以中學數學的整體視角來處理初中數學教學

龔劍燕 黃夏炎

中考結束后，許多初三畢業生參加了“初中高中銜接班”的學習。初高中之間的數學教學的落差較大，這個確實是實情。這里既有初中教學內容較少而高中教學內容較多導致的課堂教學容量的區別，也有教學中初中和高中的老師僅僅考慮本學段而缺乏中學數學的整體視野的原因。筆者嘗試在教學中從中學數學的整體視角來處理初中數學的課堂教學，以圖減少學生升入高中后的“不適應感”，順利投入高中數學學習中。

一、數學概念的整體處理

1.關于函數的概念

初中數學教學中，函數概念是這樣的：有兩個互相依存的變量，一個變量發生變化時，另一個變量隨之發生變化。這兩個變量的相互關系，叫做函數關系。前者叫自變量，后者叫應變量。

這樣的函數定義，可視之為“變量依存說”。它與高中學段的“集合映射說”有很大不同。“變量依存說”對于生活中的一些實例中的函數模型，解釋得很不直觀。比如搭乘單一票價的無人售票的公交車，搭乘路程的大小與票價之間的關系，學生就往往不認為這是函數關系（實際上這是常函數模型）。再比如信函重量與郵資的關系，學生往往也不認為這是函數關系（實際上這是分段函數模型）。

我在教學中，對常函數的處理是給學生講清楚“不變”也是“變”，變化的幅度為“零”。這樣就較好地解釋了常函數也是一種函數。而我在教學中，對于分段函數的處理，則強調“漸變”、“突變”都是變。在此基礎上，向學生簡單地介紹“集合映射說”，主要著力點在“對應”，在“對于一個自變量的取值，應變量有唯一確定的值與自變量的值對應”，略去集合的概念和映射的概念。實踐證明，這樣的處理手法對于學生準確理解函數概念有幫助。

2.關于拋物線與二次函數的關系

二次函數圖象是拋物線，拋物線卻未必是二次函數的圖象。關于這一點，學生往往不甚了了。

初中數學教材中，呈現的是上下開口的拋物線圖象，明確上下開口的拋物線，其方程為y關于x的二次方程，形如y=ax2+bx+c。（從這點出發，可以通過明確拋物線上的三個普通點來列出三個方程，解出a、b、c，也可以通過一個頂點和一個普通點來列出三個方程）

但是，教學中不能把二次函數圖象與拋物線完全等價起來。這是因為拋物線是具有特殊形狀的一類曲線的統稱，它只有在上下開口的情形下，其曲線方程才是一個二次函數。而決定一條曲線是不是拋物線的唯一因素是形狀而不是開口方向。

教學中，筆者把繪有一個一個開口向上的拋物線的坐標紙順時針旋轉90o，再把y軸換成x軸，把x軸負方向換成y軸，向上開口的拋物線就變成了新坐標系下的開口向右的拋物線了。此時，原先的縱坐標y要換成橫坐標x，原先的橫坐標x要換成-y。那么，開口向上的拋物線y=x2就變成了x=（-y）2即y2=x。這樣的圖形，顯然還是拋物線，但是這樣的方程卻不是二次函數了（甚至連函數都不是）。通過這樣的“玩”數學，學生能夠更好地理解拋物線與二次函數圖象的不等價關系。

3.關于方程的解與不等式的解集

現行初中數學教材中，方程或者方程組如果有有限個解，結果就用列舉法表述，稱為“解”，而不等式或者不等式組如果有無窮多個解，則用不等式來表述結果，稱為“解集”。從更高觀點看，稱一個不等式如“x≥2”為解集（更本質地說，是“集合”），顯然不妥當。這很可能是由于初中數學學習中，集合概念與其余內容關系不大，所以就沒有引入集合概念。

但是筆者在教學過程中，告訴了學生“解集”是“解的集合”的簡稱（但不去觸碰“集合”這個具體的概念），而集合對表達形式有要求，區間就是集合的一種表示法。把不等式“x≥2”轉而用區間“[2，+∞）”來表示，這里只涉及到兩個新概念：區間的開閉、+∞和-∞。學生接受并無困難。

用區間來代替不等式來作為不等式和不等式組的解集，一是簡潔性和科學性得到了保障，二是能讓學生能更深刻地領會解的本質。如“x≥2”和“y≥2”都可以用區間“[2，+∞）”來表示，這表明解集實際上是所有不小于2的數的全體，它與用x還是y來表示未知數并無關系。

二、用中學數學常用的數學思想的培養來統攝教學過程

1.算法化的數學思想

數學問題的呈現形態千變萬化，但算法能讓一類問題的解決辦法程序化。所以算法化是中學數學中非常重要的數學思想。

比如，二元一次方程組的加減消元法的解法教學中，如果在一兩個簡單的數字系數的方程組的解法示例后，出示以下字母系數的二元一次方程組：

解字母系數方程組的過程經過算法化后，學生能對每一步的目的更加清晰，每一步變形的前提和理由和限制理解更為深刻，再解數字系數的二元一次方程組，明顯正確率提高不少。

用算法化的數學思想來統攝二元一次方程組的教學過程，能讓學生在問題的解決過程中更加具有方向感，問題的解決過程更加數學化。

2.多個定理、概念的統一本質揭示

如同高中數學教學中橢圓，拋物線，雙曲線的統一定義一樣，初中數學教學過程中，相交弦定理，割線定理，切割線定理也可以統一為圓冪定理。

要實現三個定理的統一，在相交弦定理的教學過程中，就要著眼于兩弦AB，CD的交點P，以點P為所涉線段的“起點”，把相交弦定理表述為PA·PB=PC·PD，而不是依線段自然順序表述為AP·PB=CP·PD。事實上，著眼于兩弦交點P后，在嚴格證明相交弦定理以后，我用幾何畫板軟件作圖，拖動點P到圓外，形成割線定理，切割線定理的基本圖形，學生絕大多數都能立即指出可能的結論，相關結論的嚴格證明學生也大多數能自行完成。

3.分類討論思想

對于一個數學問題，如果較為復雜，或者不易找到一個一次性就能解決問題的方案，就可以把問題所涉情形分成幾類，分別進行討論解決。這就是分類討論的數學思想。

例如：一個等腰直角三角形的一條邊長為，則另外兩條邊的長度為多少？

如果已知的是底邊，那么另外兩條需要求長度的是腰，如果已知的是腰，那么另外兩條需要求長度的分別是另一條腰和底邊。這就必須要分類來考慮。

再比如：一次函數y=kx+b自變量和函數值的取值范圍，恰好都是[-4，8]（即-4≤x≤8，-4≤y≤8），求該一次函數的解析式。

顯然應該對一次項系數分別為正數還是負數兩種情況分別進行思考。

在教學中，要反復審視腦海中閃現的解決方案是否能涵蓋問題的所有情形。如果不能，那就要對未能涵蓋的部分另行進行解決。

教學中貫徹分類討論的數學思想，既要形而下——教給學生準確的分類方法（統一的分類標準、不重復不遺漏），又要形而上——讓學生形成用科學的數學思想方法來思考問題的思維習慣。