Newtom-Raphson迭代法

郝艷花

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

Newtom-Raphson迭代法

郝艷花

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

Newtom迭代法是一個(gè)基于用近似線性方程代替原方程的構(gòu)造方法，該方法具有一定的普適性，且在求單根時(shí)具有二階收斂速度，是目前使用較為廣泛的一種迭代法。

牛頓迭代法；收斂階；構(gòu)造方法

1 Newtom-Raphson迭代法的構(gòu)造

Newtom迭代法是一個(gè)基于用近似線性方程代替原方程的構(gòu)造方法。從方法的構(gòu)造、編程方式和收斂性上講，該方法具有一定的普適行，且在求單根時(shí)具有二階收斂速度，是目前使用較為廣泛的一種迭代法[1-4]。

設(shè)xk為方程f(x)=0的根x*的一個(gè)近似解，將f(x)在xk處作Taylor展開(kāi)，得

將上式中的x換成xk+1,并把“≈”改為“=”得

Newtom迭代法的基本思想就是：將非線性函數(shù)f(x)逐步線性化，從而將非線性方程f(x)=0近似地線性方程求解。

2 Newtom迭代法的收斂性

2.1 收斂定理

假設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)、可微，且滿足下列條件：

（1）f(a).f(b)＜0;

(2)f'(x)≠0,x∈[a,b];

(3)f''(x)在[a,b]上不變號(hào);

則對(duì)閉區(qū)間[a,b]上的任意初始值x0,Newtom-Raphso迭代法二階收斂到方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)的唯一實(shí)根x*。

2.2 收斂性質(zhì)

設(shè)函數(shù)f(x)具有m（m＞2）階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，x*是方程f(x)=0的單根，則當(dāng)初始值x0充分接近x*時(shí)，Newtom法收斂，且為至少二階收斂。

2.3 Newtom法的改進(jìn)措施

Newtom法的一個(gè)缺陷是在求復(fù)根時(shí)只具有局部線性收斂速度，下面給出幾種解決方法。

方法1若重根x*Newtom法的重?cái)?shù)m已知，則改進(jìn)的Newtom法為

在求x*時(shí)至少二階收斂。

方法2若要提高Newtom法收斂的階數(shù)，可用下列方法：

是一種局部三階收斂的方法。

方法3在Newtom法中，若函數(shù)比較復(fù)雜，初值的選取比較困難，可改用迭代式

其中λ是待定參數(shù)。

3 典型例題分析

例 設(shè)c＞0,試用Newtom法解二次方程x2-c=0,從而導(dǎo)出不用開(kāi)方直接計(jì)算的算法，并證明該Newtom法的收斂性。

即可求得c的Newtom法公式

下證上式迭代格式的收斂性：

對(duì)任意給定的正數(shù)ε，設(shè),令,則可知,在區(qū)間上有：

由迭代公式，可知對(duì)于任意x0∈[]ε,M(ε)二階收斂到方程x2-c=0的唯一實(shí)根。

4 小結(jié)

牛頓迭代法結(jié)合計(jì)算機(jī)編程，可以解決許多問(wèn)題。牛頓迭代法是求非線性方程及非線性方程組的重要方法。

[1]劉師少.計(jì)算方法[M].北京：科學(xué)出版社，2012:30-33.

[2]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008:222-226.

[3]雷金貴，蔣勇，陳文兵.數(shù)值計(jì)算方法理論與典型例題選講[M].北京：科學(xué)出版社，2013:141-146.

[4]倪健，馬昌鳳.解非線性方程牛頓迭代法的一種新的加速技巧[J].廣西科學(xué)院學(xué)報(bào),2010,26(1):1-3.

Newton’s Method

HAO Yan-hua
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Newton iterative method is a construction method based on the approximate linear equation instead of the original equa?tion,The method has a certain general line,and has two order convergence rate for single time,is a more extensive use of an iterative method.

Newton’s method；order of convergence；method of construction

O241

A

1674-0874(2016)05-0010-02

2016-06-23

郝艷花(1973-),女，山西大同人，碩士，副教授，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。

〔責(zé)任編輯 高海〕