黃金分割發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

王浩成

摘 要：黃金分割被認(rèn)為是一種具有非常嚴(yán)格的和諧性、比例性、藝術(shù)性的數(shù)字，并且其中蘊(yùn)藏著非常豐富的美學(xué)價(jià)值。這一比值能夠引發(fā)人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例。本文介紹并討論了黃金分割的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過(guò)程以及其在各領(lǐng)域的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：黃金分割；黃金比例；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G62 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2016）20-0017-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.20.008

一、黃金分割簡(jiǎn)介

（一）發(fā)現(xiàn)歷史

黃金分割或稱黃金比例的第一次詳細(xì)描述是在2300年前歐幾里得的《幾何原本》（elements）中，其定義為：將整體一分為二，其中較大部分與整體部分的比值等于其較小部分與較大部分的比值，這一比值為（5-1）：2是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其值約為0.618。這個(gè)比例后來(lái)被公認(rèn)為是最能夠引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。

（二）數(shù)學(xué)關(guān)系

比較著名的斐波那契數(shù)列，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34……通過(guò)研究不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于菲波那切數(shù)列的各項(xiàng)來(lái)說(shuō)，相鄰兩項(xiàng)的商越靠后就越接近0.618，而通過(guò)通項(xiàng)公式去求相鄰兩項(xiàng)商的極限其結(jié)果正是黃金比例，因此菲波那切數(shù)列又稱之為黃金比數(shù)列。

另外，黃金分割在幾何角度方面的數(shù)值為2sin18°，其定義由黃金分割三角形確定。黃金分割三角形，即一個(gè)正五邊形的所有對(duì)角線所組成的全部三角形均為黃金分割三角形。其共同的特性為：黃金分割三角形是唯一的一種可以用5個(gè)而不是4個(gè)與其本身全等的三角形來(lái)組成與其本身相似的三角形的三角形。而除此之外的所有三角形都可以用四個(gè)與其本身全等的三角形來(lái)生成一個(gè)與其本身相似的三角形。

二、黃金分割的應(yīng)用

（一）在科學(xué)研究上的應(yīng)用

黃金分割的比例0.618這一數(shù)字最為數(shù)學(xué)家所關(guān)注，通過(guò)研究黃金比例，人們解決了許多數(shù)學(xué)界尤其是在幾何方面的難題，比如：求18°、36°角的正、余弦值，圓周的十等分、五等分等。

另外，可通過(guò)對(duì)黃金分割比例的應(yīng)用而將優(yōu)選法變?yōu)榭赡堋?/p>

比如，在某種試驗(yàn)中，某數(shù)值取值的變化范圍在0～10之間，要尋找實(shí)驗(yàn)效果最佳在哪個(gè)數(shù)值時(shí)，最常用的方法被稱為對(duì)分法，即每次取數(shù)值的中點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分考察，但這種方法并不是最快的實(shí)驗(yàn)方法。其實(shí)可以先找出實(shí)驗(yàn)的數(shù)值變化范圍的黃金分割點(diǎn)，即10×0.618，進(jìn)而去觀察實(shí)驗(yàn)取值為10×0.618=6.18時(shí)的試驗(yàn)效果，然后再觀察實(shí)驗(yàn)取值為10×（1-0.618）=3.82時(shí)的試驗(yàn)效果，通過(guò)對(duì)兩者的比較，選優(yōu)去劣，減小數(shù)值取值范圍。然后就可以在縮小后的變化范圍內(nèi)重復(fù)上述過(guò)程，直至選出最佳的數(shù)值，應(yīng)用優(yōu)選法后實(shí)驗(yàn)的次數(shù)將會(huì)大大減少。現(xiàn)在稱這種通過(guò)取區(qū)間的0.618處作為試驗(yàn)點(diǎn)的方法為一維的優(yōu)選法（0.618法）。通過(guò)實(shí)踐可以證明，對(duì)于一個(gè)其他因素都相同的問(wèn)題，用優(yōu)選法做16次試驗(yàn)的效果等價(jià)于 “對(duì)分法”做2500次試驗(yàn)才能達(dá)到的效果。

（二）藝術(shù)與黃金分割

在繪畫方面，黃金分割率以及黃金矩形能夠給畫面布局帶來(lái)美感。因此在很多藝術(shù)品中都能找到它。達(dá)·芬奇的《維特魯威人》《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》等名畫中都應(yīng)用到了黃金分割的比例進(jìn)行布局。

在雕塑藝術(shù)上，雕塑人體的身材最優(yōu)美的比例是按照0.618：1來(lái)設(shè)計(jì)腿長(zhǎng)與身高的比例。因此，無(wú)論維納斯女神塑像還是太陽(yáng)神阿波羅的形象都是通過(guò)故意延長(zhǎng)雕塑人體的雙腿，使其與身高的比值接近0.618，進(jìn)而創(chuàng)造出藝術(shù)的美感。

（三）黃金分割在建筑學(xué)里的應(yīng)用

“黃金分割比”的應(yīng)用幾乎遍及世界上最著名的古老建筑物。無(wú)論古埃及的金字塔，還是古印度的泰姬陵，或者古希臘的帕特農(nóng)神殿，甚至中國(guó)建設(shè)的故宮、法國(guó)的巴黎圣母院，黃金分割在古建筑里的應(yīng)用不勝枚舉。另外，除了人所共知的著名古代建筑，現(xiàn)當(dāng)代各種優(yōu)秀建筑中，雖然其建筑風(fēng)格的變化多端，在構(gòu)圖布局或設(shè)計(jì)方面都有意無(wú)意地運(yùn)用了黃金分割的比例， 進(jìn)而給人帶來(lái)建筑整體上的和諧和悅目之美。比如勒·柯布西耶的朗香教堂，被譽(yù)為其驚世之作，他在設(shè)計(jì)上很多細(xì)節(jié)都大量使用了黃金比例，最后因其帶有表現(xiàn)主義傾向的造型震動(dòng)了當(dāng)時(shí)整個(gè)建筑界。

（四）黃金分割在生活中的應(yīng)用

在日常生活中，很多小細(xì)節(jié)也充滿著黃金分割的影子。A4紙、各種顯示屏的長(zhǎng)寬比，人體感覺(jué)最適應(yīng)的溫度和體溫的比值，這些都符合黃金分割的比例。在自然界中，很多動(dòng)植物的生長(zhǎng)都遵從黃金分割的規(guī)律。一些植物的萼片、花瓣、果實(shí)數(shù)目以及排列的方式上，都非常符合黃金分割的規(guī)律，如菠蘿、松子等。

三、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

黃金分割就好像一個(gè)代表著藝術(shù)美學(xué)數(shù)字，通過(guò)黃金分割的應(yīng)用與研究不僅幫助人們解決了不少數(shù)學(xué)上的難題，更加滲透到其他各個(gè)學(xué)科之中，并發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

只有通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)不斷的深入學(xué)習(xí)和理解，才能逐漸在學(xué)習(xí)過(guò)程中領(lǐng)略到數(shù)學(xué)之美，才能應(yīng)用數(shù)學(xué)在生活中能解決越來(lái)越多的難題，才能更多地發(fā)現(xiàn)生活中需要解決的問(wèn)題。這同樣需要在生活中善于觀察，積極思考，將學(xué)到的知識(shí)與實(shí)際生活結(jié)合起來(lái)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 司志本.黃金分割——神圣的分割[J].湖南第一師范學(xué)報(bào)，2003（1）.

[2] 張雄.黃金分割的美學(xué)意義及其應(yīng)用[J].自然辯證法研究，1999（11）.

[責(zé)任編輯 房曉偉]