重視知識發生過程促進學生思維發展

黃保球

[摘 要] 高中數學教學中，基于知識發生去理解數學概念的構建、知識的應用與數學探究，可以建立以思維發展為主線的數學教學思路，從而促進數學的有效教學.

[關鍵詞] 高中數學；知識發生；概念構建；知識應用；數學探究

在課程改革進入深水期之際，高中數學教學出現了喜憂參半的景象：一方面，對課程改革的討論不再局限于教學方式本身，膚淺的小組合作學習與數學探究等也遠離了數學課堂，這無疑是課程改革的一種進步，一種由形式向實質轉變的進步；另一方面，也由于課程改革的基本要領遠離了教學研讀的情境，使得課程改革的一些理念遠離了課堂，從而使得當前的教學有向應試回潮的現象. 筆者以為要改變這一現狀，關鍵在于教師建立自身的教學觀點，在繼承傳統數學教學優點的同時，進一步吸納課程改革中形成的科學有效的觀念，以使得自己的教學既適應課程改革的需要，也適應學生發展尤其是數學素養提升的需要.

基于這一認識，筆者以為在高中數學教學中要高度重視數學知識的生成過程，要高度重視學生的思維發展，這樣才能讓有效教學的理念在高中數學這一具體的學科語境中得到鞏固與發展. 本文試就此觀點進行一些討論.

重視數學概念的形成過程，促進學生概念構建能力的提升

數學概念是數學知識的基石，數學概念的教學歷來為高中數學教師所重視. 與此同時也應當看到，對于數學概念的教學更多的情況下還是局限于教材的設計，因而也就缺少了從學生的角度去看待概念的生成過程，這就使得學生的原有經驗與認知方式不能有效地參與數學概念的構建，從而白白流失了促進學生概念構建能力提升的機會.

筆者以為，數學概念的教學有一個重要的前提，那就是學生對建立概念所需要的材料的思辨與分析. 課程改革對高中數學概念教學的要求是，“引導學生經歷從具體的實例抽象出數學概念的過程”，這意味著在數學概念構建的過程中，學生的作用不能忽視. 事實也證明，如果真正讓學生參與數學概念的構建，那學生對概念的理解與掌握要深刻得多，應用也要嫻熟得多.

以“數列極限”概念的教學為例，在生活中，學生對極限的理解常常有“極端”的意思，也有“極盡所能”的意思（這兩種說法均來自于筆者在實際教學中的口頭調查），這說明當學生用語言來描述“極限”這一概念的時候，有著強烈的前概念在發揮作用. 因此筆者在教學這一概念的時候，先給出了一個古老的說法，那就是“一尺之竿，日取其半，萬世不竭”. 具有一定語言素養的學生，自然能夠讀懂其中的含義：一根長為一尺的竿子，假如一日截掉它的一半，那么即使是千萬年后仍然無法切割完畢（這也是學生在課堂上的原話）. 這樣的樸素理解，實際上是在學生的思維中建立了一個等比數列的模型，也就是說在學生的思維中已經完成一個“日取其半”的思維加工，然后用數學語言描述這一過程時，為公比的數列模型就容易形成. 在此基礎上再讓學生將數列的項呈現在數軸之上，學生就容易得到數列極限這個概念的特征. 而當學生發現這樣的數列是無窮數列且無限接近于一個常數時，數列極限這一概念的具體形象便完全呈現出來.

分析這一概念形成的過程，筆者發現在其中講授很少，很多數學理解都是學生自主構建出來的，而之所以有這樣的效果，其實也就是筆者給予了學生相當豐富的空間，學生可以在這個空間中自由地建立數學模型，自由地思考該數列模型的特征，當這個特征在小組討論的過程中成為大家的一種共識的時候，他們就會對自己的發現抱有相當的信心，從而讓數學概念建立的基礎更加牢固. 在這個過程中，學生的思維能力是如何得到發展的呢？根據筆者的觀察與判斷，其應當是這樣的：學生在教師的問題驅動之下，開始結合給出的“一尺之竿，日取其半，萬世不竭”表述構建數學模型，這個時候的數學模型還是物質性的，學生的思維當中一般都是一個“一尺之竿”，然后真的有“日取其半”的動作，這是一種形象思維的產物；然后再用抽象思維加工這個產物，于是便形成一個抽象的“1”，并日取其“”，于是抽象思維支撐下的數學模型便誕生了.在用純粹的數列、數軸表示時，學生的抽象思維更是得到了充分的培養，這些思維過程應當說就是極限數列形成的重要支撐.

關注數學知識的應用過程，促進學生問題解決能力的提升

數學知識的應用是高中數學教學的重中之重，通常的應用往往是數學習題，當然也有一些實際問題的解決，這里最顯而易見的思維就是問題解決過程中的思維. 課程改革對問題解決高度重視，對于作為一種思維形式存在的問題解決也高度重視. 但在實際教學中，問題解決常常被一線教師認為就是解決問題，因而一種思維方式很容易就成為一種解決問題甚至數學題的過程，應當說這是對問題解決的一種不恰當的理解.

教育心理學的研究結果表明，問題解決是一種重要的思維形式，也是一種能力體現.在高中數學教學過程中，問題解決有兩種體現：一是對于實際問題而言，就是學生利用數學知識構建實際問題解決的模型，然后借助數學模型來完成問題的分析、解決、評估的過程；二是對于數學習題而言，是學生在面對數學習題的時候，能夠準確迅速地調用相關的數學知識，去完成該習題中問題與已知之間的邏輯關系. 通常情況下，高中數學教學以后一種問題解決的思路為主，因此此處針對此類問題解決進行闡述.如下一題：

如圖1，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.

（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長.

圖1

在此問題解決的過程中，學生的思維應當能夠根據題意，將該圖放到空間直角坐標系中去完成，如設該空間直角坐標系為A-xyz，則可以得出P、B、C、D等各點的坐標，從而借助于向量知識來完成問題的求解. 事實上在教學中，學生感覺到最驚奇的就是開始這個思維，有學生提出，怎么就能想得到將一個純粹的幾何題放到空間直角坐標系中去呢？

學生問出這個問題，反映出在學生的思維中，還沒有形成很好的數形結合的思想，而這恰恰是數學問題解決的一大關鍵，某種程度上也反映著學生的思維水平. 相應的是，在本題的解決過程中，教師可以之為機會，跟學生強調只要在數與形之間存在著聯系，那問題的解決就可以考慮從形到數，或者從數到形，只要一方能夠促進另一方的問題的解決，那這種思路就是可取的. 在實際教學中筆者還發現，學生的這種數形結合思想的缺失與日常的數學問題解決存在關系，由于此類問題相對較少，因此在學生的思維中難以形成清晰的解決思路，從而制約了學生的思維觸角向數形結合延伸，這也提醒我們，日常的數學問題解決，不能囿于常規，需要發散性訓練.

設計數學探究的實施過程，促進學生邏輯思維能力的提升

數學探究是課程改革中的重要概念，也是提升學生思維尤其是數學思維能力的良好方式.從當前的實際來看，數學探究往往還只是少數重要知識的教學選擇，筆者以為這是符合當前實際需要的. 耗時較多的數學探究不必占據所有的數學知識的學習，而對于重要的數學規律的探究，則可以讓學生的思維能力尤其是邏輯思維能力得到明顯的提升. 數學探究的思想必須建立，在一些重要規律的某個環節實施探究，也是有價值的嘗試.

在“平面向量的基本定理”教學中，筆者給學生提供了若干個可以分解為水平方向與豎直方向的實例，讓學生去比較鑒別，結果學生發現了其中的統一性規律，然后提出了一個問題：是不是每個向量都能像這樣分解. 這個問題與通常情況下提出的“平面內任一向量是否都可以用兩個不共線的向量來表示”已經相當接近，這說明這樣的比較過程是有效的，是促進了學生的思維發展的. 也許有人會說，這不是一個像樣的數學探究啊. 從形式上來看可能確實如此，但筆者以為數學探究不一定非得是大規模的、各個環節齊全的探究，完全可以基于學生思維發展的細節性探究. 在筆者提供的實例中，學生的思維經歷了分析、比較、提問、猜想等過程，已經具有了數學探究的不少特征，將其理解為數學探究，并以這種思路貫串更多的數學規律的教學，筆者以為是恰當的.