全等之后見精彩

□左效平

全等之后見精彩

□左效平

全等三角形既是獨立的數學知識，也是重要的學習工具，如能靈活應用這一強有力的數學工具，將會充分享受三角形全等后帶來的精彩，真正領悟數學的魅力，感悟數學的奇妙.

一、全等后辨析結論正誤

例1如圖1，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.給出下列四個結論：

①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF.

其中正確的結論共有（）.

圖1

A.4個B.3個

C.2個D.1個

分析：由BF∥AC，得∠C=∠CBF，因為BC平分∠ABF，所以∠ABC=∠CBF，所以∠C=∠ABC，所以AB= AC，因為AD是△ABC的角平分線，所以BD=CD，AD⊥BC，②③正確.

在△CDE與△DBF中，

所以△CDE≌△BDF，

所以DE=DF，CE=BF，

結論①正確.

因為AE=2BF，所以AC=3BF，

④正確.

解：選A.

二、全等后證明線段相等

例2如圖2，已知點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延長交BC的延長線于點E，EF=FD.求證：AD=CE.

圖2

分析：作DG∥BC交AC于G，先證明△DFG≌△EFC，得出GD= CE，再證明△ADG是等邊三角形，得出AD=GD，即可得出結論.

證明：如圖2所示，作DG∥BC交AC于G，則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB.因為△ABC是等邊三角形，所以△ADG是等邊三角形，所以DG=AD.

因為DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF.

在△DGF和△ECF中，

所以△DGF≌△ECF，

所以CE=GD.

因為GD=AD，所以AD=CE.

三、全等后判定三角形的形狀，探求生成新角的度數

例3已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC.

（1）如圖3，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；

圖3

（2）如圖4，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數；若不是，請說明理由.

圖4

分析：（1）利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質得出FD=DC及∠FDA=∠DCB，即可判斷三角形的形狀.

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF、CF，利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°.

解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：

因為AF⊥AD，∠ABC=90°，

所以∠FAD=∠DBC=90°.

在△FAD與△DBC中，

所以△FAD≌△DBC（SAS），

所以FD=DC，∠FDA=∠DCB.

因為∠BDC+∠DCB=90°，

所以∠BDC+∠FDA=90°，

所以△CDF是等腰直角三角形.

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF、CF，如圖4.

因為AF⊥AD，∠ABC=90°，

所以∠FAD=∠DBC=90°.

在△FAD與△DBC中，

所以△FAD≌△DBC（SAS），

所以FD=DC，∠FDA=∠DCB.

因為∠BDC+∠DCB=90°，

所以∠BDC+∠FDA=90°，

所以△CDF是等腰直角三角形，

∠FCD=45°.

因為AF∥CE，

所以∠FAC=∠ECA.

因為CE=BD，BD=AF，

所以AF=CE.

在△FAC與△EAC中，

所以△FAC≌△ECA，

所以∠FCA=∠EAC，

所以AE∥CF，

所以∠ADP=∠FCD=45°.

四、全等后判定兩線的位置、數量關系

例4如圖5，已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E.

（1）求證：△ABD≌△CAE；

（2）連接DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數量關系？請證明你的結論.

圖5

分析：（1）運用AAS證明△ABD≌△CAE.

（2）證明△ADE≌△ECA，AC= DE，結合AB=AC，得證AB=DE；證明∠ABC=∠ACB=∠EDC，可證明AB∥DE.

證明：（1）因為AB=AC，所以∠B=∠ACD，因為AE∥BC，所以∠EAC=∠ACD，所以∠B=∠EAC.

因為AD是BC邊上的中線，所以AD⊥BC，因為CE⊥AE，所以∠ADC=∠CEA=90°.

在△ABD和△CAE中，

所以△ABD≌△CAE（AAS）.

（2）AB=DE且AB∥DE.

理由如下：連接DE，因為AD⊥BC，AE∥BC，所以AD⊥AE，因為CE⊥AE，所以∠DAE=∠CEA=90°.

由（1）知△ABD≌△CAE，

所以AD=CE，

在△ADE和△ECA中，

所以△ADE≌△ECA，

所以DE=AC，

因為AB=AC，所以DE=AB.

因為△ADE≌△ECA，

所以∠ADE=∠ACE，

所以∠EDC=∠ACB，

所以∠EDC=∠B，

所以AB∥DE.

所以二者的關系是AB=DE且AB∥DE.