人文氣息下的數學歸納法教學

張曉東

[摘 要] 數學歸納法的教學被人說成是世界難題，解決這個難題是我們數學教育工作者所關注的. 我們期盼能否用中華民族傳統文化的滲透而為這個問題解決推波助瀾. 在本節課教學中，把滲透數學文化和民族文化作為突破數學歸納法教學難點的重要支撐，收到很好的效果.

[關鍵詞] 數學歸納法；人文滲透；突破；瓶頸；學科德育

一點說明

上學期根據區教研員的安排，要求我們上一節在數學教學中滲透人文素養的區級公開課. 接到任務時，我們的教學進度在“數學歸納法”. 按文獻1的敘述，“數學歸納法從萌芽到以歸納公理的形式最終確定下來，共經歷了兩千多年的時間……，數學歸納法的教學是一個世界難題.” 如何突破這個教學難點，又要使人文知識與數學理性相映生輝. 在時間緊、任務重的情況下，我們緊急籌劃，廣泛采獵，反復推敲，并在教研組老師中逐一征求意見的情況下，形成初稿.再經過兩次試教，兩易其稿，最終定稿.

教學過程簡述

1. 創設情景，引入課題

引例1：

（1）天下烏鴉一般黑，對不對？

學生：很難說.

（2）我們給出這樣的數列：數列{an}的遞推公式：a1=2，且an+1=a-nan+1（n∈N*），求a2=_____，a3=_____，a4=______，a5=_____，

并由此猜測出{an}的一個通項公式為an=_________（注：猜測結果是an=n+1）.

（3）費馬素數猜想（PPT顯示費馬頭像、簡介）

法國數學家費馬于1640年提出了以下猜想：設Fn=22n+1，F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537，這五個數是質數，由此提出（費馬沒給出證明），形如Fn=22n+1的數都是質數的猜想. 但在1732年，歐拉算出F5=641×67900417是合數.

設計意圖：先由天下烏鴉一般黑這個有趣的說法引入不完全歸納的思想，引發學生思考，這種思想在數學學習中有沒有應用呢？拋出引例1（2），學生完成后追問，猜出來的通項公式一定對嗎，然后適時引出費馬數，一方面對學生進行數學史的熏陶，另一方面，由這個例子可以看到，連這樣數學頂級大師在用不完全歸納的時候，都能犯這種美麗的錯誤，何況我們凡夫俗子，所以提醒大家：歸納有風險，猜想須謹慎！

請大家思考，對于我們猜想出來的命題，如果要說明他是錯誤的，應該怎么辦？

如果要說明猜想出來命題如引例1（2）是正確的，怎么辦呢？進而一種證明引例1（2）的方法呼之欲出. 另外，我們在選擇引例1（2）還基于以下原因：就是這個數列的通項公式很好猜，但很難轉化為等差數列或等比數列，學生在無計可施的情況下，追求新的方法的意愿會更加強烈！

2. 數學歸納法原理導引

引例2：史書《周禮》中有這樣一段記載“在各國從邊疆到腹地的通道上，每隔一段距離，筑起一座烽火臺，接連不斷，臺上有桔槔，桔槔頭上有裝著柴草的籠子，有敵人入侵時，烽火臺就一個接一個地燃放煙火傳遞警報”.

有什么條件可使烽火臺依次全部點燃？

（1）第一個點燃；

（2）看到第一個烽火臺點繞，第二個烽火臺就要點繞，依次第三個烽火臺，……，

即在第k個烽火臺點燃，能引起第k+1個烽火臺點燃.

引例3：上課伊始，跟學生玩如下游戲：按班級同學的學號從小到大再接回，我們班級是38人，一號接二號，依次下去，38號結束后一號再接，無限下去……，如一號說：一馬當先，二號接：先人后己，三號接：己所不欲，勿施于人，四號接：人定勝天，五號接：天理不容，六號接：容我好好想想，七號接：鄉間小路（短語、諧音語句都可以）……，問學生，這樣接下去，能接多久，學生答：要永遠接下去…….

設計意圖：（1）以上兩例的共同特點是什么？總結出數學歸納法的兩個步驟. （2）滲透德育教育，弘揚民族傳統文化的育人價值. （3）按傳統方法，多數教師用多米諾骨牌，但有人做過調查，要使所有骨牌都倒下，學生想的條件并不是我們所想象的那樣簡單地給出數學歸納法兩個步驟，況且多米諾骨牌是有限多個的，而引例3中傳遞會無限地傳下去，這樣就突破了數學歸納法實際引例中總是“有限”的瓶頸（有用集合元素的任意性以及直線與平面垂直的直線的任意性等，而這里直接就是無限的問題）. 實踐證實，這樣的舉例便于學生認識數學歸納法的兩個步驟. （4）在烽火臺點燃的問題中，學生說道前一個烽火臺點燃，可引出后一個烽火臺點燃，教師追問，“前”一個是指哪一個，可以指第1個，也可以指第2個，還可以指第3個，一般情況下，你應當怎樣表述，學生自然會想到：可以用一個字母（比如k）來表示，那后面一個就是第k+1個. 自想：“好，火候到了，要的就是這個效果！”

3. 探究數學歸納法

（1）請同學們結合上面的引例2完成下列表格的第一列（師生共同完成）.

（2）請你設計一個證明引例1（2）的思路，完成第二列（學生思考討論）.

（3）提煉數學歸納法（師生共同完成第三列）.

設計意圖：考慮到數學歸納法的抽象性，及學生的接受能力，沒有直接給出數學歸納法.為了避免一言堂，給學生騰出思考的空間，讓學生動起來，在完成表格第一列之后，教師設問：同學們能不能由烽火臺依次點燃原理，遷移一下，設計一個證明引例1（2）的思路，給學生一個探究的空間，動手的機會. 然后師生共同完成第三列，完成用數學歸納法證明引例1（2）中的猜想. 不知不覺中，學生已經走進了數學歸納法，教師趁熱打鐵，完成數學歸納法的證明步驟.

自此，表格的使命還沒有完成，在完成整個表格之后，再回到第一列烽火臺依次點燃的原理上去，讓學生在此感受一下兩個條件即奠基和遞推缺一不可，然后再回到第三列，引導學生發現，在證明n=k+1命題成立時，一定要用到n=k時命題成立這個假設. 將生活的事實遷移到數學原理，既直觀淺白又寓意深刻，表格的使命完成.

4. 熟悉方法，簡單應用

例1 （1）小明想用數學歸納法證明：1+2+3+4+…+n=+100，證明方法如下，請同學們思考一下是否合理，并說明理由.

（Ⅰ）假設n=k （k∈N*）時，等式成立，

即1+2+3+4+…+k=+100成立.

那么，當n=k+1時，

左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）=+100+（k+1）=+100=+100，

右邊=+100，？搖？搖？搖

所以當n=k+1時等式也成立.

所以等式對一切正整數都成立.

（2）小紅想用數學歸納法證明1+2+3+4+…+n=，證明方法如下，請同學們思考一下是否合理，并說明理由.

（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立.

（2）假設n=k（k∈N*，k≥1）時，等式成立，

即1+2+3+4+…+k= 成立.

當n=k+1時， 左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）= =，

右邊=，

所以當n=k+1時等式成立.

由（1）（2）知，對n∈N*公式都成立.

設計意圖：反復緊扣數學歸納法的兩個條件，第一小問缺少了奠基，結果用“數學歸納法”證出了一個假命題，引起學生認識沖突，讓學生深刻理解奠基的作用（否則將以訛傳訛）；第二小問突出第二個條件：傳遞性，剛開始學生可能認為第二小問的證法是正確的，在教師點撥后學生幡然醒悟，傳遞性也更加深入人心. 兩個反例對學生正確認識數學歸納法起到警示作用.

例2 如圖5所示：

第1層放1小球，

第2層放1+2=3個小球，

第3層放1+2+3=6個小球，

第4層放1+2+3+4=10個小球，

……

第n層放1+2+3+…+n=個小球，

求證：小球的總數為，

即要證：1+3+6+10+…+=.

設計意圖：其一，通過前面的探討，學生對數學歸納法有了一定的認識，接下來乘勝追擊，讓學生完成例題2的證明，是對數學歸納法的鞏固；其二，這個例題是三角堆積里面的一個例子，早在我國元代，數學家朱世杰完成對上式的證明，并且給出了四角垛、六角垛等的求和問題，比西方相應的成果早400多年. 朱世杰所著《四元玉鑒》是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最杰出的數學著作之一”，由此滲透民族精神的教育.

通過我們艱苦細致的工作，這節課得到聽課老師的廣泛認可. 課后與學生交流，并把準備的過程也與學生說明，學生感覺很興奮，原來數學可以和這么多的內容聯系，對促進學生學習數學的熱情有很大幫助.我們投寄到貴刊，渴望與讀者共享.