讓數學自然地流淌

王曉煒

[摘 要] 數學知識是有限的，然而由其組成的題目卻是無限的；教師用經典題型對學生進行指導，是培養數學思考能力，實現知識遷移的重要因素. 所以在數學的教學工作中，除了要教會學生掌握基礎的數學知識，更重要的工作是培養學生具備更高的知識遷移能力. 本文就如何通過經典例題實現知識遷移這一問題進行分析，結合高中數學，論述對學生知識遷移能力的培養和學生思維障礙的解決、創新性思維培養等方面問題.

[關鍵詞] 高中數學；經典例題；知識遷移

教育的目的不是單純將教材上的知識完完整整地教授給學生就算完成教學任務了，而是培養學生具備更高的學習能力，將學的知識能運用到新的學習中去，甚至在以后的生活和工作中都能得到應用；這種能力培養屬于知識遷移的范疇，在這一培養過程中，合理的教學方法不僅可以實現知識遷移的目的，同時能鍛煉學生的創新型思維模式，更好地提升學生的綜合學習能力. 本文結合高中數學中經典例題的教學和練習，來分析知識遷移的實現過程.

通過開放性題型練習，分析知識的形成

在高中數學的教學過程中，對學生進行知識遷移能力的培養，首先要加深學生對知識的理解程度，注重對基本概念的教學，避免學生養成機械性學習的模式或概念.其次培養學生形成更高的概括能力，以形成自己的知識體系，促使學生對數學思想有更深入的理解. 對學生數學思想的教學與灌輸切不可生搬硬套、牽強附會，在由淺入深的過程中，潛移默化地使學生的思想逐漸有所轉變. 再次，要有全局和整體的觀念，注意將已學過的知識進行系統的整理，便于學生鞏固和復習，比如對函數、方程、不等式等知識點的思想和性質的總結. 最后，提倡學生發散思維的培養，對于復雜多變的眾多數學知識，引導學生養成一題多解、一解多題的思維方式.

思維定式是實現知識遷移的關鍵障礙，學生需要克服常規、慣性的思維定式，向靈活多變、一題多解、一解多題的方向去發展，在這樣的過程中鍛煉思考能力，開闊思路，更利于知識遷移的實現. 比如在二次函數的教學中，為對函數這一概念重點分析講解，采用開放性習題設置的方式，對例題進行設定，選學生板演.

1. 基礎題型設計

首先讓我們來看一下這樣的常規題型：已知函數f（x），滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x）+1.

結合基礎知識的學習，函數的基本概念為：非空數集A中的每個元素在對應法則f的作用下，在非空數集B中都有唯一的一個元素與它相對應. 根據定義結合已知條件，我們可以很容易知道f（x+1）是f作用下（x+1）中的對應值；所以可以得出f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15.

在對基礎知識有初步的掌握后，適當增加練習題的難度.

2. 同題型之間的知識遷移

變式1：已知函數f（x+1）=x2-4x+7，求f（x）.

很容易想到“配湊法”：可以用配方的形式進行配湊f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+12，然后將x+1替換成x；或者可以用“換元法”：如設x+1=a，則x=a-1. 由此得出：f（a）=（a-1）2-4（a-1）+7=a2-6a+12. 將a用x替換，最終可以得到f（x）=x2-6x+12.

3. 不同題型之間的知識遷移

變式2：求函數f（x）=x+的值域.

此題可以選用“換元法”：令t=，建立x與t的一一對應關系，從而將函數化為關于t的二次函數，進而轉化成二次函數的最值問題.

變式3：求函數f（x）=sinx+cosx-sinxcosx-2的最值.

此題通過同角三角函數的公式（sinx+cosx）2=1+2sinx·cosx，可以找到sinx+cosx與sinx·cosx的一一對應關系，通過換元的方式，令t=sinx+cosx=·sinx+，得到sinx·cosx=，進而將函數轉化為關于t的二次函數在定區間上的最值問題.

在以上例題的求解中，無論是用了“配湊法”，還是“換元法”，其實都是源于學生對于函數概念中兩個非空數集之間“單值對應”的理解與應用，在解題過程中不知不覺地完成知識的遷移.所以，我們在數學學習中，應該注重基本概念的、基本原理的理解，注重數學思想方法的掌握，這樣才能夠讓學生更容易、更廣泛地實現知識的遷移.

數學與其他學科之間的知識遷移

數學知識作為一種基礎學科，在其他學科中有著廣泛的用途，數學王子高斯曾說：“數學是科學的女王”；伽利略也說過：“只有用數學才能參透大自然這本神秘的書籍”，可見數學在科學和經濟的發展中所占地位之高.

函數y=sin（ωx+φ）在電學、彈簧振子運動等物理現象中的應用，不僅可以實現數學與物理跨學科的知識的遷移，而且物理中的電學，彈簧振子運動的實驗現象又給了三角函數y=sin（ωx+φ）在一個形象生動的詮釋. 試想一下，如果在數學課上多介紹數學知識在各學科之間的遷移，那我們的課堂還會枯燥么？讓學生用數學的眼光來看待世界，那我們的學生的應用創新的能力還會差么？

生活原理與數學知識的相互遷移

學以致用是學習的最終目標，將學習的理論知識在實際生活中加以運用，既是教學效果的體現，同時也豐富了學生的實際生活. 所以在數學的課堂教學上，不僅要注重理論知識的講解灌輸，還要注重引導學生將教材知識運用于實際生活當中. 在課堂教學中引入與當下社會、生活相關的因素作為習題，鍛煉學生的實踐能力.

為學生設置一個情境，讓學生根據已學習的數學知識進行分析，通過多方面、多角度的討論和計算，選出最合適的方案，比如與三角函數相關的一個研究性學習的問題. 某小區共33層，每層高度為3米（如圖1），每棟樓之間的距離為60米；已知冬至當天影子長度最大，如果想要全天都能有良好的采光，買房時最低要選擇第幾層？

圖1

結合數學知識來說，這是很典型的三角函數題；學生雖然有一定的三角函數基礎，但真正遇到這樣的題目多少還是有些不知所措，同時日照的數據也受到了當地的季節地域關系的限制，不知道該從哪兒入手解題，所以教師在題目設定之后，先讓學生通過網絡等多個途徑去尋找數據. 通過老師的指導在解決這一問題的過程中，有個關鍵的解題難點，即60米的樓間距是前樓高度為多少投射出的陰影？進而構造解決問題的函數模型如圖2.

圖2

根據學生搜集的數據可知：冬至當天影子長度最大，又結合地理知識可以得出冬至日該小區的太陽高度角為∠EDA，相應可以得出前樓的高度為60·tan∠EDA米，進而可以得出，滿足全天采光要求需要選擇的99-60·tan∠EDA以上的高度，最終得出最低要購買哪一樓層.

經過這樣題型的分析和運算，可以將學生原有的理論知識與現實生活中的問題進行結合，不僅鞏固提升三角函數的知識，更是引導學生形成理論與實踐相結合的思想. 長期累積，可以更好地將數學思想融入實際生活中去，實現知識遷移的目的.

對提高數學知識遷移能力的幾點建議

提高數學知識遷移能力的有效手段無疑是結合經典例題，進行強化練習，從而起到知識遷移的作用. 在高中數學的教學過程中，通過經典例題實現知識的遷移，除了上述的兩種開放性題型設置、理論與現實結合的題型設計，還有比如聯想遷移、轉化遷移、多解遷移和多變遷移等實現方式. 因為數學本身具有較高的復雜性和多變性，所以為更好地實現知識遷移的目的，采用多種方式來加強學生的知識遷移能力，不失為一種有效的手段.

由于數學知識有一定的相似性，所以它們之間存在的遷移可能性較大，聯想遷移是一種具有創造性的思維活動，這一遷移能力建立在一定的邏輯思維基礎之上，教師可以根據這一特點，引導學生養成舉一反三的學習能力. 例如：已知a，b，c，d都是實數，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1. 這道源于教材的題目是隸屬于解不等式范疇的題型，解決它的方法有很多.

解法一：根據函數的對應以及三角函數的相關知識，我們將a與cosα、b與sinα建立一一對應的關系，即將a2+b2=1轉化成cos2α+sin2α=1，同理，將c2+d2=1轉化成cos2β+sin2β=1，則ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1，所以ac+bd≤1.

解法二：設p=（a，b），q=（c，d），則p·q≤p·q，即ac+bd≤·，

所以ac+bd≤1.

在這道題目的求解過程中無論是解法一：不等式向三角函數的遷移；還是解法二：利用向量數量積的相關知識遷移至不等式的證明中. 以上兩種解法顯然較其他解法來得更為精煉與自然，而這就是數學知識遷移的魅力所在.

寫在最后

總的來說，遷移的實質是概括，數學思想方法是數學知識在更高層次的抽象和概括，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中，是對數學知識的理性認識.教師對經典例題的講解、分析，并指導學生練習是實現數學知識的遷移的關鍵. 所以教師在實際的教學過程中，一定要根據學生的實際情況進行遷移能力培養方法的設定，對教學內容做好選擇與整合，引導學生更好地掌握數學知識的精髓.

？搖？搖對于數學知識由同一學科的知識遷移，到不同學科的知識遷移，由理論知識的學習到生活中的應用，不僅體現了學生強化學科知識的需要，培養學生創新能力的需要，更是數學知識本身教學的需要. 布魯納指出掌握數學思想和方法能使數學更容易理解和記憶，領會基本數學思想和方法是通往遷移的“光明之路”. 讓我們指導學生走上這條光明之路，讓數學在學生的思想與生活中自然地流淌！