殘差確定參考橢球參數

當測區尺度比一致時，確定的系數ε應該是一個很小的數值，可以忽略，所求出的Δ一般就是所求的總體尺度差異ΔL=Δ，則修正后的尺度比為

(21)

若ε較大，存在沿測區分布不一致的系統誤差，應查找數據問題，如果認為這個數值可接受，則計算測區中央回歸線偏離值，并修正到ΔL上，即

(22)

式中：YM為測區中央橫坐標，YM=(Ymin+Ymax)/2。

為了便于尺度參數在數據轉換中的實現，將尺度差異代入抵償投影算式，Hm為基于尺度比殘差所確定的抵償投影面高程值。

(23)

橢球不同位置半徑可通過橢球參數確定。標準參考橢球面子午圈為長半徑為a,短半徑為b的橢圓,設橢圓的參數方程為

(24)

則橢圓上任意點處的半徑為

(25)

(26)

將b=(1-α)a代入式(26)得

(27)

則工程區域選定投影面的平均地球曲率半徑rE為

(28)

保持原有的參考橢球扁率等不變，通過膨脹參考橢球長軸a對高斯投影變形進行抵償，設工程參考橢球的長半軸為rE，可以建立關系式

(29)

4　結束語

為解決精密測距邊長與GNSS測量尺度不一致的問題，參照精密測距邊長確定實測尺度比相對理論尺度比的殘差關系，分析尺度比殘差特征，借助線性回歸方程，建立空間分布(距離中央子午線距離)與尺度差異線性回歸關系，抑制測距邊長在空間上分布不均衡對尺度比計算結果的影響。對于邊長過短或者誤差過大的測距邊，采用穩健的估計方法進行參數估算，減小測量誤差對參數估算的干擾，可較好解決測區總體GNSS與精密測距邊長尺度差異問題[8-10]。為便于尺度差異參數在數據轉換中的實現，在抵償投影層面，將尺度比等價轉換成抵償投影高程面，并通過確定測區地球曲率半徑，將抵償投影高程值轉換成參考橢球參數進行數據歸算，實現GNSS測量成果與精密測距邊長的高度融合。

[1]李祖鋒，趙彥華，巨天靈.限制GPS邊長綜合投影變形加權尺度比算法[J].工程勘察，2010(7):76-79.

[2]宋愛斌.數理統計理論、應用與軟件實現[M]北京:國防工業出版社,2010．

[3]王福昌.最小一乘回歸系數估計及其 MATLAB 實現[J].防災科技學院學報, 2007(12):85-89.

[4]邱衛寧.測量數據處理理論與方法[M].武漢:武漢大學出版社．

[5]李祖鋒.基于尺度比確定工程參考橢球長半徑[C]//《測繪通報》編輯部.第二屆“測繪科學前沿技術論壇”論文精選.北京：2010(2):136-137.

[6]李祖鋒.限制邊長投影變形最佳抵償投影面的確定[J].工程勘察，2010(2)：75-78.

[7]陳麗華,汪孔政.關于參考橢球平均半徑的探討[J].測繪通報,2000(10):15-17.

[8]施一民, 張文卿.區域橢球元素的最佳確定[ J].測繪工程, 2000，9(3):27-29

[9]李祖鋒，巨天力，張成增，等.基于重力場模型高程擬合殘差求定GPS正常高[J].測繪工程，2010，19(4)：24-27.

[10] 李祖鋒，高建軍，繆志選，等.利用最優抵償投影面算法限制GPS邊長投影變形[J].測繪工程，2010，19(2)：75-77.

[責任編輯：張德福]

Robust estimation on scaling-ratio and determination of reference ellipsoid parameters

LI Zufeng

(Powerchina Xibei Engineering Corporation Limited, Xi’an 710065, China)

The precision under precision measurement with short distance is higher than that under GNSS. So generally, combining GNSS with precision measurement, this paper proposes a high precision engineering surveying control network for project. For the scale difference between the two, scale ratio is used to unify, and the key is the reasonable choice of scale ratio. Based on the residual of actual scale ratio to theory scale ratio referring to the precision measurement length, the paper establishes the linear relationship between the spatial distribution and the scale residuals, and estimates the scale difference and determined the reasonable scale ratio.Then at the projection level, the scale ratio is equivalently conversed into reference ellipsoid parameters for data imputation, so as to realize the high integration of GNSS and precision measuring results, and to receive reliable results of high precision engineering survey control network.

scaling-ratio residual; difference estimation; integrated projection deformation; ellipsoid parameter

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.12.001

2015-05-28

中國水電工程顧問集團科技項目 (GW-KJ-2012-21)

李祖鋒(1981-)，男，高級工程師.

P221

A

1006-7949(2016)12-0001-04