數學模型在體育比賽排名規則的制定問題中的應用①

周峰利徐文杰

（1.武漢體育學院經濟與管理學院 湖北武漢 430079；2.十堰市張灣區爐子小學 湖北十堰 442002）

數學模型在體育比賽排名規則的制定問題中的應用①

周峰利1徐文杰2

（1.武漢體育學院經濟與管理學院 湖北武漢 430079；2.十堰市張灣區爐子小學 湖北十堰 442002）

隨著國務院國發【2014】46號文件的出臺，全國健身已經上升到國家戰略，全國各種各樣的體育比賽越來越多。針對越來越多的比賽，比賽規則制定尤為重要。該文主要討論體育比賽排名規則的制定問題，并以籃球比賽為例，在比賽通用的總積分法的基礎上，通過分析其優劣性，運用數學模型，給出特征向量法、概率法等比賽排名方法。

比賽排名 數學模型 特征向量法 概率法

現在人們對自身健康問題越來越重視，人們喜歡把業余時間花在體育鍛煉上，促使越來越多的比賽應運而生，有比賽就必然涉及到排名問題，有些比賽，名次排列往往比較簡單，因為涉及的團隊較少，數據不復雜；而大多數的比賽涉及的團隊較多，數據較為復雜，排名的影響因素就會很多，由于這些因素的影響，人們往往會對比賽結果產生質疑。為了解除人們的疑惑，一個公平透明的排名規則顯得尤為重要。我們要建立一個可以克服諸多不確定因素的模型，使得排名結果能準確地反映球隊的真實實力。

排名目的是根據比賽成績排出反映各隊的真實實力狀況的一個順序，所以說一個好的排名算法應滿足下面的一些基本要求。

（1）保序性。我們認為各隊的真實實力水平在綜合成績表中反映出來，所以根據排名的目的，要求排名順序與成績表所反映的各隊真實水平是一致的。

（2）穩定性。成績表中微小的變動不會對排名造成巨大影響，即球隊發揮水平的較小波動性不會對排名結果產生大的影響。

（3）能夠準確的進行補缺：兩個隊之間沒有打比賽，我們只為成績表殘缺，對于兩隊成績的殘缺，只能通過他們同其他隊的比賽成績判斷他們實力水平的高低。

（4）能夠判斷成績表的可約性，能夠容忍不一致現象。

（5）對數據可依賴程度給出較為精確的描述。

1　模型的建立

1.1積分法

總積分法的排名是以總積分的多少來決定的。各隊勝一場得2分，負一場得1分（包括比賽因缺少隊員而告負），棄權得0分。計算各隊在所有比賽中總的積分，按照總積分的高低來排出名次，總積分多的隊伍名次列前。

表1　比賽結果發生的概率表（2場比賽）

如果遇到2支隊伍總積分相等，則按積分相等兩隊相互間比賽的成績來確定名次，勝者名次列前。如果遇到2支以上的隊總積分相等，則按總積分相等隊之間相互比賽的勝負場次來決定名次，勝利場次多的隊伍名次列前。如果名次仍相等，則按他們之間比賽的得失分率大小決定名次，得失分率大的名次列前。如果仍然相等，再按他們在所有比賽中的得失分率來決定名次，得失分率大的名次列前。如果存在棄權的隊伍，棄權的隊伍名次并列最后，各隊與棄權的比賽成績均以“0”計算。

總積分法具有很大的局限性，很顯然，總積分法對比賽場數多的隊伍有利，為了克服這一缺點，可以采取平均積分法來對各支隊伍來進行排名。平均積分法就是將每個隊的總積分除以該隊參加比賽的場數，得出每場平均積分，按各隊平均積分的高低來排名，平均積分高的隊伍名次列前。如果遇到2支隊伍的平均積分相等，則按平均積分相等兩隊相互間比賽的成績來確定名次，勝者名次列前。

如果遇到2支以上的隊總積分相等，則按總積分相等隊之間相互比賽的勝負場次來決定名次，勝利場次多的隊伍名次列前。如果名次仍相等，則按他們之間比賽的得失分率大小決定名次，得失分率大的名次列前。如果仍然相等，再按他們在所有比賽中的得失分率來決定名次，得失分率大的名次列前。得失分率=每隊的每場得分之和/每隊的每場失分之和（對方的得分之和）×100%

但是，總積分法和平均積分法都存在著兩個缺點：一是沒有考慮對手的情況，勝第二名與勝最后一名是一樣看待的；二是沒有考慮勝負的程度，大勝對手和險勝對手沒有差別。

1.2特征矩陣法

由于籃球比賽中不存在平局的情況，我們可以假設勝一局得到一個積分，負一局得到零個積分，由此建立一個N×N的鄰接矩陣M，來表示各支隊伍之間比賽的勝負情況，由此建立得分向量S 來表示各支隊伍的勝負情況：其中稱為一級得分向量，一級得分向量表示各支隊伍的總得分情況。

由于比賽過程中存在總得分相同的隊伍，所以，一級得分向量無法排出所有隊伍的名次，需要進一步計算出高級的得分向量稱之為二級得分向量，二級得分向量表示每支球隊戰勝的各個球隊的得分之和，與一級得分向量相比，二級得分向量更有理由作為排名次的依據。繼續這個程序，得到k級得分向量，K的值越大，用S（k）作為排名依據更合理，如果k趨向于正無窮時，收斂于某個極限得分向量（為了不使它無限變大，應進行歸一化），那么就可以用這個得分向量作為排名次的依據。

上面提出特征向量法，是建立了鄰接矩陣M之后，求出M的對應于最大特征根的特征向量，作為代表各支隊伍水平比的向量，以它作為依據來為各支隊伍排名次。

以下我們還要提出進一步改進的模型，在此之前，我們需要考慮不同隊伍之間比賽場次的差異，若兩隊之間進行了多場比賽，則將其之間的多場比賽的平均分來作為比賽的結果。兩隊之間進行的多場比賽，其結果能更真實地反映兩隊之間的相對水平，在此，我們引入比賽結果的可信度因子P，單場比賽的可信度為P，則N場比賽的可信度為，由此，兩隊之間進行的多場比賽可轉化為單場比賽的平均得分。

鄰接矩陣M中的元素mij可設為是Ti對Tj各場比賽轉化為單場比賽后的平均得分，當Ti與Tj之間沒有進行過比賽時，mij=0，即此時的鄰接矩陣M可理解為得分矩陣，仔細觀察又有不足之處。更合理的方法應滿足以下方面。

1.3概率法

我們從若干場比賽的結果反推Pij和Pji，具體的方法為根據Ti在對Tj的各場比賽中的總得分來計算，主要思想為假如Pij，Pji預先給出了確切的值，則可以利用他們分別算出Ti在對Tj的各場比賽中的總得分的概率，由極大似然估計，假如Ti的實際得分為m分，就有理由認為Ti得m分的概率比得其他分的概率都大。

為計算Pij與Pji，我們將一場比賽的概念看成兩個半場，不同于實際比賽中的半場，半場的結果僅有勝負之分，上下半場Ti，Tj各勝一個半場記為平局。

記Ti在一個半場中勝Tj的概率為q，則在一場比賽中，Ti勝Tj的概率為q2；Ti負于Tj的概率為（1-q）2；Ti平Tj的概率為2q（1-q）。

對兩隊進行一場，兩場或者三場比賽的情況，分別按總積分多少分成若干的等級，根據假設，總積分數正好等于獲勝的半場的數目，把它看作比較兩隊水平的一個度量，計算每一等級中所有比賽結果發生的概率，例如：兩場比賽的情況根據表1數據就可明確知道比賽結果發生的概率。

根據極大似然估計的思想，如果某一等級的結果發生了，我們就應當以為兩隊水平之比處于該等級的概率比處于其他等級的概率要大。我們可以根據這一點，列出不等式并解除q的范圍。例如：得分為3的結果發生時，應有不等式組，可以計算出對應贏球的概率。

2　結語

通過分析可知，模型的優點主要為：（1）能夠較為準確的處理數據，對比賽的程序沒有嚴格要求，穩定性很好，可以適用于任何賽制。（2）靈活性強，提供了對比賽數據可約性的正確評估，并且可以靈活調整比賽數據。（3）滿足保序性，能夠處理不同場次的權重，對數據可依賴程度給出較為精確的描述。

但此模型也有其存在的明顯的不足之處為判斷矩陣的計算較為復雜，當參賽隊伍較多的時候求解判斷矩陣會很費時。

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］于長銳.復雜決策問題的多元化模型體系研究［J］.管理科學學報，2004，7（2）：88-91.

［3］戚立峰，毛威，馬斌.一個給足球隊排名次的方法——B題［J］.教學實踐與認識，1994（2）：87-94.

G80-05

A

2095-2813（2016）09（a）-0175-02

10.16655/j.cnki.2095-2813.2016.25.175

周峰利（1987—），男，漢，湖北黃岡人，碩士，助教，研究方向：體育、數學。