一種基于試驗數據的發動機特性曲線擬合

楊永存，辛慶偉

（1.海軍駐貴陽地區軍事代表室，貴陽550009；2.海軍航空工程學院接改裝訓練大隊，山東煙臺264001）

一種基于試驗數據的發動機特性曲線擬合

楊永存1，辛慶偉2

（1.海軍駐貴陽地區軍事代表室，貴陽550009；2.海軍航空工程學院接改裝訓練大隊，山東煙臺264001）

準確的發動機特性曲線是其性能計算的基礎。文章討論了多種情況的特性曲線插值方法：在工作點位置區間內，對小數據情況引入了新的插值方法；多數據時，采用三次樣條插值方法進行插值；在工作點位置區間外，數據較多時，基于最小二乘法進行不同工作點的擬合；當工作點位置數據較少，利用新的插值方法在區間內引入虛擬工作點增加數據點，后按照數據較多的情況處理。所得結果與實際數值比較，精度較高，具有一定的參考價值。

擬合；樣條插值；特性曲線；發動機；數據處理

發動機模型是發動機性能計算以及優化控制的基礎［1-3］。而在發動機模型計算中，經常會調用壓氣機和渦輪的特性曲線［4-6］。可以說，壓氣機和渦輪特性曲線的準確性直接影響到發動機模型的精度［7-9］。發動機特性曲線目前存在的最大缺點是數據少，例如在某一工作點下，特性曲線上的數據點是有限的，性能計算過程中，經常會調用特性曲線上沒有的點，甚至在有些工作點位置下根本無法獲得特性曲線數據［10-12］。本文根據實際情況，以壓氣機特性曲線插值為例，討論了區間內和區間外工作點位置數據多少的情況，進行特性曲線插值的方法。對比了3種不同的插值方法，得到樣條插值效果最好。針對區間外數據點較少的情況，提出了一種新的插值方法，即引入虛擬工作點增加插值數據，結果較為理想。利用本文的插值方法，可以得到一些新的工作點位置的特性曲線，為發動機性能計算提供一定的基礎。

1　樣條插值基礎知識

設在區間內［a，b］上取n+1個節點，給定區間［a，b］的一個分化：Δ:a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b。

若實值函數s（x）滿足：

1）在小區間［xi-1，xi］（i=1，2，…，n）上是不超過3次的多項式；

2）在節點xi（i=1，2，…，n-1）處具有二階連續的導數。

則稱s（x）是關于分化Δ的三次樣條函數。

若進一步滿足：

3）s（xi）=f（xi）（i=0，1，2，…，n）。

則稱s（x）是f（x）關于分劃Δ的三次樣條插值函數。

三次樣條插值函數s（x）在每一個小區間上是不超過3次的多項式，含有4個待定系數。在整個插值區間上有4n個系數。按照三次樣條插值的定義，共有如下4n-2個約束：

內節點xi處

邊界節點處

另外，必須附加2個約束條件。常用的約束條件有如下3類：

1）轉角邊界條件s′（x0+0）=m0，s′（xn-0）=mn；

2）彎矩邊界條件s″（x0+0）=M0，s″（xn-0）=Mn；

2　三次樣條方法插值特性曲線

壓氣機和渦輪特性數據少，在有限數據的情況下，應采用適當的方法描述發動機的特性，如實反應壓氣機狀況。為此，本文采用不同的數據插值方法對壓氣機部件的特性曲線進行插值處理，找出比較理想的插值方法。圖1是壓氣機在某一工作位置下的特性曲線，利用3種不同的插值方法（線性插值，三次樣條插值，拉格朗日插值）方法［13-14］完成特性曲線的插值。

圖1　3種不同方法插值的壓氣機特性曲線Fig.1 Compressor characteristic map of three different method

由圖1明顯看出，拉格朗日插值方法明顯低于線性插值和三次樣條插值方法，帶有很強的波動性。進一步看出，3種插值方法在特征節點上插值數值都是相等的。

在一些節點上，得到的插值數據見表1。

由表1進一步分析可知，三次樣條插值優于線性插值方法，拉格朗日插值方法最效果較差。

應用拉格朗日插值方法完成對壓氣機其他特性曲線的繪制，如圖2～4所示。

由圖2～4分析可知，利用三次樣條插值可以較好的繪制發動機部件曲線。

表1　3種插值數據對比Tab.1 Data comparison of 3 interpolations

圖2　壓氣機流量相似參數線Fig.2 Compressor flow mass similar parameter map

圖3　壓氣機壓縮效率線Fig.3 Efficiency line of compressor efficiency

圖4　壓氣機增壓比特性曲線Fig.4 Ratio map of compressor pressure

3　工作點區間內插值

3.1數據信息少的情況

在很多情況下，知道兩端位置的曲線或工作點位置附近的曲線，求中間某個位置的特性曲線。以圖2的低壓壓氣機流量相似參線為例，已知工作點位置1和4的數據（轉速以及對應的流量），求工作點位置3的曲線。本文以以下方法完成所求工作點位置3曲線的插值。其中，工作點1到10是按照發動機轉速工作狀態從最小到最大進行均勻劃分［15］。

設工作點位置集合p存放一組工作點，轉速相似參數集合n存放一組轉速數據，流量相似參數集合m存放在對應工作點位置，對應轉速下的折合流量。具體插值方法如圖5所示。

圖5　插值示意圖Fig.5 Chart of interpolation

具體說明如下。

已知：m43，m33，m41，m32，m31，m11，m13，n1，n3。

求：m32。

設定n2=n1+c×（n3-n1），其中，c=0.75。

第3個插值工作點計算過程［10］如下（以求工作點位置3的n2下的m32插值為例）：

同一轉速下的各插值點按照上述相同的步驟完成。工作點位置3的插值結果如圖6所示。

圖6　真實數值與插值數值的對比Fig.6 Comparison of factual and interpolation value

圖6是待求工作點在已知插值工作點區間內，數據比較少的情況。相反，如果工作點位置比較多，數據信息比較多，直接采取三次樣條插值的方法。

3.2數據信息多的情況

已知條件是工作點位置1、2、3、4、5、6、7、8、10的轉速和流量相似參數數據，求工作點位置9的曲線。

在不同轉速下，對流量相似參數與工作點位置進行3次樣條插值，得工作點位置9在不同轉速下的流量相似參數，依次連接即為所求曲線，見圖7。由圖7可知，在數據信息較多時，三次樣條插值效果較好。

圖7　真實數值與插值數值的對比Fig.7 Comparison of factual and interpolation value

4　數據區間外的插值

4.1數據信息多的情況

另一種情況是待求工作點曲線在已知插值工作點區間外。已知條件是工作點位置1、2、3、4、5、6、7、8、9的轉速和流量相似參數數據，求工作點位置10的曲線。數據信息比較多，采取的具體做法如下。

利用最小二乘法［16-18］，在不同轉速下，建立流量與工作點位置的對應擬合關系，依據建立的規律得到工作點位置10在不同轉速下的流量相似參數，依次連接即為所求曲線。經過反復試驗，采用4次多項式插值，結果如圖8所示。由圖8可知，這種情況下采用本文方法插值效果較好。

4.2數據信息少的情況

如果數據點比較少，已知工作點位置1、2、3的特性曲線，求工作點位置4的曲線。這里采取的步驟：

增加數據點，在工作點位置1、2和2、3之間采用圖10示意的插值方法。引入虛擬工作點位置1.5、2.5，如果數據點信息不夠多，可以逐次分半。這里到2次分半，即引入虛擬工作點位置1、1.25、1.5、1.75、2、2.25、2.5、2.75、3。在此基礎上，利用最小二乘方法不同轉速，擬合流量相似參數與工作點位置的對應關系，得到工作點位置4在不同轉速下的流量相似參數，依次連接即為所求曲線，結果如圖9所示。

圖8　真實數值與插值數值的對比Fig.8 Comparison of factual and interpolation value

圖9　真實數值與插值數值的對比Fig.9 Comparison of factual and interpolation value

5　總結

本文利用三次樣條插值方法完成對壓氣機特性曲線的插值。對區間內和區間外的數據插值，數據信息少和多的情況，采取不同的插值方法。對區間外數據信息少的情況，引入虛擬工作點增加信息量的方法，擴大插值數據點，完成對特性曲線的插值。取得了比較好的效果。此方法可以完成對未知工作點的插值。

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A Fitting on Engine Characteristic Map Based on Text Data

YANG Yongcun1，XIN Qingwei2
（1.Military Representatives Office of Navy in Guiyang，Guiyang 550009，China；2.Training Brigade of Equipment Acceptance and Modification，NAAU，Yantai Shandong 264001，China）

Correct engine characteristic map is basis of performance computation.Characteristic map of interpolation method in many condition was discussed.For interpolation of internal work point zone，a new interpolation was introduced in the less data；spline interpolation was adopted in the more data.For interpolation of exterior zone，different work points were fitted based on LS method，required map was gained according to fitting law.When work point data was less，a new interpolation method was adopted to adding data by introducing unreal work condition，and interpolation was dealt with according to more data.Results was precise compared to factual value，it had reference value.

fitting；spline interpolation；characteristic map；engine；data processing

V263.3

A

1673-1522（2016）03-0312-05DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.003

2016-02-20；

2016-04-15

楊永存（1971-），男，高工，大學。