三次Bezier曲線的生成與拼接

李紅林

【摘 要】本文利用VC++編程環境，生成兩段三次Bezier曲線，并對曲線進行連續性條件討論，且實現了曲線拼接。

【關鍵詞】三次；Bezier；連續性；曲線拼接

【Abstract】In this paper， the VC++ programming environment is used to generate three Bezier curves， and the continuity conditions are discussed， and the curves are achieved

【Key words】Cubic； Bezier； Continuity； Curve Splicing

Bezier曲線是由法國人Bezier于20世紀70年代初為解決汽車外型設計而提出的一種新的參數表示方法[1]。Bezier 方法是曲線、曲面造型中的一個里程碑，它以逼近原理為基礎，應用Bezier方法，可逼近數學曲線、曲面或設計師勾畫的草圖，起到輔助設計的作用[2-3]。由于實際應用中的線和面形狀復雜，用單一曲線、曲面無法表示，所以有必要對曲線、曲面進行拼接。

1 定義

1.1 Bezier曲線的定義

2 三次Bezier曲線的生成

在VC++6.0 環境下，新建一個基于MFC的單文檔工程。在工程View.cpp中添加Bezier曲線生成函數，當n=3時，生成任意兩條三次Bezier曲線，如圖1所示。

3 三次Bezier曲線的拼接及連續性

樣條曲線是由各個多項式曲線段連接而成，為了保證各個曲線段在連接點處是光滑的，需要滿足各種連續性條件[5]。連續性有參數連續性和幾何連續性。若兩條相鄰參數曲線段在連接點處具有n階連續導矢，即n階連續可微，則將這類連續性稱為n階參數連續性條件，記為Cn。若只要求兩條相鄰參數曲線段在連接點處的n階導矢成比例，而不要求必須相等，則將這類連續性稱為n階幾何連續性，記為Gn。因參數連續性條件比幾何連續性條件更加苛刻一些。所以，在三次Bezier曲線拼接時以幾何連續性為例。

設兩條三次Bezier 曲線的控制點列分別為Pi（i=0，1，2，3）和Qj（j =0，1，2，3）。若將P（t）段與Q（t）相連，則在連接點處達到G0、 G1、G2連續的充要條件是：

（1）G0連續：P（1）=Q（0）。即P（t）的終點與Q（t）的起點重合，如圖2 所示，曲線在連接點處不能保證是光滑連接。

（2）G1連續：是兩段相鄰曲線在連接點處不僅達到G0連續，同時一階導數成比例，即P（1）=αQ（0），其中α是比例系數。具有G1連續，在連接點處有公共的切矢方向，即P2，P3（Q0），Q1三點共線，如圖3所示。

（3）G2連續：指兩段相鄰曲線段的一階導數、二階導數在交點處均成比例。P（1）=αQ（0），P（1）=βQ（0）。G2連續除了滿足G1 條件外，還滿足：副法矢方向相同、曲率相等。

4 結論

本文首先對三次Bezier曲線進行了簡單分析與實現；其次對曲線的連續性進行分析；最后對生成的三次Bezier曲線進行拼接。該拼接方法可實現任意次的Bezier曲線的拼接。

【參考文獻】

[1]杜曉增，丁宇辰.計算機圖形學基礎[M].2版.北京：機械工業出版社，2013：103.

[2]嚴蘭蘭，宋來忠，李軍成.有理Bezier 曲線的拼接[J].三峽大學學報：自然科學版，2005，27（5）：469-471.

[3]楊林英.Bezier曲線的拼接及擴展[D].蘭州：西北師范大學，2013.

[4]蘆殿軍.Bezier 曲線的拼接及其連續性[J].青海大學學報：自然科學版，2004，22（6）：84-86.

[5]銀紅霞，杜四春，蔡立軍.計算機圖形學[M].北京：水利水電出版社，2005：133-134.

[責任編輯：楊玉潔]