由一道最值問題引發的思考

趙永

[摘 要] 數學思想方法是解決數學問題的指導思想和重要策略，是學生數學素養、數學學習的靈魂體現. 數學思想方法更是伴隨在數學知識學習、數學思維活動之中的. 將數學思想方法、數學基本知識轉化為學生的數學學習的能力是數學素養的核心體現.

[關鍵詞] 模型；思維品質；轉化；一題多變

我們來看一道和最值有關的題目：

已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

這道題的得分率很低，從題目的結構來看雖然感覺似曾相識，入口很寬，但又和平時訓練題型有所差異. 筆者對做錯的學生做了調查，很多學生對于題目中的條件根本不知道如何轉化，還有一部分學生認為計算太煩瑣，運算量大，導致直接放棄. 是什么原因導致學生在做題時會出現思維偏差呢？對于這類題型學生如何突破？實際上每次遇到這樣類似的題型，學生總是摸不著頭腦，找不到解決問題的方法. 那么如何能盡快地幫助學生完成對新知識的順應？能夠幫助學生通過聯想、類比，找到解決問題的突破口呢？這就需要教師在平時教學中要多引導學生去探究，抓住題目的背景和本質，并能夠做些適當變形，這樣既能培養學生探索新知的興趣，又能更好地培養他們的思維品質.

與已知題型相似之認知結構的偏差

1. 問題的回顧

在基本不等式這一節教學中，教師會設計以下題型：

（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y=1，求+的最小值；

（2）已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

我們所要求的目標“+的最小值”與下列題型的結構極其相似.

對于上面這道題目的思維起點最直接的就是利用基本不等式中“1”的代換，以（2）為例由已知條件可得=1，則+=+××（2x+y）=·3++≥，“=”當且僅當=時取得，即x=，y=3（-1）.

2. 題目的分析

由于題型極其相似，學生思維會出現偏差，具體如下：

+=+××（2x+y）=2+++x，感覺式子越來越復雜了，這也是很多學生對于這道題目做不出來的主要原因.

重視多元表征的訓練

1. 抓住本質、適當變式

基本不等式可以敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，≥（a≥0，b≥0），實際上運用基本不等式的實質就是“和”與“積”的矛盾關系，將“和”與“積”進行合理有效的轉化. 基本不等式是高中內容中一個非常重要的知識點，在高考中是C級要求，題型具有靈活性、技巧性，也是學生學習的一個難點之一.對于用基本不等式求最值的解法是非常多的，在這里筆者列舉幾個比較典型的模型：

（1）a+≥2（a>0）；

（2）+≥2（ab>0）；

（3）a2+b2≥（a∈R，b∈R）.

重視模型、合理轉化

形如+≥2（ab>0）或可轉化為+≥2（ab>0）結構的題型的解法如下：

（1）利用“1”的代換轉化為“+≥2（ab>0）”結構.

例1 （如引例）已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

解：+=+=++≥，“=”當且僅當=，

即“x=6-3，y=6-9”時取得.

評析：利用基本不等式中“1”的代換時，是直接對于所求的式子乘以“1”嗎？這顯然是學生死記硬背帶來的后果，實際上可以利用“1”的代換轉化為我們所要的結構模型，注意到目標式子“+”中已經有了“”，那么我們只要對“”進行變形轉化為“”型即可，那么正好可以轉化為+≥2（ab>0），從而可以應用基本不等式求出最值，而實際操作過程中，學生往往心中確實有“1”的代換的概念，但根本不知道代換的是什么，盲目地進行代換.

（2）利用換元法轉化為“+≥2（ab>0）”結構.

例2 已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

解：令m=2x+1，n=y+2，則m>1，n>2，m+n=6，+=+=+×（m+n）=2++≥，等號當且僅當m=n時取得.

評析：注意到本題的條件是比較簡單的，而目標式子是較復雜的，分母分別為“2x+1”和“y+2”，它們的“和”正好與已知式子有關，我們可以通過換元法將結構變得簡單，進而容易轉化為我們所熟知的結構模型.

例3 已知實數x，y滿足x>y>0，且x+y≤2，則+的最小值為______.

解：設m=x+3y，n=x-y，那么題目等價轉化為已知0

評析：本道題有2個難點，第一對于所給條件的合理轉化，第二對于目標的轉化. 對于題目中條件的不等關系如何處理呢？我們可以當成等式關系加以處理，以前對于等式關系的處理方式同樣適用于這種不等關系式，所以我們對題目同樣可以這樣處理，利用“變量代換”實現“等價轉化”. 這樣的解決方法還是利用基本不等式的思想構造了“+（a>0，b>0）”模型，問題便化歸為我們熟悉的題型.

（3）通過消元法轉化為“+≥2（ab>0）”結構.

例4 x，y，z∈R*，x-2y+3z=0，的最小值為________.

解：由已知得y=，則==×++6≥×（6+6）=3，

當且僅當x=3z時取“=”.

評析：本題是多元變量問題，所給條件是三個變量的一個等式，變量間的線性關系決定了可以將一個變量用其他的量線性表示，而目標是是一個齊次式，故可以做消元處理，從所求的目標來看消掉y是最可行的方法，進而可以轉化為+≥2（ab>0）結構模型.

形如“a+≥2（a>0）”或可轉化為a+≥2（a>0）結構的題型解法如下：

（4）利用配湊法轉化為a+≥2（a>0）結構.

例5 已知x<，求函數f（x）=4x-2+的最大值.

解：由題意5-4x>0，f（x）=4x-2+=-（5-4x）++3≤-2+3=1，“=”當且僅當5-4x=，即x=1時取得.

評析：注意到目標函數分母“4x-5”，可以作為一個整體，所以將“4x-2”配成“4x-5”，轉化為熟悉的結構模型，直接利用基本不等式加以解決.

例6 已知x，y為正實數，且xy=2x+2，求+的最小值.

解：由題意x（y-2）=2，=，因為x>0，+=+≥2，等號當且僅當=，即x=2時取得，此時y=3.

評析：這類求最值問題，往往可以通過消元，轉化為一個變量x，進而可以實現用基本不等式求出最值，當然本題也可以向另外一個模型轉化，令x=m，y-2=n，則題目可以轉化為m>0，n>0，mn=2，求+的最小值，那么問題也迎刃而解了.

形如“a2+b2≥（a∈R，b∈R）”結構的題型解法如下：

（5）利用湊定值或換元法轉化為a2+b2≥（a∈R，b∈R）及a+b≤.

例7 已知實數x，y滿足+=4，求x+y的最小值.

解法一： +≤=，

所以≥4，從而可得x+y≥2，等號當且僅當=時取得.

所以x+y的最小值為2.

解法二：令m=，n=，則m+n=4（m≥1，n≥1），

所以x+y=≥=2，等號當且僅當m=n，

即=時取得. 所以x+y的最小值為2.

評析：在使用基本不等式的過程中，經常會采用配或湊成定值的形式來解決問題，這種解法要求較高，對于學生而言也是個難點，當然對于某些結構題型如果可以換元，把變量的關系進行重組，那么會使得整個條件更加簡單，所求目標更加清晰，學生也容易理解和掌握.

形如“≥（a≥0，b≥0）”結構題型解法如下：

（6）利用換元法湊定值轉化為“≥（a≥0，b≥0）”結構.

例8 若實數a，b滿足ab-4a-b+1=0（a>1），則（a+1）（b+2）的最小值為_____.

解：由ab-4a-b+1=0（a>1）可得（a-1）（b-4）=3，令m=a-1，n=b-4，則mn=3，

（a+1）（b+2）=（m+2）（n+6）=mn+6m+2n+12=6m+2n+15≥2+15=27，“=”當且僅當n=3m，即b=3a+1時取得.

評析：本題無論是條件還是所求目標對于學生而言都是畏懼的，在解決時容易偏離方向，本題的解法是通過換元法將條件簡單化，從而所求目標也就清晰了，當然本題也可以從結論出發加以換元，也能水到渠成.

課堂的再演繹

我們教師在日常教學中不能只側重于解題方法和解題技巧的傳授，更要讓學生重視題目內部的結構聯系，把握問題的不同表征，要以思維訓練為抓手，這樣可以把數學知識板塊有效地結合起來，在本案例進行了辨析之后教師可以給出以下題型：

（1）已知x，y∈（0，+∞），且+=1，求x+y的最小值；

（2）已知x>0，y>0，且+≤，求2x+y的最小值；

（3）設x，y是正實數，且x+y=1，求+的最小值；

（4）已知正實數x，y，z滿足2xx++=yz，則x+x+的最小值為______；

（5）已知x，y∈（0，+∞），2x+3y+xy=8，求2x+5y的最小值；

（6）已知x+y=7，則2+的最大值是______.

以上設計涉及整體、等價轉化、函數、消元、化歸等等思想，能使得學生認識到同一問題在不同背景下的表征. 通過對問題的不同表征，抓住問題的本質，找到解決問題的準確的切入點，進而快速地解決問題.

兩點思考

1. 重視學生的思維品質的培養

通過剛才幾個例題的解法我們清楚地看到，在解題過程中運用了很多數學思想方法，數學思想方法它是解決數學問題的指導思想和重要策略，是體現學生數學素養、數學學習的靈魂. 對于數學課的教學不僅僅是要訓練學生的解題能力，更應該從教學中不斷地提高學生的思維品質. 數學教學是數學思維活動的教學，在教學中要以學生為主體，遵循認知規律，以學生現有的認知結構為基礎，在教學的各個環節的處理中，重視學生思維過程的暴露與訓練，進而提高思維訓練的實效性. 教師要善于以知識和例題、習題為載體，向學生有機地滲透數學思想方法，逐步讓學生親身領悟到解題過程的思維樂趣，經過長期的訓練能夠形成一種思維能力，養成一種良好的思維品質.

解題是一種藝術，我們教師應該在課堂教學中注重學生思維品質的培養，往往很多學生題目做不出來，大部分原因是因為找不到解題的思維因素而造成的. 在解題過程中，為了實現條件向結論的轉化，我們必須首先分析題目的結構特征，然后與所學知識進行聯系，轉化為自己熟悉的知識模型，這種思維活動重點在于對題目的再創造，這需要扎實的基礎和創造性的思維. 數學家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數學解題是命題的連續變換. 可見，解題過程是通過問題的轉化才能完成的. 轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法. 那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題. 在解題時，觀察題目的具體特征，聯想與之相關的知識點，進而尋求轉化關系，達到解題目的.

2. 重視學生一題多變的能力

所謂“一題多變”，就是通過題目的引申、變化、發散，揭示問題的本質，暴露問題間的邏輯關系. 對于學生而言，高中階段的學習很枯燥，壓力大，解題找不到突破口，主要是思考問題的思維方式出現了問題，經常性地進行變式的訓練有助于拓寬他們的解題思路，培養他們的思維能力，增強他們學習數學的興趣.長期的“一題多變”的訓練，會將這種解決問題的能力轉化為一種思維方式，使學生思維水平上升到一個新的臺階. 通過變式教學可以將所學知識有機地結合起來，起到舉一反三、觸類旁通的作用，對培養學生的思維品質是很有好處的.