問題設置在培養學生數學思維中的作用

劉偉

[摘 要] 問題的提出與解答在推動高中數學教學進行當中發揮著舉足輕重的作用. 科學有效的問題設置，直接關系到對學生思維積極性的推進程度. 因此，問題設置既是數學教學開展的必經之路，也是提升教學實效的巧妙捷徑. 筆者從高中數學教學的基本理論出發，結合當前的教學實際與學習需求，對設置問題的關鍵原則和途徑進行了提煉總結，并分別予以闡述.

[關鍵詞] 高中數學；問題設置；數學思維

高效的數學教學離不開學生的靈活思維. 只有學生們的思維積極性被調動起來了，才能開始主動地投入對數學知識的思考當中去，數學的教學效率也由此得到提升. 因此，可以毫不夸張地說，把握高中數學教學質量的關鍵，就在于對學生數學思維積極性的激發.為此，筆者嘗試了很多方式，以達到這一預期目標，結果顯示，從數學教學的問題設置入手，以問題解答的途徑來激發學生思維，所取得的效果是最為理想的. 具體說來，教師在對問題進行設置時，可以從合理性、直觀性、開放性、挑戰性和體驗性這幾個角度進行原則把握，推動教學活動靈活、有效.

把握問題設置合理性，科學控制問題難度

想要讓數學問題能夠將學生們的思維積極性充分激發出來，教師們首先要關注的就是，所提出的問題是否能被學生們所接受. 只有學生們從內心愿意接受數學提問，才能夠產生主動思考和積極探究的意愿，接下來對于問題的剖析與挖掘也才得以開展. 那么，如何才能讓數學問題適合學生？筆者認為，從問題設置的難度上進行控制至關重要.

例如，在對雙曲線的內容進行教學時，筆者在課堂上設置了這樣一個問題：已知，A、B、C是三個炮兵陣地，且A在B正東6 km處，C在B正北偏西30°方向，相距4 km. P是敵方炮兵陣地. 當在A處發現敵軍信號4 s后，B、C兩處同時發現信號. 若該信號傳播速度是1 km/s，由A對P進行炮擊，則炮擊的方位角是多少？在這個問題中，雙曲線的理論知識與實際情境緊密聯系起來，讓理解難度降低了不少. 這種提問方式和難度等級，對于剛開始接觸新知識的學生們來講是比較合適的.

科學的數學教學過程，除了對所呈現的知識內容進行完整規劃之后，教師們還應當對學生們的心理狀態予以關注. 學生心態的積極與否與學習效果是否理想之間存在著極為密切的聯系.在這個心理狀態的組成當中，“自信心”所占據的比重是非常大的. 教師在設置問題時，首先要將問題難度進行科學把控，讓學生們在順利接收的基礎上再進行深入探究，這也就是我們所強調的“合理性”.

把握問題設置直觀性，明確體現問題指向

高效的數學教學應當是什么樣子的？從形式上來講，簡潔明了、直截了當是必不可少的. 高中數學當中的知識數量本就繁多，課堂教學時間又極為有限，如果教師在呈現知識內容時還再含蓄地繞圈子，顯然是對時間和精力的浪費. 在問題設置當中也是同樣的道理. 將問題設置得直觀明確，讓學生們得以準確把握問題指向，明白當前問題所要考查的知識能力是什么，便能夠快速進入解題，并在問題解答的過程中高效體驗知識實踐，將課堂學習效率提升到最大.

例如，在帶領學生們學習過線性規劃的內容之后，筆者馬上請大家完成如下練習：

設x，y滿足約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的最大值是12，則+的最小值是多少？在這個問題的設置中，就是將線性規劃的考查內容清晰地擺明了，學生們無需花費太多心力去分析自己需要運用哪些知識方法，直接適用所學內容便可以了. 這樣的問題設置方式，非常有利于高效鞏固基礎知識的應用，在課堂教學中的適用是很廣泛的.

在對數學問題設置的直觀性進行把握時，教師們需要明確教學過程與考試測驗的不同之處. 考試測驗的目的在于通過創建復雜隱晦的問題環境來考查學生們的解題能力，因此，問題往往設置得較為朦朧，需要學生抽絲剝繭來發現其指向. 而日常教學則不同.教學過程追求的是明確高效，學生們只有在平時的學習中將知識內容掌握到位，才有可能在復雜的情況下將之進行剝離.

把握問題設置開放性，拓展解答問題途徑

對于課堂問題設置的意義，教師們應當從廣義上進行理解. 一方面，通過設置問題，將基礎知識融入其中，帶領學生們鞏固基本知識方法. 另一方面，則是借助提問的方式引導學生思維，通過問題形式與內容的多樣化、靈活化，實現學生數學思維視野的轉換與開闊. 這可以說是數學問題設置價值的升華，也是我們接下來所要強調的對問題設置開放性的把握.

例如，在對數列內容教學完成后，筆者為學生們設置了如下問題：已知Sn是等比數列的前n項和，S3，S6，S9成等差數列，求證：a2，a5，a8成等差數列. 這個問題雖然簡短，但其中的思路卻是十分開闊的. 很多學生想到的是借助公式Sn=進行證明. 在筆者的鼓勵和啟發之下，又有學生運用公式Sn=，也使命題順利得證.最后，大家又繼續討論發現，如果以另一個角度看待問題，從S2n=Sn（1+qn），S3n=Sn（1+qn+q2n）的途徑來思考，又可以得到一個全新的思維方式. 一個問題，實現了學生思維的全面拓寬，知識理解的成效顯著.

在問題不斷推動之下的數學知識與方法，始終處于不斷靈活與深入的持續變化狀態之中. 為此，想要將高中數學學好，一成不變的思維方式顯然是不適宜的，學生們必須順應數學學科的靈活特點，讓自己的思維也隨之躍動起來. 只有這樣，才能適應數學、駕馭數學. 而數學問題作為學生思維的一種引導力量，通過其形式和內容的不斷開放，讓學生們得以在思考的同時打開思維，深化理解. 這種思維狀態才是高中數學學習過程中最為寶貴的財富.

把握問題設置挑戰性，深入探究問題本質

前文已經提到，出于對學生們學習自信的保護，教師在設置問題時需要對問題難度進行嚴格把控，不宜將數學問題設計得過于疑難復雜. 但是，這并不表示，在高中數學教學過程當中不能出現難題. 如果教師所提出的問題總是在基礎層面上徘徊，對于學生深入掌握知識是十分不利的. 那么，怎樣把難題提出來，如何把握數學問題的挑戰性，便成為急需教師來思考的課題.

例如，在學生們已經將拋物線的基本知識掌握熟練后，筆者為大家又設置了這樣一道習題：拋物線y2=4ax（a>0）的焦點是A，以點B（a+4，0）為圓心，AB為半徑，在x軸的上方畫半圓. 若拋物線與半圓相交于M，N兩點，點P是MN的中點，則MA+NA的值是多少？是否存在實數a，使得MA，PA，NA成等差數列？這個問題以拋物線內容為出發點，又結合了數列知識，對學生們的思考解答著實提出了挑戰. 通過對這個問題的有效處理，解析幾何與數列之間的本質聯系得到彰顯，學生們對于二者的理解也加深了許多.

在教學實踐中，筆者將問題難度的把握原則確定為“踮著腳夠得著”，并將有難度的問題以探究活動的方式展現出來. 適當的難度確定，既能讓學生們感受到挑戰，又不會打擊學生自信. 而在探究活動的自由平臺上，學生們的思維也得以更加自然順利地打開，在交流討論中觸摸到問題本質.

把握問題設置體驗性，有效加強問題感悟

在高中數學教學中，學生始終是毫無疑問的主體. 因此，再巧妙的教學設計，只有讓效果真正體現在學生身上，才能算是成功的. 這個體現的過程，就是我們所說的學習體驗，而這也成為問題設置中的另一個重要原則.

例如，在學習過概率的知識內容后，筆者向學生們提出了如下問題：將一個骰子連續拋擲3次，骰子落地時，向上的點數以此成等差數列的概率是多少？看似簡單的問題，對于數列與概率的知識考查卻是十分到位的. 更重要的是，問題當中實際操作場景，讓學生們在思考問題時得以走出單一的理論層面，通過實際觀察骰子每個面的點數分布，并親手投擲骰子來分析問題. 在這樣的真實體驗當中，學生們對于題目本身及相關知識的感悟更加具體和深入了，簡化了思維過程，也鞏固了思路記憶.

如果僅憑教師一人滔滔不絕地講述，再精彩的數學內容也只能停留在枯燥的理論層面. 想要讓學生們真正接納和理解知識，就要給他們機會參與到知識的探究過程當中來. 當學生們切身投入知識的發現與拓展中后，真實的感悟便會成為促進知識理解的關鍵力量.

問題在高中數學教學當中的作用本就不言而喻. 整個數學學科都可以被稱為是由問題組成的科學體系. 圍繞數學內容進行的思考與探究，最初都是由一個不經意的問題所引發的. 在問題的推動之下，研究不斷深入，我們才順利收獲了數學理論. 而在對既有的數學理論進行實踐應用時，從中又會繼續發現問題，然后繼續研究深入，循環往復，使得數學知識體系愈發完善. 在數學知識不斷成長的過程中，問題所起到的促進作用可見一斑. 因此，將這個規律遷移至具體教學當中，以科學設置問題的方式推進數學思維深入，也是有據可依的. 實踐經驗表明，有效的問題設置，對于學生數學思維的靈活、準確、拓展與深化的確作用顯著.