把握幾何直觀表現形式，探索高考試題本源

高立東 秦德生

【摘要】 幾何直觀在數學研究中起著聯絡、理解，甚至提供方法的作用，能引出數學的發明或發現，幾何直觀已經成為數學教育中的一個熱點問題. 本文探討幾何直觀的內涵，結合高考數學試題闡釋幾何直觀的實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示等三種表現形式，直觀能力具有創造性和工具性，有助于培養學生形成科學的數學思維方式.

【關鍵詞】 幾何直觀；高考試題；表現形式；教育價值

幾何直觀在數學中無處不在，不僅是一切幾何學的基礎，而且貫穿在整個數學學習過程中，而數學家依賴直觀推動對數學的思考，加強對數學的理解. 因此，幾何直觀的研究是數學中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內容、意義和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究范疇，逐漸成為數學教育的熱點問題.

1. 幾何直觀的內涵

數學家克萊因認為：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”；徐利治先生認為，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知. 從數學、哲學、心理學等視角可以看出直觀是一種感知，是形象思維和抽象思維的中介，是客觀世界不同事物的居間聯系環節. 2011年版課標指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題. 借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果. ”換句話說，幾何直觀就是借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力.

2. 幾何直觀的表現形式

孔凡哲、史寧中認為：在中小學數學中幾何直觀具體表現為四種形式，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀.秦德生認為：幾何直觀具有創造性和工具性，其目的是利用圖形描述和分析數學問題. 因此，從數學功能看，幾何直觀可以分為實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示. 形式1：實物直觀，借助與研究對象有一定關聯的現實世界中的實際存在物，進行簡捷、形象的思考和判斷. 實物直觀演示既可以是實際存在物，如球體、柱體、錐體、長方形、平行四邊形、梯形、圓、橢圓等；也可以借助計算機、七巧板、木棒等輔助的實物直觀演示，引導學生通過觀察、操作等活動，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動經驗，建立初步的空間觀念.

形式2：圖形直觀操作，對實物的動手操作或圖形運動操作進行幾何直觀探索. 直觀操作分為兩類：一類是實物的動手操作，包括折紙、展開、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動，能幫學生積累豐富的幾何事實，獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經驗.

另一類是圖形的運動操作（如平移、旋轉、反射等運動），如“點動成線”“線動成面”“面動成體”，半圓以直徑為軸旋轉可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉可以成為錐體等. 教師應該引導學生經歷觀察、操作等具體的感知經歷過程，培養他們借助圖形思考的能力，例如（2013年高考湖北卷理）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有

A. V1 < V2< V4 < V3

B. V1 < V3 < V2 < V4

C. V2 < V1 < V3 < V4

D. V2 < V3 < V1 < V4

形式3：圖形直觀表示，借助明確的幾何圖形來描述和分析數學問題.

圖形直觀表示是一種表征方式，是一種工具符號，主要分為兩類：一類是“形形表示”，如借助三視圖、網格、直角坐標系等圖形工具探索、描述和分析幾何問題，例如（2013年高考遼寧理科）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_______.

另一類“數形表示”，利用幾何圖形直觀，探索、描述和分析幾何以外的其他數學領域的問題，如利用數軸研究數系、方程的根，利用直觀圖分析數據，構造圖形研究代數式、函數，利用單位圓研究三角函數等，例如（2013年高考湖南卷）函數f（x） = 2ln x的圖像與函數g（x） = x2 - 4x + 5的圖像的交點個數為 （ ）.

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

本題畫出圖像即可問題解決.

3. 幾何直觀培養學生創造力的教育功能

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數學研究中起著聯絡、理解，甚至提供方法的作用. 從創造力來看，直觀能引出數學的發明，能決定理論的形式和研究方向；數學家總是力求把他們研究的問題變成幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導. 在大多數情況下，數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的.

因此，教師在數學教學中要挖掘教材資源，利用信息技術工具，展現豐富多彩的圖形世界，設計“借助幾何直觀進行思考”的典型案例；要注意讓學生經歷動手操作、圖形制作的過程，培養學生用幾何直觀描述、分析問題的意識，培養學生的畫圖能力、文字語言，符號語言和圖形語言相互轉化的能力，為學生借助幾何直觀培養創造性思維提供有力保障.

（本文系東北師范大學教改項目：中學數學教師課堂教學表征能力及其培養路徑的研究成果之一）