數(shù)學(xué)解題中高效審題策略探析

蘇永強(qiáng)

[摘 要] 針對教學(xué)實(shí)踐過程中，部分學(xué)生因缺乏認(rèn)真審題、耐心分析問題的能力，使之在往下的解題中顯得束手無策，最后落得半途而廢或事倍功半，結(jié)合部分實(shí)例，通過對審題、解題具體過程的分析，談?wù)劷忸}教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行高效審題，進(jìn)而提高學(xué)生分析、解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 審題；解題；策略；能力

學(xué)生解題出現(xiàn)失誤的原因往往是由于他們審題不認(rèn)真，未看出題目的潛在本質(zhì)或題目隱含的關(guān)系造成的. 解題雖然沒有固定的模式，但是審題是解題的基礎(chǔ)，由于深入細(xì)致地審題、分析、選擇解法是成功解題的前提，審題不僅存在于解題的開端，還要貫穿于解題思路的全過程和解法后的反思回顧. 正確審題要多角度地觀察，由表及里，由條件到結(jié)論，由數(shù)式到圖形，洞察問題實(shí)質(zhì)，選擇正確的解題方向. 事實(shí)上，很多考生往往對審題掉以輕心，或不知從何處入手進(jìn)行審題，致使解題失誤而丟分. 這就要求我們在平時(shí)教與學(xué)的過程中，有意識地進(jìn)行審題習(xí)慣和能力的培養(yǎng)，逐步養(yǎng)成分析—判斷—推理—綜合運(yùn)用知識解決問題的能力. 然而對審題能力的培養(yǎng)、解題方法的訓(xùn)練，并非一日之功，只有我們在解題的實(shí)踐過程中幫助學(xué)生不斷總結(jié)科學(xué)的思維方法和合理的解題步驟.學(xué)生的解題能力才能得以不斷提升.

依題意析本質(zhì)，理清解題的關(guān)鍵

確切地了解題意，區(qū)分題目的條件和要求，并在頭腦中保持清晰的印象. 這是應(yīng)用知識解決問題的開端，是決不可少的一步，審題有時(shí)是簡縮的，一次便可完成. 但遇到比較生疏、復(fù)雜而困難的題目時(shí)，則往往是擴(kuò)展的，而且要反復(fù)與后面的環(huán)節(jié)交錯(cuò)地進(jìn)行. 教學(xué)實(shí)際表明，學(xué)生的解題發(fā)生障礙或錯(cuò)誤時(shí)，常常是由于審題錯(cuò)誤而造成的. 如，有些學(xué)生不重視審題，在題意或題目結(jié)構(gòu)（特別是條件與結(jié)論的關(guān)系）沒有弄清之前就進(jìn)行猜測或盲目嘗試答題，還有的學(xué)生常常由于疏忽題目中的某些條件特別是某些隱蔽的重要條件等等，都會(huì)導(dǎo)致答題的錯(cuò)誤或答題的不完整.這也是我們的學(xué)生，特別是學(xué)困生最大的問題.

例1 設(shè)P=log23，Q=log32，R=log2（log32），則P，Q，R的大小關(guān)系是____.

審題：比較大小的問題，我們在函數(shù)的教學(xué)中是做過不少的. 關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)或?qū)ふ抑虚g量. 此題要把握的是：logaa=1（a>0，a≠1），loga1=0. 把握了這個(gè)關(guān)鍵，問題就不難解決了.

抓結(jié)論巧轉(zhuǎn)化，捕捉解題的方向

問題解決的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說明已給結(jié)論正確或錯(cuò)誤. 因而解決問題時(shí)的思維過程大多都是圍繞著結(jié)論這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行定向思考的. 審視結(jié)論，就是在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律.善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向.

例2 （2015·北京）已知函數(shù)f（x）=ln.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）求證：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）>2x+；（3）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）>kx+對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

舊知識的重現(xiàn)，尋找解題的切入點(diǎn)

解答問題必須利用已經(jīng)獲得的舊知識. 舊知識的重現(xiàn)是在感知題目的答題條件與結(jié)論的基礎(chǔ)上，通過聯(lián)想、回憶而實(shí)現(xiàn)的. 事實(shí)上，學(xué)生在解答問題時(shí)所重現(xiàn)的知識，往往并不都是必需的，有些甚至是導(dǎo)致錯(cuò)誤的. 這種情況，一方面可能由于沒有認(rèn)真審題. 另一方面，舊知識的干擾或大腦由于過度緊張而產(chǎn)生抑制，也會(huì)錯(cuò)誤. 這時(shí)候要求學(xué)生審清題目，準(zhǔn)確重現(xiàn)有關(guān)的基礎(chǔ)知識，而學(xué)生往往不是沒有學(xué)過這類知識的應(yīng)用. 但當(dāng)過后他人或老師指點(diǎn)，他們便會(huì)立即領(lǐng)悟并做出相應(yīng)準(zhǔn)確的理解. 因此，為了幫助學(xué)生順利地再現(xiàn)必需的知識去解決問題，教師必須分析情況，采取有針對性的措施. 加強(qiáng)知識記憶，加強(qiáng)練習(xí)等等.

例3 cot20°cos10°+sin10°·tan70°-2cos40°=__________？搖.

審題：本題考查三角公式的記憶及熟練運(yùn)用三角公式計(jì)算求值. 在解題時(shí)方法不要拘泥于形式，要注意靈活運(yùn)用，在求三角的問題中，要注意這樣的口訣“三看”，即：（1）看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算角轉(zhuǎn)化；（2）看名稱，把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切；（3）看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式，如果滿足直接使用，如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用了.

抓條件挖隱含，發(fā)揮條件的解題功能

？搖任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的. 條件是解題的主要素材，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路. 條件有明示的，有隱含的，審視條件更重要的是要充分挖掘每一個(gè)條件的內(nèi)涵和隱含的信息，發(fā)揮隱含條件的解題功能.

例4 （2014·重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）ω>0，-≤φ<的圖象關(guān)于直線x=對稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f=<α<，求cosα+π的值.

審題：

拿問題做類比猜想，尋找解題的方法及途徑

問題的類比是指學(xué)生通過思維把握問題內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，找到它與相應(yīng)知識的關(guān)聯(lián)，從而把當(dāng)前的問題納入已有知識的體系中去. 這樣，學(xué)生就能依據(jù)已有的知識去明確問題的實(shí)質(zhì)，解釋同類的現(xiàn)象或做出解題方法的判斷. 這是準(zhǔn)確解答問題的重要一環(huán). 教學(xué)實(shí)際表明，學(xué)生在問題的類比方面常常發(fā)生困難或錯(cuò)誤，主要是由于不善于從問題內(nèi)容中抽出與有關(guān)知識相同的因素. 問題不能類比，也就無法通過知識的具體化來解決問題.這種錯(cuò)誤正好說明了審題過程中抓住題目條件與結(jié)論要求是實(shí)現(xiàn)知識類比和找到解題途徑以及正確解題的必要條件. 這實(shí)際上是一個(gè)問題類比和知識的具體化，亦即知識遷移的問題.因此，有心理學(xué)家把知識的應(yīng)用過程看作是知識的遷移. 據(jù)此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)盡量幫助學(xué)生把具體的知識上升到一般的原理，然后通過“遷移”去理解各種現(xiàn)象，解決新的問題，以達(dá)到應(yīng)用知識的最佳層次.

例5 已知如圖1，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，BC′⊥A′C，BC′⊥AB′，求證：△ABC為等腰三角形.

圖1

審題：此題的難點(diǎn)是確定△ABC的底邊，這必須靠猜想. 猜想①： BC為底邊，理由是BC′同時(shí)與A′C和AB′垂直；猜想②：若加上條件A′C⊥AB′，則 △ABC為正三角形；猜想③：有A′C⊥AB′時(shí)，此三棱柱可“旋轉(zhuǎn)”，理由是直三棱柱，且AB′，BC′，CA′具有垂直的輪換性，直覺此三棱柱沿上、下底面的（假設(shè)的）中心連線旋轉(zhuǎn)120°時(shí)“垂直”重合. 通過猜想③肯定②，從而肯定①. 由分析可知，猜想為難點(diǎn)找到了突破口，而且得到猜想③以及證明的途徑. 只有自由的思想才會(huì)這樣輕松猜想. 激活學(xué)生思維的火花時(shí)，讓學(xué)生猜想吧！給學(xué)生“說”和“做”的機(jī)會(huì).

抓結(jié)構(gòu)尋特征，解題方案找突破

數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的.在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問題的方案.

例6 （2015·四川）設(shè)數(shù)列{an}（n=1，2，3，…）的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求使得Tn-1<成立的n的最小值.

審題：

抓細(xì)節(jié)求完善，調(diào)整解題的方向

審題不僅要從宏觀上、整體上去分析、去把握，還要更加注意審視一些細(xì)節(jié)上的問題. 例如括號內(nèi)的標(biāo)注、數(shù)據(jù)的取值范圍、圖象的特點(diǎn)等. 因?yàn)闃?biāo)注、取值范圍大多是對數(shù)學(xué)概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制條件. 審視細(xì)節(jié)能適時(shí)地利用相關(guān)量的約束條件，調(diào)整解決問題的方向. 所以說重視審視細(xì)節(jié)，更能體現(xiàn)審題的深刻性.

例7 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=a+an（n∈N*）.

（1）求an；

（2）令bn=an，n為奇數(shù)，b，n為偶數(shù)，cn=b2n+4（n∈N*），求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

審題：

審圖形抓特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解題顯身手

在不少數(shù)學(xué)高考試題中，問題的條件往往是以圖形的形式給出的，或?qū)l件隱含在圖形之中，因此在審題時(shí)，要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢. 抓住圖形的特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，是破解考題的關(guān)鍵.

例8 如圖2-1所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°. 點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O. 沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如圖2-2所示.

（1）求證：BD⊥平面POA；

（2）當(dāng)PB取得最小值時(shí)，求四棱錐P-BDEF的體積.

審題：

從特殊到一般，輕松解題不再難

從特殊到一般也是我們常用的方法之一，在某些具有一定的規(guī)律的問題上，我們常常要用到這種方法.

例9 計(jì)算：+++…+的值.

審題：從個(gè)體來看，我們不難得到：==-，==-，==-，…，由此我們可以得到：=-，所以：原式=1-+-+-+…+-=1-=.

這樣問題很快得到解決. 事實(shí)上，對這個(gè)問題，我們是從個(gè)體出發(fā)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探索的，由個(gè)體的特性，推廣到一般的情形. 這也是在解題過程中常用的方法——從特殊到一般.

總之，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題、解題，是日常教學(xué)中最基本也是最重要的一環(huán).而最基本的，也是我們在現(xiàn)實(shí)教學(xué)最容易忽視的. 正如在新課程改革中提出“淡化知識”，于是便又忽略必要的知識傳授一樣.而恰恰相反，只有給學(xué)生傳授一定相應(yīng)的知識，并引導(dǎo)學(xué)生掌握審題、解題的基本方法，經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練，便可以形成能力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣獲得保持和發(fā)展，達(dá)到教是為了不教的教學(xué)目的，這正是授之以“漁”的教學(xué)策略的具體化的體現(xiàn).