利用特征線法求解一維非齊次波動方程

樊 龍

(山西大同大學煤炭工程學院，山西大同037000)

利用特征線法求解一維非齊次波動方程

樊 龍

(山西大同大學煤炭工程學院，山西大同037000)

對于非齊次波動方程的求解問題,一般情況下,我們通過齊次化原理（Duhamel原理）來給出方程解的具體形式。在文中,首先將方程化為方程組形式,然后應用特征線法給出該方程解的另一種推導過程。

非齊次波動方程;特征線;通解

首先，給出非齊次方程的初值問題

通過應用和文獻[1]中同樣的方法，可以將方程化簡為以下形式

對于以上問題可以化為兩部分

設方程(I)、(II)的解分別為u(1)、u(2)，則u=u(1)+u(2)是原方程的解，下面分別求解。

對于方程(I)的解

具體求解過程見文獻[1]。

下面分析方程(II)解的具體算法。

方程(II)中（1）式，特征線為x1(t)=at+C1，沿特征線方向有

兩邊關于t在[0,t]上積分,

因v(x,0)=ut(x,0)-aux(x,0)=0，所以

由于C1=x1(t)-at，代入上式可得

故方程(II)中(1)式的解為

繼續分析方程(II)中(2)式，特征線為

沿著特征線有

兩邊關于t在[0,t]上積分，

由初始條件知u(x2(0),0)=0，以及(2)可得

積分區域如圖1所示，對于以上積分改變積分次序，可得

圖1 積分區域

令η=az+x2(y)-y=az-2ay+C2，

即dη=-2ady，代入得

再由C2=x2(t)+at，帶入上式得,

最終得到非齊次波動方程的解

[1]樊龍.一維齊次波動方程Cauchy問題達朗貝爾公式的另一種推導[J].山西大同大學學報（自然科學版）,2015(2)：15-16.

[2]朱長江,鄧引斌.偏微分方程[M].北京：科學出版社,2005：64-66.

[3]谷超豪,李大潛,陳恕行，等.數學物理方程[M].北京：高等教育出版社,2002：8-10.

The solution of One-dimensional Nonhomogeneous Wave Equation Which is Obtained by Using Characteristic Lines

FAN Long
(School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037000)

For the problem of solving the nonhomogeneous wave equation,generally,we rely on the principle of Duhamel.In this paper,we change the form of the equation,the result of the equation can be obtained by using the method of characteristic lines.

nonhomogeneous wave equation;characteristic lines;general solution

O175.9

A

1674-0874(2016)01-0014-02

2015-03-07

樊龍(1989-)，男，山西忻州人，碩士，助教，研究方向：雙曲型偏微分方程。

〔責任編輯 高海〕