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巧用三角形的外角

2016-10-25 07:15:22安義人
初中生天地 2016年26期

□安義人

巧用三角形的外角

□安義人

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.解答一些與三角形的角有關的問題時,別忘了靈活運用三角形的外角.

一、與角有關的求值問題

例1如圖1,CE平分∠ACD,F為CA延長線上一點,FG∥CE交AB于G,∠ACD=110°,∠AGF=20°,試求∠B的度數.

圖1

分析:顯見∠ACD=∠B+∠BAC.又∠ACD=110°,那么要求∠B的度數,關鍵在于確定∠BAC的度數.

解:因為CE平分∠ACD,

∠ACD=110°,

因為FG∥CE,

所以∠F=∠ACE=55°.

又∠AGF=20°,

所以∠BAC=∠F+∠AGF=75°.

因為∠ACD=∠B+∠BAC,

所以∠B=∠ACD-∠BAC=35°.

二、與角有關的證明問題

例2如圖2,點P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點.求

圖2

分析:顯見∠A=∠ACE-∠ABC,∠P=∠PCE-∠PBC.要證明∠P=∠A,那么只要證明∠PCE-∠PBC=(∠ACE-∠ABC)就可以了.

證明:因為CP、BP分別平分∠ACE、∠ABC,

因為∠PCE=∠P+∠PBC,

所以∠P=∠PCE-∠PBC

因為∠ACE=∠A+∠ABC,

所以∠ACE-∠ABC=∠A.

三、與角有關的探索問題

例3如圖3,△ABC中,AE平分∠BAC,∠C>∠B,F為AE上的一點,且FD⊥BC于點D.

(1)請探索∠EFD與∠B、∠C的數量關系;

(2)如圖4,當點F在AE的延長線上時,其余條件都不變,判斷你在(1)中探索的結論是否還成立?如果不成立,∠EFD與∠B、∠C又有怎樣的數量關系,請說明理由.

圖3

圖4

分析:無論是圖3,還是圖4,都有∠FDE=90°,那么∠EFD=90°-∠DEF.要探索∠EFD與∠B、∠C的數量關系,應考慮將∠DEF轉化,看看能否用∠B、∠C的代數式表示.

因為FD⊥BC,

所以∠FDE=90°,

∠EFD=90°-∠DEF.

因為AE平分∠BAC,

∠BAC=180°-(∠B+∠C),

所以∠DEF=∠B+∠BAE

(2)成立.證明思路與(1)類似.

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