考研線性代數重點內容及常見題型

戴立輝　陳翔

摘要：本文依據考研大綱，對考研線性代數的重點內容及常見題型進行歸納和總結，從而將線性代數課程要求學生掌握的知識體系體現出來，可作為教師進行線性代數教學時參考。

關鍵詞：考研；線性代數；重點內容；常見題型

中圖分類號：G643 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）47-0202-02

線性代數是考研數學（含高等數學或微積分、線性代數、概率論與數理統計）重要組成部分之一，由于它的內容的抽象性，因此在理解上有一定的難度，使許多學生對該課程的考題有無從入手的感覺。因此要求學生首先要充分理解線性代數的基本概念，在此基礎上，熟練掌握相關基本定理或基本性質，最終熟練掌握基本計算方法，并及時將所學知識進行總結并提高，以達到融會貫通、舉一反三的目的。考研線性代數內容包括行列式、矩陣、向量與向量空間、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、二次型等[1]。本文依據考研大綱[2，3]，對考研線性代數的重點內容及常見題型進行歸納和總結，從而將線性代數課程要求學生掌握的知識體系體現出來，可作為教師進行線性代數教學時參考。

本文中，|A|表示方陣A的行列式，R（A）表示矩陣A的秩，A表示矩陣A的轉置，A表示矩陣A的伴隨矩陣，其他符號可參見文獻[1]。

一、行列式

行列式作為一種重要的數學工具，在線性代數課程中，如在計算矩陣的特征值中起著必不可少的作用。重點內容是計算行列式（具體的或抽象的行列式的計算），計算的主要方法有：用行列式定義計算行列式、用行列式的性質計算行列式（重點是化行列式為三角行列式）、按行或列展開定理（包括拉普拉斯展開定理）計算行列式、化行列式為范得蒙德行列式、用遞推法或數學歸納法或加邊法計算行列式、用方陣的特征值計算行列式（方陣的行列式等于它的全部特征值的乘積）。對于抽象的方陣的行列式的計算，目的是等的相關性質以及方陣特征值的性質。常見題型：（1）直接計算給定的低階或高階行列式；

（2）已知方陣A的行列式|A|，考察與A考察與 等相關的矩陣的性質；（3）已知方陣A的特征值，求其多項式φ（A）的行列式。

二、矩陣

矩陣在線性代數中占有極為重要的位置，內容多，影響深遠，線性代數的各個章節中都要涉及到它，是數學及其他學科的一個不可缺少的重要工具。重點內容：（1）可逆矩陣、伴隨矩陣、分塊矩陣、矩陣的初等變換、矩陣的秩、初等矩陣、矩陣的相抵（即等價）及標準形等概念；（2）矩陣的加法、數乘、乘法、轉置、方冪、多項式、分塊等運算（包括運用矩陣的性質對抽象矩陣進行運算）；（3）數量矩陣、對角形矩陣、三角形矩陣、對稱矩陣與反對稱矩陣等的基本性質，伴隨矩陣的常用性質，矩陣可逆的充分必要條件，矩陣的秩基本性質。常見題型：（1）矩陣的加法、數乘、乘法、轉置、行列式、逆、方冪、多項式以及它們的混合運算；（2）判斷矩陣的可逆及求矩陣的逆矩陣（或抽象的，或具體的，或用定義法，或用伴隨矩陣法，或用初等變換法，或用矩陣分塊法）；（3）矩陣與其伴隨矩陣的關系，伴隨矩陣性質的證明及應用；（4）用矩陣的逆或矩陣的初等變換解一些如AX=B（|A|≠0）或XA=B（|A|≠0）的矩陣方程；（5）用初等行變換化矩陣為行階梯形以及行最簡形；（6）用矩陣的初等變換計算矩陣的秩，與矩陣的秩相關的若干計算或證明問題；（7）矩陣的相抵及初等矩陣的性質與應用；（8）利用矩陣的分塊法，求矩陣的乘積、方冪、行列式、逆、秩等。

三、向量與向量空間

向量與向量空間涉及的理論知識較抽象，內容也比較多。主要包括向量的線性關系以及向量空間的初步知識。重點內容：（1）n維向量的線性運算（加法與數乘），向量的線性組合或線性表示，向量組的線性相關與線性無關，極大線性無關組，向量組的線性表示與等價，向量組的秩；（2）向量空間的基、維數、坐標等，n維向量空間的基變換公式與坐標變換公式，過渡矩陣；（3）向量內積的概念與基本性質，正交向量組，正交基與標準正交基，正交矩陣及其性質。常見題型：（1）判別向量組是線性相關還是線性無關、判別向量可否由向量組線性表示；（2）利用矩陣的初等行變換求向量組的向量組的秩以及求一個極大線性無關組，并將其余向量用所得極大線性無關組線性表示出來；（3）判別向量組之間的線性表示或等價，并寫出表示系數；（4）計算向量的內積﹑長度﹑夾角等，將線性無關向量組進行施密特正交單位化，求向量空間的一個標準正交基；（5）求具體的向量在給定的一個基下的坐標，求從一個基到另一個基的過渡矩陣（基變換公式），求向量在兩個不同基下的坐標（坐標變換公式）；（6）判斷矩陣是否為正交矩陣。

四、線性方程組

線性方程組的問題主要有線性方程組的求解法、解的判定法和解的結構等。重點內容：（1）線性方程組求解的消元法，線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的基本性質；（2）齊次線性方程組的基礎解系與通解，齊次線性方程組有非零解（或只有零解）的充分必要條件，非齊次線性方程組的通解；（3）克拉默法則。常見題型：（1）用消元法（即矩陣的初等行變換法）解線性方程組；（2）求齊次線性方程組的基礎解系和通解；（3）判別非齊次線性方程組是否有解，若有解求出方程組的通解；（4）用克拉默法則求解方程個數等于未知量個數的線性方程組。

五、矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量和矩陣的相似是矩陣理論的重要組成部分，它們在數學的各個分支和其他科學技術領域也有廣泛的應用。重點內容：（1）矩陣特征值、特征向量、特征多項式的基本概念與性質，相似矩陣的概念與基本性質；（2）矩陣可對角化（相似于對角形矩陣）的充分必要條件及對角化的方法；（3）實對稱矩陣的特征值、特征向量的基本性質，實對稱矩陣的對角化方法。

常見題型：（1）求矩陣的特征值與特征向量，對具體的數值矩陣A，用特征方程|λE-A|=0及（λE-A）x=0求A的特征值和相應的特征向量，而對抽象的矩陣A，可用定義Ax=λx求；（2）矩陣特征值、特征向量基本性質的應用；（3）判別矩陣是否可對角化，若可以，將矩陣對角化；（4）將實對稱矩陣對角化；（5）已知矩陣 的特征值、特征向量來確定A的參數或確定A，若A是實對稱矩陣，可用實對稱矩陣特征值、特征向量的性質，當然有時還可以由已知特征值λ 的特征向量確定出特征值λ（λ ≠λ）相應的特征向量，從而確定出A。

六、二次型

二次型的理論主要有標準形問題以及正定性問題。重點內容：（1）二次型的基本定義，二次型的矩陣，矩陣的合同；（2）二次型的標準形與規范形；（3）定二次型與正定矩陣，其他二次型（如負定二次型，半正定二次型，半負定二次型等）。常見題型：（1）用拉格朗日配方法或矩陣的初等合同變換法化二次型為標準形；（2）用正交線性變換法化實二次型為標準形（這和實對稱陣正交相似于對角形矩陣是一個問題的兩種提法）；（3）求實二次型的正慣性指數、負慣性指數、符號差；（4）判別矩陣是否合同；（5）化二次型為規范形；（6）判斷實二次型是否為正定二次型，或判斷實矩陣是否為正定矩陣（對具體的實二次型或實對稱矩陣，一般可用對應的順序主子式是否全部大于零來判斷，而對抽象的實二次型或實對稱矩陣，可用相關定義或相關充分必要條件來判斷）。

在考研真題中，常見的是有關矩陣、向量、線性方程組的綜合試題。因此，我們要指導學生認真總結，要開拓思路，要善于分析，徹底弄清楚諸多知識點之間的內在聯系，達到熟練掌握和靈活運用所學知識的目的。

參考文獻：

[1]戴立輝.線性代數教程[M].上海：同濟大學出版社，2013.

[2]教育部考試中心.全國碩士研究生招生考試數學考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3]教育部考試中心.全國碩士研究生入學數學考試分析[M].北京：高等教育出版社，2000.