淺埋隧道圍巖破裂面的極限平衡分析

郭子紅，劉新榮，朱占元

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淺埋隧道圍巖破裂面的極限平衡分析

郭子紅1, 2, 3，劉新榮2，朱占元1, 3

(1. 四川農業大學土木工程學院，四川都江堰，611830；2. 重慶大學土木工程學院，重慶，400045；3. 四川農業大學村鎮建設防災減災四川省高等學校工程研究中心，四川都江堰，611830)

為探索淺埋隧道穩定性定量分析，采用極限平衡法和變分原理分別建立自由邊界條件下淺埋隧道的垂直型、傾斜型和曲線型破裂面穩定分析方法，結合數值模擬共同分析淺埋隧道破裂面分布形式和穩定性指標。研究結果表明：當為靜止土壓力時，曲線型和傾斜型破裂面條件下所獲淺埋隧道破裂面分布和安全系數很接近，且所獲安全系數最小，選擇其作為淺埋隧道穩定性分析比較保守；淺埋隧道圍巖破裂面分布受內摩擦角、內聚力和支護壓力的影響相對較小，受隧道埋深影響最顯著；內摩擦角和埋深對隧道安全系數影響相對較小，內聚力和支護壓力對隧道穩定系數影響最顯著，增加圍巖內聚力和支護壓力是提升隧道安全系數最有效的方法。

淺埋隧道；破裂面；穩定；極限平衡；變分原理

淺埋隧道是隧道工程中常見的形式，通常情況下圍巖的力學特性較差，受力和破壞比較復雜，施工過程中很容易出現塌方和冒頂等不利現象，淺埋隧道圍巖穩定性備受工程界關注[1?2]。基于極限平衡法，TERZAGHI等[3?4]提出淺埋隧道的受力計算方法，這些方法主要是以給定的簡單直線破裂面為基礎進行受力分析的，而折線型破裂面[5?8]和曲線型破裂面[9?13]分別用于對受力分析改進，模型試驗結果表明淺埋隧道破裂面為曲線分布[14]，但就隧道破裂面分布的形式和位置而言，暫無公認的結論。安全系數作為定量評價指標廣泛用于邊坡穩定性分析，有限元、FLAC、RFPA、理論分析逐漸用于分析隧道的安全系數作為穩定性判據[15?19]，但現有成果有待深入研究，開展淺埋隧道的穩定性定量分析具有重要現實意義。鑒于此，本文作者采用極限平衡法和變分原理分別建立自由邊界條件下淺埋隧道的垂直型、傾斜型和曲線型破裂面穩定分析方法，結合數值模擬共同分析淺埋隧道破裂面分布和穩定性指標；以此分析各種因素對淺埋隧道破裂面和穩定系數的影響，研究成果可供淺埋隧道的設計與施工參考。

1 淺埋隧道受力模型簡化

地表作用有均布荷載，支護結構作用有均勻法向應力，圍巖自重為，內聚力為，內摩擦角為，埋深為，地面到隧道中心垂直距離為，拱頂半徑為的淺埋隧道進行簡化受力分析模型如圖1所示。隧道處于結構對稱荷載對稱狀態，從處將隧道切開，截面上沒有剪應力而只有正應力。可將截面上的應力簡化為一個垂直于該截面的合力。如果能將合力的位置與大小確定，可選取結構的一半進行隧道穩定性分析。

圖1 淺埋隧道分析模型

數值模擬分析隧道開挖對截面平均正應力影響如圖2所示。由圖2可知：當相對埋深為0.5時，平均應力增加系數s(應力增加平均值/原始應力平均值)為2.03；當相對埋深增加至3時，平均應力增加系數s減少至0.23。由此可知開挖隧道后截面平均正應力具有增加趨勢，此時應力會大于靜止土壓力，但不會超過土的臨界承載力，將分別選擇為靜止土壓力和臨界承載力進行分析。簡化靜止土壓應力，根據半經驗公式選取作為隧道拱頂的靜止土壓力系數；土單軸抗壓強度為臨界承載力。

圖2 隧道開挖對AB截面平均正應力影響

2 淺埋隧道圍巖破裂面及穩定性分析

2.1 基于垂直破裂面對淺埋隧道圍巖穩定性分析

Terzaghi地壓理論在分析圍巖壓力時假定破裂面為垂直線，以圖1中淺埋隧道的垂直破裂面為分析對象，假定淺埋隧道的破裂面為沿隧道周邊移動的任意垂直面，截面上只存在水平應力，其合力為，簡化水平應力對滑體穩定產生的影響為阻止其下滑的抗力；和2點的坐標為0，滑體向下的滑移力為X

滑體滑動時應沿著破裂面向下移動，破裂面應為安全系數最小的截面。定義淺埋隧道的安全系數s為下滑力X與抗滑力K的比值：

令s對0求偏導等于0可得滿足s極值條件方程，簡化得：

求得0后代入式(3)可得出淺埋隧道的安全系數s。

2.2 基于傾斜破裂面對淺埋隧道圍巖穩定性分析

對圖1中破裂面為傾斜面條件下淺埋隧道的穩定性進行分析，和這2點的坐標分別為和，破裂面的斜率為，破裂面的表達式為，可得隧道破裂面上的下滑力為

s內含有0和2個變量，由多元函數的極值求解可知s取得極值的充分條件為

式(8)為非線性方程組，可采用迭代法求出0和取得極值時的數值，再將0和代入式(7)求得安全系數。

2.3 變分原理對淺埋隧道圍巖穩定性分析

淺埋隧道破裂面的位置和形狀暫無公認結論，當破裂面為任意位置和任意曲線時其受力可簡化為圖1所示曲線型破裂面。此時破裂面通過地表的點和隧道周邊的點都是不確定的，且破裂面的類型也不確定，該條件下無法采用常規方法令函數求導為0進行求解。如能建立一個與淺埋隧道穩定性相關的泛函，便可根據可動邊界的變分問題求解出和這2點的位置及破裂面的表達式。

將面上的下滑力與抗滑力的作用方向視為同一方向，水平應力對滑動區域產生的影響為：增加抗滑力和減小下滑力，為和這2點的連線與水平方向的夾角。

圖1中和2點的坐標分別為和，可得淺埋隧道曲線型破裂面上的下滑力：

此處必須解決0，1和的分布問題，是屬于區域函數，且分布形式不明確，不能直接采用求導方法求解。如只分析在區域內的極值，可采用變分原理進行分析，但s屬于區域。怎樣將區域的安全系數的極值問題與區域破裂面的分布結合起來，是求解s的關鍵問題。令對求偏導等于0，可得：

圖3 破裂面分析流程

為獲得破裂面()的表達式，必須根據邊界條件選擇恰當的基函數。因為泛函的邊界條件屬于非齊次的，并且在該坐標下滿足條件的基函數相當復雜，為使計算簡單將坐標原點移至點。由式(16)獲得新泛函為

將該非齊次邊界條件簡化為齊次邊界，令函數為

式(20)能同時滿足式(19)和式(21)的邊界條件，所以是合理的。采用Ritz法選取基函數：

根據式(17)、式(18)和式(25)建立+2個等式的方程組，可求得破裂面()的分布和隧道的安全系數。

3 淺埋隧道破裂面優選

根據垂直型、傾斜型和曲線型破裂面條件可得出淺埋隧道的3種破裂面的分布與安全系數，根據該3種破裂面分析方法采用Matlab編程獲取數值解。以下采用案例分析不同方法獲得淺埋隧道破裂面的分布與安全系數，并結合ANSYS共同分析淺埋隧道的破裂面分布和穩定性。

淺埋隧道地表作用有均布荷載=50 kPa，圍巖自重為2.2×10=22 kN/m3，埋深為=6 m，拱頂半徑為=6 m，垂直方向的地震系數，內聚力和內摩擦角分別為=150 kPa，35°，為臨界土壓力時可得c=3 458 kN；為靜止土壓力時根據經驗公式可得0=297 kN。

為臨界土壓力時獲得垂直型和傾斜型破裂面結果，且傾斜型破裂面已經變成垂直破裂面，兩者的結果基本重合，破裂面如圖4所示。

圖4 F為臨界土壓力下的破裂面

為靜止土壓力下的破裂面的分布，如圖5所示。由圖5可知：變分方法獲得的淺埋隧道破裂面與傾斜破裂面條件獲得的破裂面基本重合。采用變分方法獲得破裂面的起點的0坐標為5.31 m，終點的1坐標為9.56 m，起點和終點的連線非常接近直線，斜率大于2，總體基本形成一漏斗，與文獻[6]的分析結果接近。垂直型破裂面條件獲得破裂面起點和終點的坐標為5.05 m，該破裂面分布形式與其他2種方法獲得的結果相差較大。

圖5 F為靜止土壓力下的破裂面

基于強度折減法將穩定系數接近1時淺埋隧道的豎向位移和塑性剪切應變如圖6所示。由圖6可知：最大塑性剪切應變分布在拱肩附近，最大豎向位移分布在拱頂處。從最大塑性剪切應變處為起點，豎向位移等值線所圍成的區域與為靜止土壓力下傾斜型和曲線型破裂面圍成區域性質較接近。

(a) 塑性剪切應變分布；(b) 豎向位移分布

數值模擬和3種類型破裂面條件下獲得的安全系數如圖7所示。由圖7可知：數值模擬獲得的安全系數為1.69；當為臨界土壓力時，采用變分原理進行計算時收斂困難，暫無結果；垂直型和傾斜型破裂面獲得的安全系數很接近，為2.68，按現有規范中傾斜型破裂面起點位于拱腳，分析得安全系數為3.73，遠大于數值模擬結果。當為靜止土壓力時，垂直型破裂面條件下獲得的安全系數為1.20，傾斜型破裂面條件下獲得的安全系數為0.944，曲線型破裂面獲得的安全系數為0.942，此時的安全系數全小于數值模擬結果。當傾斜型破裂面起點在拱腳進行分析，其安全系數為0.991。當為臨界土壓力時，所得安全系數遠大于數值模擬所得安全系數；當為靜止土壓力時，所得安全系數都小于數值模擬所得安全系數。因此，選擇為靜止土壓力進行淺埋隧道穩定性分析是相對保守和可行的。

1—上限結果；2—下限結果。

雖然采用變分方法求解的隧道破裂面及穩定性假設條件少，獲得的結果更合理，但分析過程較為復雜。由圖4~6可知：數值模擬、傾斜型、曲線型破裂面所獲破裂面分布相近，傾斜型和曲線型破裂面所獲安全系數基本相等，且小于數值模擬結果。采用自由邊界條件下淺埋隧道傾斜型破裂面穩定分析方法可較好獲取破裂面分布和穩定系數，且避開復雜分析過程。

4 淺埋隧道圍巖破裂面的影響因素

選擇為靜止土壓力和自由邊界條件下淺埋隧道傾斜型破裂面穩定分析方法，以案例為基礎，分析各參數對淺埋隧道圍巖破裂面分布和穩定性的影響。

淺埋隧道圍巖內摩擦角對破裂面的影響如圖8所示。由圖8可知：隨著內摩擦角從20°增加到40°，破裂面的起點0從5.87 m增加到5.96 m，破裂面斜率從1.89增加到2.58，表明內摩擦角對破裂面的影響較小。

圖8 內摩擦角對破裂面的影響

淺埋隧道圍巖內聚力對破裂面的影響如圖9所示。由圖9可知：隨著內聚力從80 kPa增加至160 kPa破裂面的斜率從2.53減小到2.00，破裂面的起點坐標沒有明顯變化，表明內聚力對破裂面的影響較小。

圖9 內聚力對破裂面的影響

淺埋隧道相對埋深(/)對破裂面的影響如圖10所示。從圖10可以看出：隨著隧道埋深的不斷減小，隧道破裂面的起點不斷向拱頂靠近；相對埋深從1.25減小至0.25時，0的坐標從5.96 m減小到5.09 m，斜率從 2.18增加到2.33，表明當淺埋隧道埋深對破裂面的影響較大，埋深越小，破裂面越往拱頂靠攏。

圖10 隧道相對埋深( t/r)對破裂面的影響

支護壓力對淺埋隧道破裂面的影響如圖11所示。由圖11可以看出：當支護壓力從0 kPa增加到80 kPa時，破裂面的斜率從2.19減少到1.80；破裂面起點0從5.92增加到5.99，破裂面具有向兩側移動的趨勢，但總體影響小。

圖11 支護壓力對破裂面的影響

淺埋隧道穩定性影響因素如圖12所示。從圖12可以看出：當圍巖內摩擦角從20°增加到40°時，安全系數從0.75增加到0.80；相對埋深從0.25增加到1.25時，安全系數變化只有0.02，表明隧道相對埋深和內摩擦角對安全系數的影響較小。當內聚力從80 kPa增至160 kPa時，安全系數從0.57增加到0.98；支護壓力從0 kPa增加到80 kPa時，安全系數從0.78增加到0.94，表明提高淺埋隧道內聚力和支護壓力能顯著提升其穩定性。

1—φ；2—c；3—相對埋深；4—支護壓力。

5 結論

1) 基于極限平衡法和變分原理分別獲得了自由邊界條件下淺埋隧道的垂直型、傾斜型和曲線型破裂面穩定分析方法。

2) 當為臨界土壓力時，傾斜型與垂直型破裂面條件下的破裂面和安全系數基本一致，但安全系數遠大于數值分析結果，不宜選擇為臨界土壓力進行隧道安全性分析。

3)當為靜止土壓力時曲線型和傾斜型破裂面條件下所獲破裂面分布和安全系數都很接近，其兩者所獲穩定系數最小，選擇其作為淺埋隧道穩定性分析較為合理和保守。

4)分析淺埋隧道圍巖破裂面和穩定性的影響因素得：淺埋隧道圍巖破裂面受內摩擦角、內聚力和支護壓力的影響相對較小，受隧道埋深影響最顯著；內摩擦角和埋深對的隧道安全系數影響相對較小，內聚力和支護壓力對隧道穩定系數影響最顯著，內聚力和支護壓力越大，隧道越穩定。

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Limit equilibrium analysis for shallow tunnel’s surrounding rock sliding surface

GUO Zihong1, 2, 3, LIU Xinrong2, ZHU Zhanyuan1, 3

(1. School of Civil Engineering, Sichuan Agricultural University, Dujiangyan 611830, China; 2. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 3. Sichuan Higher Institution Engineering Research Center of Rural Construction Disaster Prevention and Reduction, Sichuan Agricultural University, Dujiangyan, 611830, China)

In order to analyze the shallow tunnel’s stability, the analytical methods for shallow tunnel’s sliding surface were set up on the base of the limit equilibrium method and the variational principle in the hypothesis that sliding surfaces werevertical line, inclined line or curve.The shallow tunnel’s sliding surface distribution and stability index were studied with the numerical simulation and analytical method. The results show that whenis equal to the static earth pressure and the sliding surfaces are inclined line and curve, the shallow tunnel’s safety factors and sliding surface distribution are consistent with each other for both sliding surface, the value of safety factor is minimum, and it is conservative to choose it for stability analysis for a shallow tunnel. The shallow tunnel surrounding rock’s cohesion, internal friction and support pressure have a little influence on the sliding surface’s distribution. But the tunnel depth has an evident influence on it. The shallow tunnel surrounding rock’s cohesion and support pressure have obvious influence on the tunnel’s safety factor, and the tunnel depth and friction angle’s effect on tunnel safety factor is unobvious. Increasing cohesion and support pressure is the most applicable methods of enhancing tunnel stability.

shallow tunnel; sliding surface; stability; limit equilibrium; variational principle

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.041

U415

A

1672?7207(2016)09?3217?08

2015?06?12；

2015?09?18

國家高技術研究發展計劃(863計劃)項目(2007AA11Z110)；國家自然科學基金資助項目(50334060)；四川省教育廳資助科研項目(11ZB055) (Project(2007AA11Z110) supported by the National High Research Development Program (863 Program) of China; Project(50334060) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(11ZB055) supported by the Education Department’s Scientific Research Foundation of Sichuan Province)

郭子紅，博士，副教授，從事巖土工程與地下工程的教學與研究；E-mail: guozihonghyx@126.com

(編輯 劉錦偉)