高中數(shù)學(xué)“問題串”教學(xué)模式的實(shí)踐研究

張燕

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何事半功倍呢？如何讓同類問題下的教學(xué)顯得更有效、更高效呢？多種教學(xué)模式一直受到教師的研究、探討，相對(duì)而言問題串教學(xué)模式是一種行之有效的手段.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；問題串；教學(xué)；整合性；深度；三角；函數(shù)

眾所周知，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何再高效一些是我們教學(xué)一直所追求的核心. 從近年來數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)來看，試題思考角度的多樣性、難易程度、對(duì)知識(shí)整合能力的要求等等都有著更高的教學(xué)要求.現(xiàn)階段下如何實(shí)現(xiàn)諸多要求的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)呢？從陜西師大羅增儒教授對(duì)于解題的理解和觀點(diǎn)來看：課堂教學(xué)需要加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，這種本質(zhì)體現(xiàn)在兩個(gè)方面，其一是數(shù)學(xué)問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，其二是對(duì)于這樣的單一知識(shí)點(diǎn)是否具備與其他知識(shí)存在相互的整合性.既明白了事理，又能從事理背后去思考知識(shí)的發(fā)散性，這樣的教學(xué)往往是高效的、事半功倍的.

中學(xué)數(shù)學(xué)問題串教學(xué)的設(shè)計(jì)與嘗試需要依賴三個(gè)特性，筆者認(rèn)為可以從下列視角去思考.

（1）價(jià)值性：教學(xué)是服務(wù)于學(xué)生的，尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)這種熱點(diǎn)往往數(shù)年更換的學(xué)科，更要在問題串教學(xué)中注重與時(shí)俱進(jìn)的效應(yīng)，諸如：空間幾何曾經(jīng)的熱點(diǎn)二面角求解已經(jīng)不再是現(xiàn)階段教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，對(duì)于一個(gè)二面角求解中不斷變換各種方法的問題串教學(xué)成為過去式，這就要求教師更新知識(shí)體系，不斷與時(shí)俱進(jìn)；

（2）合理性：問題串教學(xué)需要尊崇應(yīng)試熱點(diǎn)的基礎(chǔ)上，也需要考慮學(xué)生的學(xué)情現(xiàn)狀，這里需要教師在問題串設(shè)計(jì)的時(shí)候非常合理地設(shè)計(jì)符合學(xué)情的問題串，這既要與應(yīng)試要求相結(jié)合，也要略高于學(xué)生能力的“最近發(fā)展區(qū)”，這樣的設(shè)計(jì)是比較合理的；

（3）創(chuàng)新性：問題串教學(xué)不能一味地從各種教輔資料中進(jìn)行選編，還要在這樣的基礎(chǔ)上做一些符合當(dāng)下實(shí)效性研究與創(chuàng)新，這種創(chuàng)新對(duì)于教師更深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在，以及學(xué)生對(duì)于問題串知識(shí)整合的理解將會(huì)有更進(jìn)一步的提高.

整合性角度的問題串設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)應(yīng)試中有很多知識(shí)是考查基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，這些知識(shí)構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本. 筆者從教學(xué)一線發(fā)現(xiàn)，這些知識(shí)從某一個(gè)點(diǎn)入手或者從另一知識(shí)點(diǎn)入手，對(duì)于學(xué)生碎片化、離散的教學(xué)是難以取得有效的效果的. 因此，對(duì)于注重基本性的問題而言，從知識(shí)整合性的角度、問題解決多樣化的角度去設(shè)計(jì)問題串，往往容易將問題處理得非常合理和高效，筆者以一個(gè)常見的三角問題為例.

問題1：在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；

（2）若b=2，求sinA+sinC的取值范圍.

解析：（1）B=.

（2）因?yàn)锳+C=，所以C=-A，所以0

所以sinA+sinC=sinA+sin-A=sinA+cosA=sinA+.

因?yàn)?

當(dāng)A=0或A=時(shí)，sinA+sinC=，此為最小值，所以

說明：本題是解三角形中的基本問題，對(duì)于這樣的問題處理，離不開三大基礎(chǔ)知識(shí)的支撐，即正弦定理、余弦定理、面積公式. 對(duì)于這三大基礎(chǔ)知識(shí)的靈活轉(zhuǎn)化、運(yùn)用，我們可以從這些知識(shí)的角度中進(jìn)行整合性的問題串設(shè)計(jì)，筆者給出一次探索嘗試.

問題串1：若b=2，△ABC為銳角三角形. 求sinA+sinC的取值范圍.

分析：我們知道，對(duì)任意角的問題解決往往是比較容易的，考慮到對(duì)特殊三角形的研究有更進(jìn)一步的問題解決能力的提高，因此筆者將條件加強(qiáng)為限制在銳角三角形中進(jìn)行. 如果將△ABC限制為銳角三角形，那么，此時(shí)要滿足條件，則角A的取值范圍應(yīng)該從0，變?yōu)椋谑莝inA+sinC=sinA+，此時(shí)仍將A+看成一個(gè)整體，則其取值范圍是，，考慮其圖象，可得sinA+sinC∈，.

問題串2：若b=2，求ac的最大值.

分析：改變問題的求解，研究ac乘積的最大值，筆者將問題巧妙地轉(zhuǎn)換為邊長間關(guān)系的求解，此時(shí)也可以運(yùn)用問題串1中利用角A作為自變量來進(jìn)行函數(shù)模型的求解，但是從余弦定理的角度思考問題，則顯得更為容易. 由12=a2+c2-ac可以得到12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.

問題串3：若b=2，求a2+c2的最大值.

分析：我們知道，不等式在三角問題中的使用可謂比較頻繁，二維平面中的四大平均數(shù)的使用，是學(xué)生比較難以掌握的一個(gè)知識(shí)點(diǎn). 將其滲透到三角背景的問題串中，清晰地展示了四大平均數(shù)的關(guān)系和知識(shí)整合性的訓(xùn)練.利用余弦定理，有12=a2+c2-ac≥a2+c2-=，即得：a2+c2≤24，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.

問題串4：若b=2，求△ABC的面積的最大值.

分析：本題是問題串2 的進(jìn)一步加強(qiáng)，學(xué)生思考問題往往缺乏知識(shí)間的銜接性，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考，要解決面積最大值S△ABC=acsinB=ac，只需求ac的最大值即可，因此問題串4本質(zhì)依舊是問題串2，比較容易得到S△ABC≤3.

問題串5：若b=2，求三角形邊b所在高的最大值.

分析：進(jìn)一步對(duì)三角形進(jìn)行設(shè)計(jì)，思考邊b所在的高的最大值. 通過分析，不難發(fā)現(xiàn)S△ABC=bhb這一關(guān)系式，因此問題即轉(zhuǎn)換為問題串4，進(jìn)一步理解本質(zhì)依舊是問題串2的求解，因此hb≤3. 不斷變換問題串的設(shè)計(jì)，旨在引領(lǐng)學(xué)生思考問題轉(zhuǎn)換的合理性，這些問題體現(xiàn)了知識(shí)整合角度的問題串設(shè)計(jì)，需要教師在教學(xué)中不斷關(guān)注和加強(qiáng).

知識(shí)深度方面的問題串設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)問題的研究不僅要注重廣度、整合性，也要關(guān)注某一個(gè)問題的深度研究，這種具備深度的問題串設(shè)計(jì)是激發(fā)學(xué)生思考問題一般性的處理方式，也是提高教師專業(yè)化素養(yǎng)的途徑之一.

問題2：已知函數(shù)f（x）=-x2+x，是否存在實(shí)數(shù)a，b（a

分析：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此問題關(guān)鍵是考慮定義域所在的區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象，就可以發(fā)現(xiàn)分（1）a

解析：（1）當(dāng)a

（2）當(dāng)a<1

（3）當(dāng)11不符，故舍去.

考慮到命題者對(duì)于定義域和值域是四倍關(guān)系，筆者將問題改編成下列問題串，請(qǐng)學(xué)生進(jìn)一步思考其特殊情形，從特殊情形為一般性情形做好基本的鋪墊：

問題串1：已知函數(shù)f（x）=-x2+x，是否存在實(shí)數(shù)a，b（a

問題串2：已知函數(shù)f（x）=-x2+x，是否存在實(shí)數(shù)a，b（a

這兩題依然是對(duì)a，b分（1）a

問題串3：函數(shù)f（x）=-x2+x，是否存在實(shí)數(shù)a，b（a0）時(shí)，求出k的取值范圍. （此題的解題過程比較復(fù)雜，留給學(xué)生作為課后探究.）

探究后發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)a2時(shí)，有

說明：本案例圍繞著問題進(jìn)行深度的思考，隨著教師對(duì)其特殊情形的設(shè)計(jì)，進(jìn)一步到一般性結(jié)論的研究，大大拓展了學(xué)生對(duì)一類問題研究的方式，但對(duì)于深度性問題串的設(shè)計(jì)需要教師在教學(xué)前有足夠的思考.

從問題串設(shè)計(jì)的角度來說，還可以是一些問題廣度方面的，可以是一題多解方面的，可以是多題一解方面的等等，限于篇幅，文章僅僅從教學(xué)比較基本的角度給出了案例，進(jìn)行了淺顯的分析和思考. 從問題串教學(xué)實(shí)踐來看，筆者有了一定的經(jīng)驗(yàn)和心得：

（1）問題串設(shè)計(jì)必須尊崇學(xué)生學(xué)情的實(shí)際，必須是循序漸進(jìn)的，符合學(xué)生心理認(rèn)知結(jié)構(gòu)和發(fā)展水平. 某一次筆者設(shè)計(jì)的問題串是從教材基本問題與高考真題的鏈接，學(xué)生在跨度過于大的問題串處理上顯得有些不知所措；

（2）問題串的設(shè)計(jì)還需要實(shí)效性，筆者發(fā)現(xiàn)高考真題和模擬題不斷推陳出新，教師要注重最新信息的使用和編制，及時(shí)更正問題串題庫的使用；

（3）在問題串最后的設(shè)計(jì)上，筆者認(rèn)為自身的研究還是很不足的，無論是知識(shí)深度、廣度、整合性等等，筆者一直希望融入創(chuàng)新的問題串設(shè)計(jì)，偶有成功，但是還有很多不足，需要在后續(xù)研究和實(shí)踐中繼續(xù)加強(qiáng).