破解“函數與導數”試題的七種非常規技巧

梁昌金

從近幾年的全國卷高考情況來看，第21題是以函數與導數、方程與不等式等知識為載體的導數問題.這類試題，由于其試題新穎，綜合性高，方法多樣，技巧性強，所以難度往往很大，給不少學生造成了一定的心理壓力.因此，如何突破這方面的內容便成了一個重要的研究課題.本文結合幾道例題，給出破解“函數與導數”試題的七種非常規技巧，化陌生為熟悉，使這類問題的求解也具有一定的通性通法，極大降低解題難度.

1 利用導數的定義

例1（2016年高考新課標Ⅱ文20）已知函數f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.

（Ⅰ）當a=4時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ）若當x∈（1，+∞）時，f（x）>0，求a的取值范圍.

解（Ⅰ）所求切線方程為2x+y-2=0（過程略）；

（Ⅱ）當x∈（1，+∞）時，f（x）>0等價于a<（x+1）lnxx-1.

設g（x）=（x+1）lnxx-1，x>1，

則g′（x）=x2-1x-2lnx（x-1）2.

設h（x）=x2-1x-2lnx，x>1，

則h′（x）=（x-1）2x2>0.

所以h（x）在（1，+∞）上單調遞增，因此，當x>1時，h（x）>h（1）=0.

所以g′（x）>0，故g（x）在（1，+∞）上單調遞增.

設φ（x）=（x+1）lnx，x>1，則g（x）=φ（x）-φ（1）x-1.

于是limx→1g（x）=limx→1φ（x）-φ（1）x-1=φ′（x）x=1=lnx+x+1xx=1=2.

所以a≤limx→1g（x）=2，故a的取值范圍是（-∞，2].

點評若采用分離參數法，在得出函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增后，無法求出最小值，分離參數法失敗了.針對這種情況，有人啟用洛必達法則解決，但因高中沒有學習洛必達法則而受質疑，干脆放棄分離參數的方法另謀它法.故而本題的參考答案用的是分類討論的方法進行求解.本文使用了導數的定義，既避免了繁瑣的分類討論，又沒有使用超綱的洛必達法則，且整個解答過程極為簡潔，無疑是一種值得推廣的好方法.

2 先充分后必要

例2（2015年高考北京卷理科第18（3）題）

設實數k使得ln1+x1-x>k（x+x33）對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解設g（x）=ln1+x1-x-k（x+x33），則g′（x）=（x2+1）（-k），注意到g（0）=0，若x∈（0，1）時，g′（x）≥0（0

此時g（x）在（0，1）上單調遞增，所以g（x）>g（0）=0符合題意，因此k≤2.

又當k>2時，可得g′（x）=kx4-（k-2）1-x2，所以，當0

因此g（x）在區間（0，4k-2k）上單調遞減，所以g（x）

所以，所求k的最大值為2.

點評不等式含參恒成立問題，常規方法是“分離參數法”和“構造函數法”，但有時解決起來很困難.筆者探究發現，有些問題，我們可以關注端點效應，如本試題前半部分求解得出的僅是原命題成立的一個充分條件，再證其必要性即可.

3先必要后充分

例3（合肥市2016屆高三第二次教學質量檢測理科第21題）已知函數g（x）=ax3+x2+x（a為實數）.

（1）試討論函數g（x）的單調性；

（2）若對x∈（0，+∞）恒有g（x）≤lnx+1x，求實數a的取值范圍.

解（1）略；

（2）令f（x）=lnx+1x，則f′（x）=1x-1x2，

因此，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以f（x）min=f（1）=1.

對x∈（0，+∞）恒有g（x）≤lnx+1x，則必有g（1）≤1，即a≤-1.

當x∈（0，+∞），a≤-1時，g（x）=ax3+x2+x≤-x3+x2+x，設h（x）=-x3+x2+x，

則h′（x）=-3x2+2x+1，當x∈（0，1）時，h（x）單調遞增；當x∈（1，+∞）時，h（x）單調遞減.

所以h（x）max=h（1）=1，于是g（x）≤f（x）=lnx+1x.

綜上，實數a的取值范圍為a≤-1.

點評含參不等式恒成立問題在各類考試中頻繁出現，常規方法是對參數進行分類討論.如何分類，分類后如何破解問題是難點，而且學生對分類討論較為畏懼.另辟蹊徑，可以利用不等式恒成立的必要條件縮小參數的范圍，然后再作充分性論證，這樣常能達到化繁為簡的作用.

4分離函數法

例4（武漢市2016屆高中畢業生四月調研測試理科數學21）

已知函數f（x）=x2ex-lnx.（ln2≈0.6931，e≈1.649）

（1）當x≥1時，判斷函數f（x）的單調性；

（2）證明：當x>0時，不等式f（x）>1恒成立.

解（1）函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增（過程略）；

（2）f（x）>1等價于exx>lnx+1x3.令g（x）=exx，h（x）=lnx+1x3.

一方面，g′（x）=（x-1）exx2.

當x∈（0，1）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，g′（x）>0，g（x）單調遞增.

所以當x=1時，g（x）=exx取得最小值，最小值為e.

另一方面，h′（x）=-3lnx+2x4.

當x∈（0，e-23）時，h′（x）>0，h（x）單調遞增；當x∈（e-23，+∞）時，h′（x）<0，h（x）單調遞減.

所以當x=e-23時，h（x）=lnx+1x3取得最大值，最大值為13e2.

注意到e>13e2，從而可知對x>0都有g（x）>h（x），即exx>lnx+1x3，即f（x）>1.

點評當函數不等式中同時出現ex和lnx時，直接應用導數證明很困難，甚至需要多次求導，導致思維受阻，此時若能從函數不等式分離出ex或lnx，再利用導數證明，則可化難為易、化繁為簡.

5重要不等式

例5（2014年新課標Ⅰ理21）設函數f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b； （2）證明：f（x）>1.

解 （1）a=1，b=2（過程略）；

（2）由（1）知f（x）=exlnx+2xex-1，從而f（x）>1等價于xexlnx+2ex-1-x>0，

由常見不等式ex≥x+1，得ex-1≥x，所以-x≥-ex-1，

所以xexlnx+2ex-1-x≥xexlnx+ex-1=ex（xlnx+1e），

令g（x）=xlnx+1e，x>0，則g′（x）=lnx+1，

當01e時，g′（x）>0，g（x）單調遞增.

所以g（x）≥g（1e）=0.由于取等號的條件不同，故xexlnx+2ex-1-x>0，從而原不等式成立.

點評課本是數學知識的重要載體，是高考考試內容的具體化，是解題能力的基本生長點.不等式ex≥x+1及其變式lnx≤x-1（x>0）即是課本中的一個重要不等式.只有全面“吃透”課本上的例題、習題，才能系統地掌握蘊含其中的基礎知識、基本方法和數學思想，構建起屬于自己的數學知識網絡.

6切線分隔法

例6（2016年遼寧省部分重點中學協作體高三模擬考試理科第21題）已知函數f（x）=ln（x+1）x.

（1）判斷f（x）在（0，+∞）的單調性；

（2）若x>0，證明：（ex-1）ln（x+1）>x2.

解（1）f（x）在（0，+∞）上單調遞減（過程略）；

（2）因為（ex-1）ln（x+1）>x2ex-1x>xln（x+1）（x>0）.

設g（x）=ex-1x，h（x）=xln（x+1），注意到g（0）=h（0）=1，

則易求出函數g（x），h（x）的圖像在點（0，1）處有相同的切線y=12x+1.

下面證明兩個不等式成立即可：

ex-1x>12x+1（x>0）ex>12x2+x+1（x>0）；

xln（x+1）<12x+1（x>0）ln（x+1）>2xx+2（x>0）.

這兩個不等式通過構造函數易證（過程略）.

點評 試題本質是通過等價變形，作出草圖，發現函數y=ex-1x的圖像與函數y=xln（x+1）的圖像有公切線y=12x+1，且y=ex-1x的圖像在這條公切線的上方，y=xln（x+1）的圖像在這條公切線的下方.

7變更主元法

例7（黑龍江省哈爾濱市第三中學2016屆高三第一次模擬考試理科第21題）

已知函數f（x）=lnx-kx+1（k為常數），函數g（x）=xex-ln（4ax+1），（a為常數，且a>0）.

（1）若函數f（x）有且只有1個零點，求k的取值的集合；

（2）當（1）中的k取最大值時，求證：ag（x）-2f（x）>2（lna-ln2）.

解（1）k的取值的集合為{k|k≤0或k=1}（過程略）；

（2）由（1）知，lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立.

而4ax+1>1，故ln（4ax+1）<4ax+1-1=4ax.

于是，k=1時，ag（x）-2f（x）=axex-aln（4ax+1）-2lnx+2x-2>axex-a·4ax-2lnx+2x-2=axex-2lnx-2x-2.

設h（a）=xexa-2lna-2x-2lnx-2+2ln2，則h′（a）=xex-2a，

由h′（a）>0，得a>2xex；由h′（a）<0，得0

所以h（a）在（0，2xex）上單調遞減，在（2xex，+∞）上單調遞增，

所以h（a）≥h（2xex）=0，即axex-2lnx-2x-2≥2（lna-ln2），故原不等式成立.

點評對于含參函數問題，涉及到的量往往不止一個，若能轉換角度思考問題，往往會出奇制勝，收到意想不到的效果和感悟.

一些典型問題，雖然已有通法存在，但由于學生的接受能力與分析問題的能力所限，不能很好地理解并掌握這些方法.通過以上幾道導數壓軸題的分析，我們發現，對一些典型問題的分析，我們不能停留在問題表象的研究.而應多做一些教學與解題研究，從不同的角度、方法使問題得到更為完善的解決.這些“非常道”，表面上看起來是一些巧解，但通過細致的分析，我們會發現，這些“非常道”往往也是一種通法，而且是學生較為容易接受的一些通法，是提高學生分析問題與解決問題的重要思想方法.這就要求我們在平時的學習中，應善于學習，勤于鉆研，能站在更高的角度看待和審視問題.