函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖分析

武瑞雪

【摘要】有效的教學(xué)離不開(kāi)優(yōu)秀的課前教學(xué)設(shè)計(jì)，既要有明確的教學(xué)目標(biāo)，又要有對(duì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的準(zhǔn)確把握，還要能對(duì)課堂教學(xué)活動(dòng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行預(yù)設(shè)，并注重讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性；教學(xué)設(shè)計(jì)；意圖分析

1 教材內(nèi)容分析

“函數(shù)的單調(diào)性”是學(xué)生進(jìn)入高中階段后接觸的第一個(gè)用數(shù)學(xué)“符號(hào)語(yǔ)言”刻畫(huà)的“數(shù)學(xué)概念”（或說(shuō)“函數(shù)的性質(zhì)”），對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的難度和挑戰(zhàn)性，是研究和學(xué)習(xí)后續(xù)很多知識(shí)（如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等）的基礎(chǔ)，在比較大小、求最值和極值、解不等式、研究數(shù)列性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的判定等問(wèn)題上都有重要的應(yīng)用，同時(shí)，對(duì)“函數(shù)的單調(diào)性”的研究過(guò)程及方法，可遷移到對(duì)函數(shù)的其他性質(zhì)的研究上，對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)有奠基意義.

2 教學(xué)目標(biāo)定位

理解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念，能根據(jù)函數(shù)的圖象指出單調(diào)性、寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間，能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成由特殊到一般，再由一般到特殊來(lái)研究問(wèn)題的思維習(xí)慣[1].

3 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷和證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念的生成，特別是用數(shù)學(xué)“符號(hào)語(yǔ)言”描述函數(shù)的單調(diào)性；某些函數(shù)單調(diào)區(qū)間的正確表示；單調(diào)性的證明.

4 教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖分析

所用教材為現(xiàn)行蘇教版[2]，課前布置學(xué)生在“導(dǎo)學(xué)案”引導(dǎo)下閱讀教材，本節(jié)課是函數(shù)的單調(diào)性的第一課時(shí)，所涉及的題目在導(dǎo)學(xué)案和課件上均有，利于學(xué)生預(yù)習(xí)，節(jié)省學(xué)生抄題、教師板書(shū)的時(shí)間，給學(xué)生更多的時(shí)間思考和探究，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).

4.1問(wèn)題情境

問(wèn)題情境1如圖1為某市某一天24小時(shí)的氣溫變化圖，氣溫y是關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，記為y=f（x），x∈[0，24]，觀察這個(gè)氣溫變化圖，說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐漸升高或下降的？怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)上述時(shí)段內(nèi)“隨著時(shí)間的增加氣溫逐漸升高”這一特征？

意圖分析以來(lái)源于生活的氣溫曲線(xiàn)圖創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，利于激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性，感受函數(shù)的單調(diào)性概念產(chǎn)生的必要性和價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力與“形”“數(shù)”轉(zhuǎn)換的能力，利于引領(lǐng)后續(xù)的教學(xué).

問(wèn)題情境2畫(huà)出下列3個(gè)函數(shù)的圖象，你能用數(shù)學(xué)中的“符號(hào)語(yǔ)言”刻畫(huà)這3個(gè)函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變化特征嗎？

（1）f（x）=2x；（2）f（x）=1x；

（3）f（x）=x2+2x+1.

意圖分析（1）從學(xué)生熟悉的3個(gè)函數(shù)切入，通過(guò)畫(huà)圖觀察，讓學(xué)生感受到函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)：隨著x值的增大，有的呈上升的趨勢(shì)；有的呈下降的趨勢(shì)；有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升的趨勢(shì)，在另一區(qū)間內(nèi)呈逐漸下降的趨勢(shì). 滲透分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想.

（2）通過(guò)觀察圖2，先讓學(xué)生從“圖形語(yǔ)言”上直觀認(rèn)識(shí)到函數(shù)的單調(diào)性，并用“圖形符號(hào)”表示為“上升：x，y=f（x）；下降：x，y=f（x）”；再用描述性的“文字語(yǔ)言”分別對(duì)應(yīng)表述為“y隨x的增大而增大；y隨x的增大而減小”；最后用數(shù)學(xué)“符號(hào)語(yǔ)言”分別對(duì)應(yīng)表述為“當(dāng)x1f（x2）”，這個(gè)過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生的思維從“直觀感覺(jué)”走向“數(shù)理邏輯”.

（3）將“y隨x的增大而增大”翻譯成“當(dāng)x1

4.2建構(gòu)數(shù)學(xué)

4.2.1單調(diào)增函數(shù)、單調(diào)減函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，區(qū)間IA.

如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，若當(dāng)x1

如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，若當(dāng)x1f（x2），那么就說(shuō)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱(chēng)為y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間.

意圖分析 （1）前一定義由教師引導(dǎo)學(xué)生概括，后一定義放手讓學(xué)生獨(dú)自概括，讓學(xué)生在類(lèi)比模仿之中加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知、內(nèi)化，既培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，又培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)中的“符號(hào)語(yǔ)言”刻畫(huà)數(shù)學(xué)概念的能力[3].同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念是如何擴(kuò)充完善的.

（2）當(dāng)學(xué)生表述不到位、語(yǔ)言不準(zhǔn)確、理解存在偏差時(shí)，教師要耐心地引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充、修正，最后達(dá)成嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的表述.如學(xué)生表述時(shí)，可能會(huì)漏掉“在某區(qū)間上”，借此教師要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某區(qū)間而言的，是函數(shù)的“局部性質(zhì)”.讓學(xué)生閱讀教材，規(guī)范表述，找出概念中的關(guān)鍵詞“在某區(qū)間上”、“任意”、“都有”.

4.2.2單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性，單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間.

4.3數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1請(qǐng)根據(jù)圖2，寫(xiě)出函數(shù)f（x）=2x，f（x）=1x，f（x）=x2+2x+1的單調(diào)區(qū)間.

例2如圖3是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù).

意圖分析（1）通過(guò)例1、例2，讓學(xué)生能用“圖象法”判斷函數(shù)單調(diào)性，并明確“函數(shù)單調(diào)性”與“函數(shù)單調(diào)區(qū)間”的區(qū)別.

（2）通過(guò)獨(dú)立思考，小組討論，自主糾錯(cuò)，最終讓學(xué)生明白函數(shù)f（x）=1x（x≠0）在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，但是在定義域上不具有單調(diào)性，并提醒學(xué)生注意函數(shù)f（x）=1x（x≠0）的減區(qū)間不能寫(xiě)為：①（-∞，0）∪（0，+∞），

②（-∞，0）或（0，+∞），而應(yīng)寫(xiě)為：①（-∞，0），（0，+∞），②（-∞，0）和（0，+∞），③（-∞，0）及（0，+∞）.一般地，單調(diào)區(qū)間是不能取并集的.

思考你能畫(huà)出函數(shù)f（x）=x+1x，x∈（1，+∞）的圖象嗎？你能用“圖象法”判斷函數(shù)f（x）=x+1x在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性嗎？

意圖分析對(duì)高一新生而言，很難畫(huà)出此函數(shù)的圖象，那么對(duì)于“圖象不明”的函數(shù)，用“圖象法”判斷其單調(diào)性已不可能，讓學(xué)生體會(huì)到用“定義法”證明的必要性，自然過(guò)渡到例3.

例3證明函數(shù)f（x）=x+1x在（1，+∞）上是增函數(shù).

證明設(shè)x1，x2為區(qū)間（1，+∞）上任意兩個(gè)值，且x1

f（x1）-f（x2）=x1+1x1-x2+1x2=（x1-x2）+x2-x1x1x2=（x1-x2）·x1x2-1x1x2，

由1

x1x2-1>0，x1x2>0，

于是f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

所以，f（x）=x+1x在（1，+∞）上是增函數(shù).

意圖分析（1）此題是教材上例2的變式題，因大部分學(xué)生還是可以畫(huà)出例2中函數(shù)f（x）=-1x-1，x∈（-∞，0）的圖象的，為了更好地說(shuō)明引入“定義法”的必要性，故將教材上例2換為上述的例3，忠于教材又不囿于教材.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照單調(diào)增函數(shù)的定義，指出函數(shù)單調(diào)性證明的要點(diǎn)，作差比較大小是常用方法，它的基本步驟是：取值→作差→變形→定號(hào)→下結(jié)論（其中作差是依據(jù)，變形是手段，定號(hào)并下結(jié)論是目的），培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理能力，增強(qiáng)思維的條理性.

（2）通過(guò)這3道例題，讓學(xué)生分別從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面理解單調(diào)性，同時(shí)讓學(xué)生明白“判斷函數(shù)單調(diào)性”與“證明函數(shù)單調(diào)性”的差別.

思考 函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的某區(qū)間I上單調(diào)遞增，那么對(duì)區(qū)間I上的任意兩個(gè)值x1，x2，f（x1）-f（x2）x1-x2的符號(hào)有什么變化規(guī)律？反之，若在區(qū)間I上的任意兩個(gè)值x1，x2，都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0，則函數(shù)f（x）在I上單調(diào)性如何？

意圖分析通過(guò)此道思考題，讓學(xué)生明白“對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，若當(dāng)x10”是等價(jià)的，它們都能表明函數(shù)f（x）在I上為單調(diào)增函數(shù).

4.4學(xué)生活動(dòng)

練習(xí)關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性有以下一些說(shuō)法：

（1）區(qū)間（a，b）上，取兩數(shù)x1，x2，且x1

（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，x1，x2∈I，f（x1）

（3）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（2）>f（1），則函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù).

（4）函數(shù) y =f （x）的定義域?yàn)閇0，+∞），若對(duì)于任意的x2>0，都有f（x2）

（5）若函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，則必有f（2）>f（1）.

（6）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（2）>f（1），則函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)減函數(shù).

（7）若要說(shuō)明函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)增（減）函數(shù)，只需在該區(qū)間上，找到兩個(gè)值x1，x2，且x1

（8）若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù).

（9）若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù).

（10）所有的函數(shù)都具有單調(diào)區(qū)間.

其中正確的有 （5）、（6）、（7）、（9）.

意圖分析（1）概念辨析是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，通過(guò)這道填空題，幫助學(xué)生從正、反兩方面辨析、反思，幫助學(xué)生逐步形成對(duì)概念全面、深刻的認(rèn)識(shí)，準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵與外延，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

（2）學(xué)生先獨(dú)自思考，再小組討論，相互糾正，對(duì)于錯(cuò)誤命題，要讓學(xué)生說(shuō)明理由，舉出反例.

（3）這道填空題的解決要比直接告知“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的教學(xué)模式更利于激發(fā)學(xué)生探究的興趣和思考的熱情.

練習(xí)2證明函數(shù)y=x在（0，+∞）上是增函數(shù).意圖分析鞏固用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟，讓學(xué)生意識(shí)到“變形”是最為關(guān)鍵的步驟，其成功的標(biāo)志是出現(xiàn)因式x1-x2，教師點(diǎn)評(píng)時(shí)，提醒學(xué)生規(guī)避“循環(huán)論證”情況的發(fā)生.

4.5回顧反思

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識(shí)？學(xué)會(huì)了哪些方法？經(jīng)歷了怎樣的研究過(guò)程？

意圖分析讓學(xué)生再次體驗(yàn) “函數(shù)的單調(diào)性”概念發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的“圖象法”和“定義法”，以及用“定義法”證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟，利于學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，利于學(xué)生養(yǎng)成反思、歸納、總結(jié)的良好習(xí)慣.

4.6課后作業(yè)

1.必做題：教材第44頁(yè)，第4題、第7題.

2.選做題：利用幾何畫(huà)板可畫(huà)出函數(shù)f（x）=x+1x（x≠0）的圖象（如圖4），

（1）根據(jù)圖象寫(xiě)出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）證明函數(shù)f（x）=x+1x在區(qū)間（-∞，-1]上是增函數(shù).

意圖分析（1）通過(guò)作業(yè)及時(shí)鞏固所學(xué)的知識(shí)和方法.其中選做題是例3的補(bǔ)充，讓課堂、課后渾然一體，并讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“對(duì)勾函數(shù)”，利于后續(xù)的學(xué)習(xí).

（2）通過(guò)選做題的第（1）題，讓學(xué)生明白函數(shù)f（x）=x+1x（x≠0）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）和（0，1）；單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1]和（1，+∞）. 特別地，單調(diào)減區(qū)間不能寫(xiě)為[-1，0）∪（0，1），但從簡(jiǎn)潔性角度考慮，單調(diào)增區(qū)間可寫(xiě)為（-∞，-1]∪[1，+∞）.

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