基于灰色馬爾可夫方法的機場FOD事件預測

王　維，張清棟

（中國民航大學機場學院，天津　300300）

基于灰色馬爾可夫方法的機場FOD事件預測

王維，張清棟

（中國民航大學機場學院，天津300300）

航空器外來物損傷事件（FOD）具有原因復雜、隨機發生等特點，因此很難用一般方法進行預測。采用灰色馬爾可夫方法對機場未來一定時間序列航空器外來物損傷事件進行預測，建立灰色馬爾可夫預測模型，實例分析表明灰色理論預測值恰好位于馬爾可夫鏈轉移概率的預測區間內，驗證表明，預測結果具有較好的準確性并且該方法具有很好的適用性，能為機場航空器損傷事件的預防管理提供必要的數據支持。

機場；預測模型；灰色馬爾可夫；航空器FOD事件；評價方法

隨著中國民航業的快速發展，民航安全越來越受到各方關注，航空器的安全運行變得尤為重要。目前威脅航空器地面安全運行的原因之一是機場道面外來物FOD（foreign object debris）。FOD的種類非常多，如飛機和發動機的連接件（螺帽、螺釘、墊圈、保險絲等）、機械和修理工具、飛行行李物品、鑰匙鎖扣、野生動物、樹葉、石頭和沙子、道面破損材料、木塊、塑料或聚乙烯材料、紙制品、飛行區的冰碴等［1-2］。這些物件可能小到不起眼，卻嚴重威脅航空器和人員的安全，輕則損傷航空器，重則造成機毀人亡的嚴重事故。

航空器FOD損傷事件每年給全球航空業造成至少135億美元的直接或間接經濟損失［3］。巨大的人員傷亡風險和經濟損失引起了國際航空業對FOD風險管理的高度重視［4］。為解決對FOD預測防范的實際問題，各國都加強了相關技術和預防管理的研究，并取得了一定的成果［5］。然而并沒有相關研究結合了某種理論，對FOD的航空器損傷事件進行預測并得出科學的預測數據，從而給機場的預測管理提供參考依據。

灰色理論和馬爾可夫鏈都可以對未來時變序列進行預測［6-7］，然而航空器FOD損傷事件受到其他許多因素的影響，并且事件發生具有很大的波動性，FOD的產生也是動態的時變事件，單獨使用這兩種方法導致預測結果精確度偏低［8］，沒有參考價值。使用兩種方法的灰色馬爾可夫預測模型，將灰色理論航空器FOD事件的時變趨勢和馬爾可夫鏈的轉移狀態進行結合，具有可靠預測結果和精度。

1　灰色馬爾可夫理論

1.1灰色系統和馬爾可夫系統

機場航空器FOD損傷事件具有很大的隨機性和不確定性，即存在著不明的“灰色”空間，故可使用灰色系統進行預測。

灰色系統GM（1，1）將隨機變量都視為灰色變量、隨機過程視為灰色過程，因而不需要大量歷史數據［9］。灰色基本模型通過時序數據累加，濾掉原始序列中可能的隨機量，從上下波動的時間序列中尋找某種隱含的規律性，進而得到隨機性弱化而規律性增強的新數列，從而挖掘出原始序列的內在特征［10］。灰色預測使用累加或累減的方法容易產生誤差，加上航空器FOD損傷事件的波動性，使其預測結果精度偏低。

馬爾可夫系統是時間、狀態均離散的隨機過程。其特點是無后效性，即時刻t的狀態只與前一時刻狀態有關，而與前面其它各時間狀態無關［11］。機場道面FOD的發生以及FOD航空器損傷事件是隨時間變化的動態系統，和機場道面過去狀態無關，其發生是隨機的非平穩過程，而馬爾可夫鏈可描述這種具有隨機波動特點的動態系統。該方法是根據狀態之間的轉移概率來預測系統未來的發展變化。

1.2灰色馬爾可夫理論

灰色模型和馬爾可夫模型都可用于時間序列預測問題［12］。灰色預測曲線呈單調遞增或單調遞減趨勢，可反映總體的變化趨勢［13］。馬爾可夫模型根據狀態轉移概率大小推測系統未來發展方向，而轉移概率反映了各種隨機因素的影響，因而適合于隨機波動大的時間序列預測問題。因此，上述兩種方法具有較好的互補性，結合使用能有效提高預測準確性。

灰色馬爾可夫模型的構建方法：首先根據前n年的歷史航空器FOD事件的數據建立GM（1，1）預測模型，進行第1步預測；然后利用GM（1，1）預測值與實際歷史數據的差值建立馬爾可夫多步轉移概率矩陣模型，利用前n年的初始狀態信息及相應的多步轉移概率和，推測下一時間序列所處狀態，最后根據馬爾可夫模型預測狀態對GM（1，1）模型預測值進行修正并進行精度計算和適用性驗證。

2　灰色馬爾可夫模型

2.1預測模型建立

FOD對航空器產生的損傷事件具有不確定性，通過借助累加法來建立模型找出其內在規律，設原始事件數據序列為t=1，2，…，n，則

其中：x（0）（t）為事件數，計算X（0）的一次累加生成序列

其中：x（1）（t）為x（0）（t-1）+x（0）（t）累加數據，t=1，2，…，n-1。構建下述一階線性微分方程，旨在獲得序列X（1）的規律性

其中：參數a、u為待定系數，可由最小二乘法求解。

將微分方程對時間序列t=1，2，…，n進行差分，得到以下線性方程組

若方程個數大于未知參數個數而無解，則按最小二乘法，求滿足

的最小二乘解，其中B、Y為計算矩陣，b為待定系數，可得

經過計算可求得微分方程的解為

若為離散形式，則為

基于此，可對累加生成序列X（1）進行預測。原始序列X（0）可由X（1）累減生成，即

結合馬爾可夫理論，將GM（1，1）預測擬和值與實際值的相對誤差分布情況建立狀態劃分標準，如表1所示。

表1　狀態劃分標準Tab.1　Standard of state classification

計算X（1）預測序列的差值Δx（1）為

根據機場航空器FOD損傷事件的灰色馬爾可夫模型，未來k時刻（或t時間）原始數據預測值為

結合預測狀態值和馬爾可夫鏈狀態轉移概率方法計算出預測量區間，并取預測區間的中間值進行修正得出最終預測數據。狀態轉移概率假設為A，假定某事件發生狀態可能有n種，則當前狀態轉移到未來狀態的概率Aij（i，j=1，2，…，n）。構造的矩陣為

計算方法是通過構造的矩陣，根據轉移概率得出馬爾可夫鏈的預測區間，設區間為則有

2.2預測模型適用性驗證

在應用灰色馬爾可夫模型解決機場航空器FOD損傷事件預測問題時，需要檢驗原始數據和隨機變量是否具有馬爾可夫特性，即驗證是否適合使用這一模型。首先定義狀態轉移概率：在事件的發展變化過程中，從某一種狀態出發，下一時刻轉移到其他狀態的可能性，稱為狀態轉移概率。

令｛x1，x2，…，xn｝為馬爾可夫指標序列，具有m個狀態，即E=｛1，2，…，m｝，用fij表示指標值從狀態i轉移到狀態j的頻數，i，j∈E，狀態轉移概率記為Pij，即

針對預測模型的適用性，可使用χ2卡方統計量來進行檢驗。將構造的轉移矩陣的第j列的和除以所有行列之和的比值叫做邊際概率，記為Pj，當序列n足夠大時，χ2統計量為

服從自由度為（m-1）2的χ2分布。在指定的顯著性水平條件下，設為α，查表可得的值，然后可得出χ2統計量的值。比較χ2和的值可得出預測模型的適用性，若則說明模型具有良好的適用性。

3　預測結果評價

預測模型檢驗方法可采用：殘差檢驗法、關聯度檢驗法和后驗差檢驗法等3種方法［14］。本預測模型采用檢驗精度較高的后驗差檢驗方法，具體步驟如下：

1）計算實測值與預測值的殘差和殘差相對值，殘差序列為ε（0）（k）（k=1，2，3，…）

2）計算殘差序列ε（0）（k）的方差S1和均值及原始序列X（0）（k）的方差S2；

3）計算ε（0）（k）和X（0）（k）序列的方差比值即驗差比值C及小誤差概率P，即

給定P0＞0，當P＞P0時，小誤差概率即有不同的精度等級。綜上可根據表2判斷灰色馬爾可夫模型的預測精度。

表2　預測精度Tab.2　Accuracy of predictng results

如果預測精度不合格或者勉強合格，須對預測模型進行修正。修正方法是利用已求殘差重構灰色馬爾可夫預測模型，求殘差預測值，并將其與原始序列預測值相累加，以補償原始序列預測值，進而提高預測精度。

4　算例

本文以新疆烏魯木齊機場FOD對航空器損傷（主要統計輪胎扎傷）事件的統計數據為例，對未來機場航空器FOD傷害事件進行預測并檢驗預測結果，以驗證模型的適用性。統計數據如表3所示（統計年份為2013年1月—2014年6月，各月按月度順序編號，2013年1月即為序號1，2月即為序號2。所有月份編排序號為1～18）。

由上表生成原始數據序列

表3　統計數據表Tab.3　Statistical data

對數據進行累加得到新的數據序列

計算｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（18）｝數據序列的差值Δx（1）

建立矩陣

根據馬爾可夫鏈轉移概率計算預測區間，取預測區間的中間值進行預測結果的修正，預測2014年1月數據，區間為

表4　馬爾可夫轉移概率預測區間Tab.4　Prediction interval of Markov transition probability

結合上述結果，可得到2014年1月及以后月份的預測值，2014年1月份對應序號13，以此類推，經過修正后的預測結果和實際值對比如圖1所示。

圖1　預測值與實際值的比較Fig.1　Comparison of predictive value and original data

可以發現，預測值和實際值的趨勢是比較接近的。預測結果分析如表5所示。

表5　預測結果分析Tab.5　Prediction data analysis

對灰色馬爾可夫模型的適用性進行檢驗，取顯著性水平α=0.05，計算得到因此可以適用該方法。

5　結語

本文預測方法采用灰色模型和馬爾可夫鏈相結合的方法，驗證表明：

1）該方法建立的優化數學模型更加接近實際情況，采用的灰色馬爾可夫方法能夠體現機場FOD對航空器損傷事件的波動性和不確定性。

2）對于機場航空器FOD損傷事件這個既有白色信息又有黑色信息的復雜系統，考慮使用灰色預測值和狀態轉移區間值落點判斷的方法，構造二者結合的灰色馬爾可夫模型，得出的預測數據較符合客觀趨勢，并且模型預測精度良好。

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（責任編輯：楊媛媛）

Airport FOD incident prediction based on Grey-Markov method

WANG Wei，ZHANG Qingdong
（Airport Engineering College，CAUC，Tianjin 300300，China）

Causes of aircraft FOD incidents are complex and random，so it is difficult to use general method to predict incident.Grey-Markov method is used to predict aircraft FOD incidents in future sequence and Grey-Markov prediction model is established，the calculation result shows that grey theory predicting data just locate in Markov chain prediction interval.The prediction result is proved accurate and the method is applicable，which can provide necessary statistical support for airport FOD prevention management.

airport；prediction model；Grey-Markov；aircraft FOD incident；evaluation method

V351.11

A

1674-5590（2016）03-0028-05

2015-07-02；

2015-09-20基金項目：中國民航大學波音技術挑戰項目（20140159204）

王維（1960—），男，河北豐南人，教授，碩士，研究方向為機場工程.