高中數學教學設計五要素的有效互動

何起紅

[摘 要] 高中數學教學設計是教學實際在教師思路中的預演，在此過程中重視學生、課標、教材、教師、教研組等五個要素，并側重于研究五要素之間的互動，可以更好地促進學生進行數學知識與規律的建構，從而提高教學設計的有效性.

[關鍵詞] 高中數學；教學設計；“五要素”；互動

數學教學設計是實施課堂教學的藍本，是教師教學意圖的系列化呈現. 通常情況下，數學教學設計往往更重視數學知識自身的邏輯體系，強調在原有數學知識基礎上構建新的數學知識，這從知識形成的角度來說是合理的. 但這樣的思路忽視了另外一個更重要的因素，那就是學生對數學知識的構建過程.而這個因素又可以引申為學生加工數學知識、學生在哪些共同體作用之下加工知識，加工什么樣的數學知識等. 這就意味著教學設計需要走出原有的教學思路，從影響學生學習的要素等諸多維度進行. 本文以學生的學習為中心，以影響學生有效學習因素為研究對象，嘗試探討學生、教師、課標、教材、教研組等五個要素對數學教學設計的影響，以及如何通過五要素之間的可能互動促進學生的有效學習.

教師與課標的互動，為有效教學設計奠基

課標是課程標準的簡稱，課程標準是國家對學科教學意圖的綱領性描述，課程改革以來，對課標的關注較多但真正研究課程標準的實際上并不多，因為教師常常感覺課標上的那些描述過于宏觀甚至空洞，不足以對實際教學有支持性的作用. 應當說在應試背景下這樣的認識有其合理性，但從學生有效學習以及更好地理解課程意志的角度來看，這樣的認識顯然是偏頗的. 實際上在對課程標準的關注過程中，可以提升教師的教學認識，可以拓展教師的教學視野，從而為有效的教學設計奠定堅實的基礎.

比如說，課程標準開篇即給出“數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具.” 其給出的指導性意義，就是數學學科的工具性意義，而且其描述的對象不僅是自然規律，也包括社會規律.這對實際教學意味著什么，在筆者看來至少有這樣的一層含義，那就是在實際教學中向學生呈現事例的時候，即可以是自然事例，也可以是社會事例. 如在向量教學中，為了建立向量概念，可以向學生提供自然中的斜拋運動，然后讓學生基于相互垂直的方向去分解運動中物體的速度或者是物體受到的力；而在概率、統計等知識的教學中，則可以向學生提供大到國家經濟的宏觀數據、小到箱中摸不同顏色的球的事例；而在函數知識的學習中，則可以電信運營商的套餐標準為例建立不同函數模型，以判斷最合適的套餐，甚至還可以模擬精算師，以建立不同的數學模型，來提升數學知識的應用能力.

結合課程標準，這樣的理解應當說非常豐富. 數學教師一定要高度重視對課標的研究，尤其是要重視自己的教學經驗（關于借鑒他人經驗將在第四點中闡述）與課標的有效互動，即用自己的經驗去理解課程標準語言描述背后的存在的數學教學意義. 同時需要強調的是，與課標的互動意味著對課程標準不是單向的接受，因為那樣容易讓自己的教學設計心理處于從屬地位，而積極地研究課程標準，結合數學教育的最新理念理解課程標準，往往還可以在研讀過程中有新的發現甚至是新的突破，這才是與課標互動的應有景象.

教師與教材的互動，為有效學習設計培元

教師與教材的互動，關鍵在于教師有效地把握教材的意圖. 教材可以理解為教材編寫者內化課程標準的結果，同時也反映著教材編寫者對數學教學思路的把握. 課程改革以來，高中數學教材一方面繼承了中國數學教育的傳統，另一方面又將課標的精神充分體現了出來，那么教師在面對教材的時候能否讀懂這背后的深意，值得深思. 筆者以為，讀懂教材，就可以為有效的教學設計培育元氣.

在人教版“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”（必修4）的教材中，安排了結合章頭圖的實際問題——建在一座小山上的電視發射塔，給出了小山的高度與A、C兩點及其兩點之間的距離，另加一個觀測發射塔的視角，要求發射塔的高度. 從純粹的數學習題解答角度來看，這一設計就是一個純粹的數學習題，用以引入兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，沒有什么特別的意義. 但若從教材編寫的角度來看——也就是去研讀教材編寫者的意圖，你會發現這實際上是基于兩角和與差的正弦、余弦和正切公式在實際情形中的運用思路而編寫的，更重要的是，在這個例子的背后呈現出本知識應用的一般思路，即從現實中選擇相應的問題，然后通過數學抽象使之成為一個數學模型，然后利用數學工具進行解題. 在此過程中，提供哪些已知量才能求得電視發射塔的高度，實際上也是精心設計過的. 而在實際教學設計中，其實可以將之做進一步的改進，如向學生提出問題：要想測出電視塔的高度，可以借助于什么樣的數學知識，需要測出哪些量？這樣的探究式教學設計，更有助于學生在更廣闊的思維空間里理解正弦、余弦以及正切知識.

根據筆者的經驗，在教學設計過程中與教材互動需要一個前提，那就是不要急著研究參考書，而應該先對教材的主干知識進行提取，然后自己去思考：如果是自己編寫教材或者說設計教學，那自己會采取哪些思路？如“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”這一節當中，教材在引入之后，重點是“兩角差的余弦公式”，而給出的引導性問題則是：如何用角α、β的正弦、余弦值來表示cos（α-β）呢？那筆者在此時就對這一問題產生了興趣，筆者以為盡管本課要研究的是這個問題，但這個問題的提出有沒有更為適合學生的方式？在幾經實踐之后，筆者給出的問題是：對于60°和45°角的余弦值，同學們是熟悉的，那你們能不能基于這兩個特殊角的正弦或余弦值，來求出15°角的余弦值呢？這個例子相對于教材的例子而言，由于有了具體數值，因此學生在思維的時候往往更為順利，尤其是對于相當一部分基礎一般的學生而言，這種具體的例子的效果往往比一般性的例子要好. 這樣的設計實際上是降低了教材設計的門檻，同時又在學生的思維中筑牢了一個具象基礎，因而往往效果更好.

師生之間互動預設，為有效教學設計固本

在上一點的闡述當中，實際上體現了一個思路，那就是教學設計的過程中要重點考慮學生這一因素. 由于教學設計先于教學實施，因此在設計過程中教師更需要關注的是預設課堂上可能存在的師生互動，如果教師的預設能夠基于學生的實際基礎，且有著明確的目標指向，那就可以讓后續的教學過程更為順利，從而鞏固了教學的根本.

師生之間的互動預設實際上有兩個基礎：一是教師對學情的掌握情況；二是教師對自身教學風格的把握. 傳統數學教學設計就高度重視學情研究，只不過從課程改革視角下來看，對學情的把握維度有所變化而已，筆者以為當前對學情的研究依據，應當基于建構主義的學習觀，要重點關注學生是如何建構數學知識的. 譬如上面筆者提出的在一般性事例先分析具體事例的思路，實際上就是發現在此前的教學過程中，學生對于一般性事例中的符號的思維加工難度相對更大，而如果有一個具體性的事例——cos（60°-45°），那學生的思維可以更多地借助于形象思維，從而形成一個兩角差的余弦公式的事例性基礎. 有了這個基礎再利用抽象思維進行一般事例cos（α-β）的加工，那這個過程就順利得多，學生掌握的效果也好得多. 后來的教學實踐也表明，這樣的改進確實具有為學生的思維提供階梯的效果.

而教師對自身教學風格的把握也很重要，因為在教學設計中預設師生互動，實際上是將課堂教學中可能的情形進行一個預演，那教師就要考慮自己是適合講授的，還是適合引導學生探究的；是適合幽默語言風格的，還是習慣直白性講述的，不同的特點決定著課堂上師生互動的過程，其結果也是有所區別的. 把握住了學生與自己的特點與風格，一般來說就會對學生的學習過程有一個有效的掌控，從而提高教學設計的有效性.

教研組內有效互動，為有效教學設計尋智

這是一個強調合作的社會，以集體備課為特征的教研組活動方式，正在得到廣泛的認同. 相對于集體備課而言，需要考慮組內小范圍的互動，因為這種情況下，個人的觀點往往更容易呈現出來而不必顧慮太多的不同聲音——其背后的原因就在于小范圍內，討論對象的從眾心理不容易發生負面作用，這是一個復雜的心理學問題，此不贅述，但是關注到這一點，有利于同一教研組內互動提質增效.

基于以上認識，筆者在教研組內的互動方式更多的是組內兩三個人的深入研討，或者借助聊天軟件進行研討，前者以有聲語言呈現即時思路，后者以文字呈現相對嚴密的思路. 在這樣的互動過程中，不同的教學思路往往可以有效碰撞，從而產生教學智慧.如指數函數教學中，是用折紙的方式引入，還是用國王下棋賞賜大米的故事引入，筆者與組內同行就進行過深入的討論，最終結論卻又回到第三點：根據學生的思維特點來確定——前者側重于體驗，而后者需要想象.

綜上所述，高中數學教學設計離不開對五要素及其互動的關注，作為預設的教學設計的有效性，往往也就體現在對五要素的互動研究過程中.