巧用三角形的外角

□安義人

巧用三角形的外角

□安義人

三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角.解答一些與三角形的角有關(guān)的問題時(shí)，別忘了靈活運(yùn)用三角形的外角.

一、與角有關(guān)的求值問題

例1如圖1，CE平分∠ACD，F(xiàn)為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)G∥CE交AB于G，∠ACD=110°，∠AGF=20°，試求∠B的度數(shù).

圖1

分析：顯見∠ACD=∠B+∠BAC.又∠ACD=110°，那么要求∠B的度數(shù)，關(guān)鍵在于確定∠BAC的度數(shù).

解：因?yàn)镃E平分∠ACD，

∠ACD=110°，

因?yàn)镕G∥CE，

所以∠F=∠ACE=55°.

又∠AGF=20°，

所以∠BAC=∠F+∠AGF=75°.

因?yàn)椤螦CD=∠B+∠BAC，

所以∠B=∠ACD-∠BAC=35°.

二、與角有關(guān)的證明問題

例2如圖2，點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn).求

圖2

分析：顯見∠A=∠ACE-∠ABC，∠P=∠PCE-∠PBC.要證明∠P=∠A，那么只要證明∠PCE-∠PBC=（∠ACE-∠ABC）就可以了.

證明：因?yàn)镃P、BP分別平分∠ACE、∠ABC，

因?yàn)椤螾CE=∠P+∠PBC，

所以∠P=∠PCE-∠PBC

因?yàn)椤螦CE=∠A+∠ABC，

所以∠ACE-∠ABC=∠A.

三、與角有關(guān)的探索問題

例3如圖3，△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F(xiàn)為AE上的一點(diǎn)，且FD⊥BC于點(diǎn)D.

（1）請(qǐng)?zhí)剿鳌螮FD與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖4，當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件都不變，判斷你在（1）中探索的結(jié)論是否還成立？如果不成立，∠EFD與∠B、∠C又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

圖3

圖4

分析：無論是圖3，還是圖4，都有∠FDE=90°，那么∠EFD=90°-∠DEF.要探索∠EFD與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)考慮將∠DEF轉(zhuǎn)化，看看能否用∠B、∠C的代數(shù)式表示.

因?yàn)镕D⊥BC，

所以∠FDE=90°，

∠EFD=90°-∠DEF.

因?yàn)锳E平分∠BAC，

∠BAC=180°-（∠B+∠C），

所以∠DEF=∠B+∠BAE

（2）成立.證明思路與（1）類似.