微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用與教學(xué)實(shí)踐

李建杰

【摘要】 實(shí)踐表明，各學(xué)科的高度融合為經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展提供了更為廣闊的空間. 為適應(yīng)這一發(fā)展，數(shù)學(xué)特別是職業(yè)高等數(shù)學(xué)教育必須發(fā)揮好基礎(chǔ)性作用，在講授學(xué)理的同時(shí)，更注重建立與完善各單元知識(shí)間的聯(lián)系，將微分方程應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模就是很好的例證.

【關(guān)鍵詞】 微分方程；數(shù)學(xué)建模

推動(dòng)數(shù)學(xué)理論為生產(chǎn)生活服務(wù)是一個(gè)繁復(fù)的過(guò)程，其中教材教學(xué)變革是重要環(huán)節(jié). 在教學(xué)中，將微分方程應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模，融通了數(shù)理與實(shí)踐的聯(lián)系，有利于學(xué)生全面系統(tǒng)思維的確立.

一、微分方程與數(shù)學(xué)建模

微分方程是未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間的函數(shù)方程，與初等數(shù)學(xué)中的線性方程、指數(shù)方程等有著質(zhì)的差異. 初等數(shù)學(xué)方程以建構(gòu)已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系為主要目的，而微分方程所含導(dǎo)數(shù)的特征，使其在分析與解決生產(chǎn)和建設(shè)中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)更具普遍應(yīng)用意義，它不僅與自然界中一切事物按其自身規(guī)律運(yùn)動(dòng)與演變的一般性相適應(yīng)，更重要是它的形成本身就與物理化學(xué)、天文，經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展息息相關(guān). 例如描述飛機(jī)在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下于空間飛行的軌道，放射性元素衰變規(guī)律，預(yù)測(cè)傳染病擴(kuò)散過(guò)程及感染人數(shù)，決策如何調(diào)價(jià)以利于新產(chǎn)品推廣等問(wèn)題時(shí)，微分方程的應(yīng)用須臾不可離開.

微分方程的廣泛適用性正是源于人們?cè)谡J(rèn)識(shí)自然過(guò)程中對(duì)多學(xué)科問(wèn)題的求解. 它始于蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)時(shí)討論微分方程的近似解，牛頓在建立微積分同時(shí)對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)求解. 而后瑞士數(shù)學(xué)家雅克布、歐拉和法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等日漸豐富了微分方程理論. 特別是隨著科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展，數(shù)學(xué)物理計(jì)算機(jī)不同學(xué)科的相互滲透，使常微分方程的數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展.

二、微分方程與數(shù)學(xué)建模的融合

在傳統(tǒng)的“微分方程”教學(xué)中，教師更注重于數(shù)理分析與推演，而常常忽視知識(shí)的實(shí)踐意義. 這樣的教學(xué)，只是教會(huì)學(xué)生如何解題，而很難建立起數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系. 因此，在講授微分方程時(shí)，需要將數(shù)學(xué)建模思想與常微分方程教學(xué)有機(jī)融合起來(lái).

這一融合教學(xué)絕不是“兩個(gè)單元”的硬性拼湊，而是相輔相成的有機(jī)構(gòu)成. 微分方程是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，是數(shù)學(xué)學(xué)科中最受關(guān)注的領(lǐng)域之一，它使得自然科學(xué)中用數(shù)學(xué)不僅能表明狀態(tài)，而且還展現(xiàn)了過(guò)程，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著重要作用.

三、微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

實(shí)現(xiàn)微分方程與數(shù)學(xué)建模的有機(jī)融合，關(guān)鍵是掌握建立微分方程模型的方法與步驟.

主要方法

微分方程模型的特點(diǎn)在于描述現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量的變化關(guān)系，往往是與時(shí)間相關(guān)的一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，構(gòu)建的方法主要有三種.

（1）利用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各學(xué)科中已知的定理或定律來(lái)建立的. 如力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，萬(wàn)有引力定律，熱力學(xué)定律、放射性問(wèn)題中的衰變率，以及生物學(xué)、電學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的增長(zhǎng)率等；

（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義建立微分方程模型

把導(dǎo)數(shù)解釋為瞬時(shí)變化率在很多領(lǐng)域建模時(shí)都會(huì)用到. 如在生物學(xué)、力學(xué)、電工學(xué)以及人口問(wèn)題研究中出現(xiàn)的“速率”“增長(zhǎng)”；在放射性問(wèn)題中出現(xiàn)的“衰變”，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中出現(xiàn)的“邊際的”等，這些詞的出現(xiàn)就是一個(gè)信號(hào)，要特別關(guān)注哪些研究對(duì)象在變化，這些變化規(guī)律也許可以用在微分方程的表示中.

（3）利用微元法建立常微分方程模型

這種方法主要是通過(guò)尋求微元之間的關(guān)系式，直接對(duì)函數(shù)運(yùn)用有關(guān)定理建立模型. 一般地，如果某一實(shí)際問(wèn)題中所求的變量I符合下列條件：I是與一個(gè)自變量x的變化區(qū)間[a，b]有關(guān)的量；I對(duì)于區(qū)間[a，b]具有可加性；部分量ΔIi = f（ξi）Δxi. 那么就可以考慮利用微元法來(lái)建立常微分方程模型. 這種方法經(jīng)常被應(yīng)用于各種領(lǐng)域，例如求曲線的弧長(zhǎng)、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、物理上變力做功、壓力、靜力矩及重心等.

基本步驟

（1）建立模型——了解實(shí)際背景，明確建模目的，收集所需數(shù)據(jù)，做出必要合理的簡(jiǎn)化假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明；

（2）求解模型——利用常微分方程的知識(shí)對(duì)所構(gòu)建的模型正確求解，對(duì)于復(fù)雜模型可借助數(shù)學(xué)軟件Matlab求解；

（3）模型探討——對(duì)模型求解過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，例如引入系數(shù)進(jìn)行誤差分析等，并修正改進(jìn)模型使之更準(zhǔn)確描述實(shí)際問(wèn)題；

（4）分析結(jié)論——通過(guò)所得數(shù)學(xué)結(jié)果分析實(shí)際的問(wèn)題，給出合理的解決方案，回歸實(shí)際案例.

（5）模型推廣——利用數(shù)學(xué)模型得到的解對(duì)研究的實(shí)際問(wèn)題給出分析解釋或預(yù)報(bào)供決策者參考.

四、數(shù)學(xué)建模與常微分方程融合教學(xué)的啟示

實(shí)踐告訴我們，常微分方程與數(shù)學(xué)建模融合教學(xué)， 有益于數(shù)學(xué)與實(shí)踐的鏈接，有益于破除數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域的“隔膜”，有益于學(xué)生從“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的轉(zhuǎn)變，實(shí)踐給我們以啟示.

1. 融合教學(xué)彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)的不足，使數(shù)學(xué)從理論的殿堂走近人們的生產(chǎn)生活，使刻板的數(shù)字公式成為分析解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的方法.

2. 融合教學(xué)打破了教學(xué)一言堂的局面，每個(gè)人都去找案例，收集信息，使學(xué)生從被灌輸?shù)膶?duì)象成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)習(xí)主動(dòng)性充分迸發(fā).

3. 融合教學(xué)深化了學(xué)生對(duì)常微分方程建模的理解，經(jīng)過(guò)反復(fù)的訓(xùn)練，有效提升了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的興趣與能力.

4. 融合教學(xué)促進(jìn)了教師知識(shí)水平的提高與教學(xué)模式的變革. 要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，一個(gè)關(guān)鍵因素就是教師知識(shí)體系的更新與教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變. 而這樣的變革需要在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)上的創(chuàng)新，需要統(tǒng)合辯證思維，需要鍥而不舍.