淺談二元一次方程組課堂教學中變式法的應用

馬昭浩

【中圖分類號】G632.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）22-0-01

教學中我們習慣于題海戰術，讓學生做各種各樣的習題。于是學生在無數重復的題海中疲于奔命，而最后的效果卻差強人意，數學成績得不到顯著提升。在新課標指導下，數學的教育教學方法應不斷進步、革新。教學中不限于掌握課本簡單知識，而是在學生初步掌握基礎知識、技能后，應對學習知識進一步的深化和熟練，使學生在今后學習中學會運用課本的知識舉一反三，而“變式教學”的方法是十分有效的手段。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化。即教師可不斷更換命題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的各種環境，但應保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性。

方程是初中階段代數的重要內容，貫穿初中的各個在學習階段，也是重要的數學方法，掌握好方程解法是極為重要的。在學習二元一次方程及二元一次方程組之前學生已經熟悉一元一次方程的解法，因此教學中把二元轉化為一元是關鍵，也就是消元。用代入法和加減法就能實現消元，但教學中發現并不是每個學生都能根據二元一次方程組的特點選擇適當的解法，靈活正確解出方程。有的教師教學中會讓學生做大量的習題，而缺少進行的變式教學及方法的概括。以下是本人在二元一次方程組解法教學中變式方法的初步應用。

出示較為簡單的方程組例題：x+2y=-3①x-3y=2②

先要求學生用代入法來解，由學生觀察、討論、分析得出，由x=-3-2y或x=3y+2代入另一個方程即可解出y的值，再把y的值代入方程中的任意一個就可解出x得值。然后推薦學生代表解說過程，教師在黑板板演。

接著問除了代入法還有別的更簡便辦法消去x嗎？再讓學生認真觀察方程組中未知數x系數的特點？發現x的系數相同，如果兩個方程兩邊分別相減即用加減法來解便可以消去x，顯然比用代入法更加簡便。學生說過程，教師板演。學生通過比較初步體會選擇適合方法的重要性。

變式一：2x+2y=-3①2x-3y=2②

學生觀察、比較方程組與上一個方程組的異同點。用代入法解時很多學生會習慣把方程轉化為x=-y-32或x=32y+1，顯然再代入方程計算較為麻煩。提醒學生仔細觀察方程特點，方程①、②中的2x是相同的，因此用整體2x=-2y-3或2x=3y+2代入另一個方程較為簡便，使學生體會到整體的思想。

能否用加減消元法解這個方程組呢？引導學生觀察方程組中x的系數，容易發現兩個方程中x的系數相同都是2，選擇用加減消元法，由①-②可消去x來解方程組顯然更為簡便。

思考：通過解以上這兩個方程組你可有什么心得？讓學生用自己的語言來表達。

變式二：-2x+2y=-3①2x-3y=2②

觀察上述方程組，未知數x的系數有什么特點？選擇什么方法可簡便消去x呢？通過提問學生有目標性的觀察方程的特點，發現未知數x的系數相反，如把兩個方程的兩邊對應相加，便可消掉未知數x。比用代入消元法解方程明顯簡便。

讓學生想一想通過解前面三個方程組，你發現兩個方程中同一未知數的系數什么條件下可用加減消元法？引導啟發學生反思后總結：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時（系數的絕對值相等），將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未知數，得到一個一元一次方程，從而達到消元解方程組的目的。

變式三：4x+2y=-3①2x-3y=2②

引導學生觀察方程未知數系數的特點，接著問：這個方程組用代入消元法來解簡便嗎？讓學生嘗試用代入法來解，顯然用代入消元法計算復雜不簡便。接著問：本例可用加減消元法來解嗎？這兩個方程直接相加減能消去某個未知數嗎？顯然不能，為什么？那怎樣才能使方程組中的某個未知數的系數的絕對值相等呢？通過這一系列的提問，引發學生思考，啟發學生仔細觀察方程組的特點，發現x的系數成整數倍關系。如果我們把②x2，就可得4x-6y=4③，再由①-③就可消去x，從而達到消元解方程組。

反思：通過本例你能總結出什么條件下也可用加減消元法解二元一次方程組呢？

變式四：-2x+2y=-3①5x-3y=2②

想想這個二元一次方程組還可以用加減消元法來解嗎？

顯然方程組中系數，既沒有絕對值相等，也沒有整數倍關系。該怎樣才能把某一未知數系數轉化成的絕對值相等呢？先獨立思考后，再小組討論交流，最后小組反饋說出自己的想法。在此過程中，教師適時點撥引導，讓學生發現只要將同一未知數的系數轉化成它們的最小公倍數就可以了。由此最終分析得出兩種解法：

方法一：通過由方程①×5，②×2，這樣就使兩個方程中的未知數x的系數絕對值相等，再把新得的兩個方程相加就達到消元解方程的目的。

方法二：通過由①×3，②×2，也可使兩個方程中的未知數y的系數絕對值相等，從而用加減法可解得。

再引導學生對兩種方法進行對比，讓學生自己總結出應選擇方程組中同一未知數系數絕對值的最小公倍數較小的未知數消元比較簡便。

變式五：-2x+1+2y-1=-35x-1-3y+1=2

觀察本例中二元一次方程組的特點，問：此題可以直接用加減消元法來解嗎？

引發學生的思考、討論，并嘗試解題。學生在解的過程中發現這個方程組無法直接消元，要先去掉括號，接著移項、合并同類項，化簡整理成“標準形式”的方程組-2x+2y=15x-3y=10，再按變式四中總結的方法進行解方程組。

變式六：-0.2x+0.3y=-3①52x-53y=2②

出示題后引導學生觀察方程組，有了變式五的經驗基礎，學生很容易發現此題系數有小數、分數，同樣無法直接用加減消元法來解，自然而然去思考、去討論：如何才能也把方程組化簡成標準形式呢？

通過學生之間的討論交流發現：把①×10就把小數轉化成整數，把②×6就去掉了分母，從而把方程組化簡成標準形式-2x+3y=-3015x-10y=12，同樣的按變式四的方法就可以解這個方程組了。

及時讓學生觀察變式五和變式六的解題過程，發現其共同點：對于較復雜的二元一次方程組，應先化簡（化整數、去分母、去括號，合并同類項等方式），把方程組化簡整理成標準的二元一次方程組后，再根據方程組的特點選擇合適的方法進行消元解方程。

通過這一系列變式的二元一次方程組的解法探索，學生由淺入深逐步掌握了用消元法解各種類型二元一次方程組，師生共同梳理并歸納出解二元一次方程組的一般思路方法：解二元一次方程組的總體思路是消元，能根據方程組的特點正確選擇用代入法或加減法，把二元一次方程轉化為學生熟悉的一元一次方程，進而解出方程組的解。進一步總結出用加減法解二元一次方程組的一般步驟：1、如果方程組的兩個方程中某個未知數的系數互為相反數，可以把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數；如果未知數的系數相等，可以直接把兩個方程的兩邊相減，消去這個未知數。2、如果方程組中不存在某個未知數的系數絕對值相等，那么應選出一組系數（選最小公倍數較小的一組系數），求出它們的最小公倍數（如果一個系數是另一個系數的整數倍，該系數即為最小公倍數），然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數的絕對值相等（都等于原系數的最小公倍數），再加減消元。3、對于有括號的或系數是小數、分數的較復雜方程組，應先化簡（化整數、去分母、去括號、合并同類項等），通常要把每個方程整理成含未知數的項在左邊，常數項在方程右邊的標準形式，再作如上加減消元的考慮。

總之，本人在二元一次方程組解法教學中有目的、有意識地引導學生從“變”中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，引導學生多角度，多側面，多渠道地思考問題，讓學生多探討，多爭論，幫助學生使所學的知識點融會貫通，大大地激發了學生的興趣，保持其參與教學活動的興趣和熱情，最終達到提高教學質量的目的，并為學生學好數學、用好數學打下良好的基礎。