時間模上四-點邊值問題兩個正解的存在性

喬世東

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009)

時間模上四-點邊值問題兩個正解的存在性

喬世東

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009)

多點邊值問題至少有一個正解的存在性已經解決，討論多點邊值問題至少有兩個正解的存在性。

邊值問題；正解；時間模；錐；不動點定理

邊值問題（1）至少有一個正解[1]的存在性已經給出。本文討論

至少有兩個正解的存在性。其中T是一個時間模,

（A1）q∈Crd([0,1],[0,∞))且存在t0∈[0,1]，使得q(t0)＞0;

（A2）f:(0,∞)?T→[0,∞)是連續的且f(y)＞0;

首先我們給出幾個引理。這些引理基于下面的邊值問題

引理1設條件（A1）成立,則y(t)是方程（2）的唯一解

這里，Λ=αξ(1-β)t+(1-α)(1-βη)。

證明 由uΔΔ(t)+h(t)=0,

利用邊值條件,有

引理2設條件（A1）、（A2）成立,則y(t)是方程（2）的解u(t)滿足u(t)≥0,t∈[0,1]?T。

證明 事實上，uΔΔ(t)=-h(t)≤0，顯然有u(t)在t∈[0,1]?T是凸的，因此，分以下三種情況證明。

情況（1）若min{u(0),u(1)}≥0，由u(t)的凸性知道，u(t)≥(1-t)u(0)+tu(1)≥0，t∈[0,1]?T；

情況（2）若min{u(0),u(1)}＜0≤max{u(0),u(1)}，

設u(0)=min{u(0),u(1)}＜0，

則u(1)=max{u(0),u(1)}≥0，且u(ξ)＜0。

由u(t)的凸性知道，u(ξ)≥(1-ξ)u(0)+ξu(1)=α(1-ξ)u(ξ)+βξu(1),u(ξ)≥(1)≥0，矛盾。

如果u(1)=min{u(0),u(1)}＜0，

則u(0)=max{u(0),u(1)}≥0，且u(η)＜0。由u(t)的凸性知道，u(η)≥(1-η)u(0)+ηu(1)=(1-η)u(0)+βηu(η),所以，u(η)≥(0)≥0，矛盾；

情況（3）若max{u(0),u(1)}＜0，則u(ξ)＜0，u(η)＜0。由u(t)的凸性知道，u(ξ)≥(1-ξ)u(0)+ξu(1)=α(1-ξ)u(ξ)+βξu(1)和u(η)≥(1-η)u(0)+ηu(1)=(1-η)u(0)+βηu(η)有

記E=Crd[0,1]為一個B-空間，，錐P?E,

邊值問題(1)有解u=u(t)當且僅當u是下列算子方程的解。

引理3設u∈P,則

u(t)≥(1-t)‖u‖,t∈[0,1]?T，

其中‖u‖=|u(t)|。

證明因為u(t)在t∈[0,1]?T上非負的和減少的，因此有u(0)≥u(t)≥u(1)，在t∈[0,1]?T。從而。

由（4）和（5）知u(t)≥(1-t)‖u‖,t∈[0,1]?T。

證畢。

定理1(Avery-Henderson[2-3])設P是實巴拿赫空間E的一個錐,集合

P(Φ,r)={u∈P:Φ(u)＜r}。

如果η,Φ是定義在P上的增加的,非負的連續函數,讓θ是一個定義在P上非負的連續函數且有θ(0)=0滿足對一些正的常數r,M及所有的,Φ(u)≤θ(u)≤γ(u),‖u‖≤MΦ(u)。又假設存在常數0＜p＜q＜r滿足下列條件,θ(λu)≤λθ(u),0≤λ≤1,u∈?P(θ,q)。假設A:P是P上的一個全連續算子滿足下列條件:

（1）Φ(Au)＞r對所有的u∈?P(Φ,r)；

（2）θ(Au)＜q對所有的u∈?P(θ,q)；

（3）P(γ,p)≠φ和γ(Au)＞p對所有的u∈?P(γ,p)。

則A至少有兩個不動點u1,u2,滿足p＜γ(u1),θ(u1)＜q和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

定義非負連續增函數Φ,θ,γ滿足

對每一個u∈P,有Φ(u)=θ(u)≤γ(u)。另外,對每一個u∈P,由引理3知Φ(u)=u(η)≥(1-η)‖u‖。

同樣0≤λ≤1,有θ(λu)≤λθ(u)，u∈?P(θ,q)。記

定理2設條件(A1)～(A2)成立,又設存在常數,滿足:

則邊值問題(1)至少有兩個正解u1,u2,滿足γ(u1)＞p,θ(u1)＜q,和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

證明驗證定理1的所有條件都滿足。

定義一個全連續積分算子A:P→E滿足:

其中u∈P,t∈[0,1]?T,.對于u∈P,t∈[0,1]?T,.易知(Au)(t)滿足方程(1)。令u∈?P(Φ,r)滿足。

由假設條件(c1)知。

因為Au∈P，由引理3得到

設u∈?P(θ,q),則

由假設條件(c2)知

故定理1的條件（2）滿足。

定義u(t)=，t∈[0,1]?T，則γ(t)=＜p，所以，P(γ,p)≠φ。

令u∈?P(γ,p),則γ(u)==u(ξ)=p，0≤u(t)≤p，t∈[ξ,1]?T,由假設條件(c3)知f(u(t))＞,t∈[ξ,1]?T。

又因為Au∈P，由引理3得到

因此(1)至少有兩個正解u1,u2,滿足γ(u1)＞p,θ(u1)＜q,和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

[1]喬世東，張英.時間模上四-點邊值問題正解的存在性[J].山西大同大學學報(自然科學版)，2014,30（3）：1-3.

[2]AVERY R I,HENDERSON J.Two positive Fixed Points of Nonlinear Operators on Ordered Banach spaces[J].Comm Appl Nonlin?ear Anal,2001（8）:27-36.

[3]喬世東，張英.時間模上非線性兩-點邊值問題的研究[J].山西大同大學學報(自然科學版)，2010，26(2):1-3.

Existence of Two Positive Solutions to a Four-point Boundary Value Problems on Time Scales

QIAO Shi-dong
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi，037009)

Some results are obtained for the existence of at least one positive solutions of theabove problem by using fixed point theorem.In this paper,we study the existence of at least two positive solutions of a nonlinear boundary value problem.

boundary value problem;positive solution;time scales;cone;fixed point theorem

175.14

A

1674-0874(2016)05-0001-04

2015-12-08

喬世東(1963-)，男，山西左云人，碩士，教授，研究方向：代數與方程。

〔責任編輯 高海〕