基于MATLAB的倒立擺特征根靈敏度分析

錢葦航 聞新

摘要：倒立擺是一個復雜的非線性系統(tǒng)，是進行各種控制理論教學及驗證先進控制理論的理想平臺。本文根據(jù)特征根靈敏度分析理論，提出了一種倒立擺控制系統(tǒng)特征根的分析與設(shè)計方法，利用MATLAB繪制倒立擺控制系統(tǒng)的根軌跡，得到增益變化對特征根靈敏度的影響。最后，通過在根軌跡上選擇合適的增益和特征根，滿足系統(tǒng)設(shè)計的要求。

Abstract： The inverted pendulum is a complicated system， which is an ideal platform to carry out all kinds of control theory and teach and check out controlled experiment. According to the concept of characteistic roots' sensitivity， the method of using characteistic roots' sensitivity to analyze the inverted pendulum system is introduced. Then， MATLAB is used to draw the inverted pendulum's root locus， the effect of the gains'changes to sensitivities of the characteristic roots are found. Finally， we can choose appropriated gain and characteistic root to realize required function in the root locus.

關(guān)鍵詞：倒立擺；特征根；靈敏度；控制系統(tǒng)

Key words： inverted pendulum；characteistic root；sensitivity；control system

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）09-0206-03

0 引言

通常，自動控制系統(tǒng)是指由控制器、被控對象和敏感器組成的系統(tǒng)。自動控制系統(tǒng)的特征是在控制信息作用下，改變被控對象的運動或進入各種狀態(tài)。但是，由于外界環(huán)境干擾往往引起自動控制系統(tǒng)參數(shù)改變，從而導致自動控制系統(tǒng)性能也跟著變化。而靈敏度就是外界變化對系統(tǒng)性能影響的一種度量。由于實際應(yīng)用中有些控制系統(tǒng)的數(shù)學模型非常復雜，使我們難以對系統(tǒng)的魯棒性進行分析，但是如果運用MATLAB軟件來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖形，就會使我們的分析變的簡便的多[1-2]。本文利用MATLAB繪制倒立擺模型的根軌跡，分析隨著系統(tǒng)增益的變化，倒立擺模型的特征根靈敏度會發(fā)生怎樣的改變。

1 建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)與特征根靈敏度

1.1 一級倒立擺系統(tǒng)的動力學方程和傳遞函數(shù)

圖1為一級倒立擺系統(tǒng)，假設(shè)M為小車質(zhì)量，m為擺桿質(zhì)量，b為小車摩擦系數(shù)，l為擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度，I為擺桿慣量，f為加在小車上的力，x為小車位置，θ為擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）。忽略了空氣流動和摩擦的影響，利用牛頓定律得到系統(tǒng)的運動方程為

（M+m）■+b■+ml■cosθ-ml■2sinθ=f（1）

（I+ml2）■+mglsinθ=-ml■cosθ （2）

將方程（1）、方程（2）在其平衡位置（垂直向上）線性化后可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

■=■ （3）

其中q=[（M+m）（I+ml2）-（ml）2]

1.2 特征方程根的靈敏度

控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)T（S）對參數(shù)變化的靈敏度定義為：

S■■=■=■（4）

式中K是感興趣的參量。

因為根軌跡對系統(tǒng)的設(shè)計與分析非常重要，所以可以定義特征方程根對參變量的靈敏度。[4]

S■■=■=■=■（5）

2 根軌跡繪制與靈敏度分析

2.1 基于MATLAB的根軌跡繪制

考慮一級倒立擺控制系統(tǒng)，假設(shè)：

M=0.5kg（小車質(zhì)量）；

m=0.2kg（倒立擺質(zhì)量）；

b=0.1N/m/sec（小車摩擦系數(shù)）；

l=0.3m（擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度）；

I=0.06kg*m2（擺桿慣量）；

θ為擺桿與垂直向下方向的夾角（以擺桿初始位置為數(shù)值向下）；

f為加在小車上的力；x為小車位置；

Y為擺桿與垂直向上方向的夾角，

則傳遞函數(shù)方程（3）為

■=■（6）

由方程（6），求得特征方程為

1+■=0 （7）

當K從0變化到∞時，通過MATLAB方程（7）的根軌跡，仿真程序如下：

num1=4.545*[1 0 0]；

den1=[1 0.1818 -31.18 -4.455 0]；

mysys1=tf（num1，den1）；

subplot（2，1，1）；

rlocus（mysys1）

title（'倒立擺模型的根軌跡圖形'）；

[k，ploes]=rlocfind（mysys1）

運行程序，得到如圖2所示根軌跡。

■

2.2 特征根對K的靈敏度分析

實現(xiàn)系統(tǒng)在受到外界變化的影響之后，仍能保持某些性能的特性，必須使特征根對參數(shù)變化的影響不敏感，即要求靈敏度滿足一定的要求。

利用MATLAB得到如圖3所示的增益K=6.62，s=

-0.989±1.22i。當K=6.02時，s=-1.24±0.613i，如圖4所示。對兩者進行分析：

Δs=-1.24+0.613i-（-0.989+1.22i）

=-0.251-0.607i （8）

■=■=-0.09 （9）

S■■=■=■=7.2∠67°（10）

同理可以找到K=7.22時，s=-0.73±1.72i。

Δs=-0.729+1.72i-（-0.989+1.22i）

=0.26+0.5i （11）

■=■=0.09 （12）

S■■=■=■=6.3∠63° （13）

可以看出當增益變化時，靈敏度大小和角度近似相等：

S■■=S■■ （14）

∠S■■=∠S■■ （15）

即■=0成立。由文獻[5]可以知道在選擇系統(tǒng)特征根的時候為了保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)該選擇對增益不靈敏的特征根。將控制系統(tǒng)在一定參數(shù)的攝動下，維持某些性能的特性稱為魯棒性。如果在實際運用中，系統(tǒng)滿足方程（14）和方程（15），則稱系統(tǒng)對增益變化具有魯棒性。

3 結(jié)束語

本文首先通過MATLAB繪制倒立擺的根軌跡，使系統(tǒng)的分析變得簡單的多，節(jié)省了很多精力和時間[2-3]。再經(jīng)過對系統(tǒng)的特征根靈敏度分析，得到了增益變化不大時靈敏度間的關(guān)系，通過選擇合適的特征根，來滿足控制系統(tǒng)的設(shè)計要求。

參考文獻：

[1]聞新，等.MATLAB基礎(chǔ)與范例教程[M].國防出版社，2013.

[2]黃忠霖.自動控制原理的MATLAB實現(xiàn)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2007.

[3]畢開波，王曉東，劉智平.飛行器制導與控制及其仿真技術(shù)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2009.

[4]趙陽，等.基于的特征根靈敏度分析[J].工業(yè)控制計算機，2012，2：69-72.

[5]I.J Nagrath，M.Gopal .Control Systems Engineering[M]. Halsted Press，aDivision of John Willey& Sons，inc.1982.