精彩源于經典，求新促成創新
——高三數學復習課“問題衍化”的教學嘗試

史建軍

江蘇省丹陽高級中學　(212300)

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精彩源于經典，求新促成創新
——高三數學復習課“問題衍化”的教學嘗試

史建軍

江蘇省丹陽高級中學(212300)

1.重溫經典，意在求新

《蘇教版·普通高中課程標準實驗教科書選修4-5(不等式選講)》第14頁有一道例題：

高三進行回歸課本復習時，又與這道 “陳題”相遇，本題證法眾多，背景深刻，堪稱“經典”.但與不等式中眾多的例題相比，本題似乎過于簡單，以至于在講解本題時，不經意間就輕描淡寫地一帶而過.然而，只要我們進行廣角度的審視，全方位的思考，深層次的探究，多渠道的創新，就能推“陳”出“新”，把“經典”演繹成“精彩”.

2.多重衍化，推陳出新

師生探究：與條件比較，顯然當a≥5時,不等式成立；當a≤2時不等式不成立.因此只要對a=3,4進行驗證即可，經驗證，a≥4.

師生探究：

教師總結：除了上述方法，本題還可以用移項平方，構造幾何圖形等方法證明，這里不再一一列舉.事實上，本題的被開方數還能繼續推廣.

教師引導：我們在解決問題時，經常以特殊問題為起點，逐步分析、比較、討論，層層深入，從解決特殊問題的規律中，尋求解決一般問題的方法和規律，并由此推廣到一般.剛才我們已經將被開方數的數字推廣為字母，一個大膽的猜想油然而生：能否用變量代替常量，進一步“拓展”根指數空間？

師生探究：

∵a>b>c>0，∴a-b>0,a-c>0,b-c>0.

不等式兩端的分子分母均為正，兩端的分子相等，而該不等式左端分母各項分別大于右端分母各項，故該不等式成立.

教師引導：上述證明的方法是“有理化”，靈感來自于衍化2的證法一，其關鍵是利用恒等式：

an-bn=(a-b)(an-1+an-2·b+…+bn-1).這個恒等式的本質是等比數列求和公式的逆用，掌握并熟練運用實屬不易.還有其他思路嗎？

師生探究：在衍化5中,類比衍化2的證法二可得：

教師引導：衍化5的證法二及衍化2的證法二都充分發掘了問題所蘊含的深刻的函數背景，通過構造函數，運用導數研究函數的單調性使問題迎刃而解.從上述證法的證明過程中，我們發現函數f′(x)和g(x)=f(x)-f(x-c)的單調性有何關系？這里的函數f(x)能否推廣到一般函數？

延伸結論1若函數f(x)定義在區間D上，且滿足f′(x)是減函數,則對?c>0,g(x)=f(x)-f(x-c)也是減函數.

證明：∵函數f′(x)在D上是減函數,而c>0,∴f′(x)

延伸結論2若函數f(x)定義在區間D上，且滿足f′(x)是增函數,則對?c>0,g(x)=f(x)-f(x-c)也是增函數.

證明：仿上可證.

3.縱橫聯絡，促成創新

思考：設a>b>c>0,t∈R.則at-bt<(a-c)t-(b-c)t是否成立？

這里的t∈R，“有理化”的方法顯然已無能為力，但我們從t的連續性敏銳地察覺到了其散發出的濃濃的函數氣息，構造函數，運用導數研究函數的單調性解決已然水到渠成.

師生探究：設f(x)=xt(x>0)，則f′(x)=t·xt-1.令k(x)=f′(x),∵k′(x)=t(t-1)xt-2，當t>1或t<0時,k′(x)>0,∴f′(x)在(0,+∞)上遞增.構造函數g(x)=f(x)-f(x-c),∵g′(x)=f′(x)-f′(x-c)>0,故函數g(x)在(c,+∞)上是增函數，∵a>b>c>0,∴g(a)>g(b)，∴at-(a-c)t>bt-(b-c)t，即at-bt>(a-c)t-(b-c)t.

同理可得0

因此我們得到：

衍化6設a>b>c>0,t∈R.

(1)若t>1，則at-bt>(a-c)t-(b-c)t；

(2)若0

(3)若t=1或t=0，則at-bt=(a-c)t-(b-c)t；

(4)若t<0，則at-bt>(a-c)t-(b-c)t.

衍化7設a>b>c>0,t>0且t≠1，則

ta-tb>ta-c-tb-c.

師生探究：設f(x)=tx(x>0),t>0且t≠1，∵f′(x)=tx·ln t，令k(x)=f′(x)=tx·ln t，∵k′(x)=tx·(ln t)2>0恒成立，∴f′(x)在(0,+∞)上單調遞增，構造函數g(x)=f(x)-f(x-c),∵g′(x)=f′(x)-f′(x-c)>0,故函數g(x)在(c,+∞)上是增函數，∵a>b>c>0,∴g(a)>g(b)，ta-ta-c>tb-tb-c，即ta-tb>ta-c-tb-c.

教師總結：通過對問題進行多角度、多方面的探索研究，有意識地從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規律，找出問題中所蘊含的事物發展的規律，從而得到更廣泛的新結論，這不僅讓我們體會到了成功的喜悅和創造性工作的快樂，更增強了我們探求未知世界的信心和勇氣.

4.課后反思

以問題為中心的課堂教學是目前數學教學創新的一個熱門話題，數學問題的本質是思維活動，思維過程中最富有創新的是對問題的探究.高三數學復習課中，引領學生課堂思維和互動的最基本而又最有效的是分析例題.那么，課堂上設置什么例題，如何呈現，如何有效分析，才能引發學生深度思維，是值得教師深思的問題.

4.1轉變觀念，重視課本例題教學

本節課從教材的一道例題出發，關注其特性，并對其衍化，得到更為一般性的結論，這是對教材例題的深化.這種依托教材的挖掘不僅讓學生鞏固了數學思想方法，而且拓寬了學生的知識視野，更可貴的是，這種拓展方式讓學生對新問題、新知識倍感親切，接受自然，這是對教材例題的升華.這種依托教材的“衍化”不僅打通了前后知識間的聯系，更滲透了一種研究問題的思路和方法，這樣的教材“再回首”，就知識層面而言起到了“固本拓新”之效；就應試層面而言，也讓學生切實感受到某些“難題”源于教材，高于教材的特點，從而提高了對教材的重視程度.

時下“一體化教學案”在各地盛行，其優勢有目共睹，但隨著時間的推移，其弊端也顯而易見，甚至在使用時還存在著一些誤區.為增加課堂“容量”，有的學案拋開課本，對課本知識乃至例題不屑一顧，取而代之的是課外例題和練習題，這些補充的例題不僅量多，而且難度偏大，在課堂有限的時間內，師生只能疲于奔命，對例題也是淺嘗輒止，根本沒有探索、總結、推廣提升的過程，其結果是走馬觀花，食多不化，欲速則不達.更有甚者，教學案使用幾年以后，走入了“例題年年講，越講越快；學案年年改，越改越難”的死胡同.

教材中的例題具有很強的基礎性、典型性、示范性和遷移性.誠然，許多重要例題起點低，入口淺，貌似寡然無味，但是他們反映了相關數學理論的本質屬性，蘊含著重要的數學思想方法.若再對它們進行適當的改編、挖掘和拓展，甚至對相關的問題進行有效整合，那么就完全可以達到提高學生思維水平和綜合能力的目的，也正所謂低起點，高落點.高考命題的一個基本原則就是“以考綱為準，以教材為本”，教材是許多高考題的源泉，很多高考題就是教材例題的改編或拓展.加強對教材例題的延伸、遷移研究是數學教師提高專業素養，實施有效教學的最佳途徑和必由之路.

4.2轉變角色，研究問題衍化規律

當我們對數學問題進行系統地探討時，不難發現所有的數學問題都由一個或幾個更基本、更簡單的數學問題發展、變化而得，同時我們還可以發現該問題還可以繼續發展、引申、變化、繁衍出許許多多新的數學問題.我們把數學問題的這樣一個變化、繁衍的過程稱為數學問題的衍化.

問題的產生和發展都是在一個不斷衍化的過程中進行的.每一位數學教師都在不同程度上自覺或不自覺的運用了衍化數學問題的各種手段和方法，以使我們的數學教學更加生動活潑或豐富多彩，從而有效提高數學教學質量.衍化問題教學能幫助學生對形同質異、形異質同的問題進行充分辨析，能讓學生將表面上孤立、支離的知識系統化、網絡化，將所學知識連成線、織成網、鋪成面、圍成體，更能引導學生對數學問題進行多角度、多方位、多層次的演變，建立全方位、立體化的認識，從而培養學生深刻的思維品質，提高探索、創新意識和應變能力.

數學問題衍化的結果，必然產生高不見峰巔的“題山”與煙波浩渺的“題海”，而我們當然不能讓學生在這樣的題山上作漫無目標的攀登，也不能讓我們的學生在題海中隨意浮沉.但是我們又必須給學生以必要的、足夠充分的訓練.解決這一矛盾的方法當然也必然是給學生指引一條攀登題山之道路和駛越題海之航道.為此，教師不僅僅要做“傳道、授業、解惑者”，更應該做問題衍化規律的研究者.我們可以用“串變”的方法將幾個相互關聯的簡單問題串聯成一個較為復雜的問題，用“并變”手段將幾個彼此沒有互相依存的小題“并聯”為一個大題；也能嘗試將問題的條件或結論進行“強化”、“弱化”，實現一般與特殊之間的相互轉化，將其作為推廣命題、引伸結論的探索性手段.

只有這樣，教師才能形成動態的、辯證的、發展的數學教學觀和數學學習觀，保證自己的數學知識結構、方法網絡的多元化，實現高層次的融會貫通，才能有意識地在一些典型例題基礎上進一步引申擴充,挖掘問題的內涵和外延,指導學生對新問題的探討,以激發思維、啟迪智慧、拓寬視野,逐步加深對有關問題的理解,使學生達到分析問題能力的升華,培養學生的知識遷移能力,提高思維能力.

4.3轉變策略，展示探索思維過程

數學不僅僅是告訴，更需要經歷.一方面，教師要鼓勵學生大膽展示自己的想法，讓他們有機會說出思考的困惑，道出心中的疑慮，教師要有能力理解、分析學生的思維，使其思維得到延伸，和學生一起破解思維中的謎團；另一方面教師要敢于展示自己的思維過程，要善于“肢解”知識難點，剖析問題本質，必要時要勇于“四處碰壁”甚至“誤入歧途”.

當前數學教學中，存在著程度不同的掩蓋數學教學思維過程的不良傾向和特征.教師在進行例題教學時，只講正確的方法，總是一猜就中，一選就準，一證就對，一用就靈，而忽視歧路剖析，掩蓋了必要的分析、探索過程；采用題海戰術，形成條件反射.常常羅列若干解題的套路與程式，以便學生“對號入座”與機械模仿，把解題中的思維活動降到盡可能少的程度.這種削弱思維活動的結果，不僅造成了教學質量的低下，而且帶來了學生思維品質的劣化，造成思維的惰性與封閉性.

蘇聯教育家斯托利亞爾說：“數學教學是數學活動的教學”，認為數學教學過程應成為思維活動的展開過程.因此在數學教學中，應當從思維教育的角度出發，將必要的思維過程重現出來，不僅要讓學生掌握一系列抽象的數學結論，更要讓學生掌握數學思維的方法，養成敏捷、獨特、靈活、縝密的良好思維品質.

展示思維過程，應根據數學教育的特點，根據中長期的思維訓練規劃，結合本節課所選例題與教學目的，有意識、有計劃地進行，教師應努力做到：

揭示問題的探索、發現過程；揭示方法的思考、選擇過程；揭示結論的歸納、演繹過程；揭示規律的總結、提煉過程.

數學思維過程是培養學生優秀思維品質的運動場，我們總是在曲折中求得簡捷，在運用中變得靈活，在疏漏后學會縝密，在思考中學會思考.簡潔流暢的思維過程不僅是對知識間和諧結構的揭示，更是對其所蘊含思想的發掘.因此，在教學中，應當盡可能多地給學生提供觀察、嘗試、操作、練習、猜想、驗證、總結等方面的素材,為學生創造思考的機會,使結論的獲得有曲折的過程與發現色彩.

4.4轉變方法，提高例題復習效益

4.4.1設置陷阱，吃塹長智

“吃一塹，長一智”.復習中針對學生的突出問題，選擇適當的例題，在容易出錯的節骨眼上，設置陷阱，先讓學生陷進去，再引導學生在“自查自糾”中掙扎出來，這樣，學生有了“陷阱”滋味的體驗，必然對陷阱的防御能力有所增強.

4.4.2縱橫聯系，融會貫通

新授課時，學生往往難以突破例題中所蘊含知識的局限，相對孤立的思考問題，因此，怎樣使學生把握問題的整體框架，形成合理的數學智能結構，融會貫通的理解例題中所蘊含的數學知識和思想方法是復習課的重要任務.實踐表明，建立一個以典型例題為中心的知識網絡,采用縱向聯系加深知識，橫向聯系發展能力的做法，往往是完成這一任務的捷徑.

4.4.3一題多解，優化思維

一題多解是例題教學中廣泛采用的一種方法.對同一個問題，由于切入點不同，思維層次不同等原因呈現出風格各異的不同解法.不拘泥于第一直覺的解答，積極思索是否存在更能反映問題本質的簡捷解法，對優化學生的思維品質，訓練學生多角度觀察和處理數學問題，發現解題思路，選擇簡捷解題途徑，具有不可低估的作用.

4.4.4提煉通法，多題歸一

數學問題紛繁復雜，數學方法變化多端，任何問題總有具體的方法解決.反之，任何一種數學方法總對一類問題具有通用效能，對這類問題而言它就是通法.復習中通過這一道例題的解決，反思題目實質，聯想“形異質同”的問題并進行歸類，總結通解通法并提煉這種通法，達到會解一類題的目的，不僅能提高學生的解題能力，更能取得舉一反三的多功能效應.

4.4.5合情推廣，金線串珠

復習中將學生所熟知的問題，按從特殊到一般的思維規律，在學生可接受的前提下推廣為一般性結論，很有意義，它能建立以一般結論為中心的放射型思維結構，為解決一般概念下的具體問題提供一個模式，堪稱金線串珠.

課本中的一些經典例題，潛力大，功效多，內涵豐富，韻味無窮.作為教師，我們只有精心鉆研教材，深入挖掘教材中例題的潛在功能，努力創設問題的情境，引導學生去思考、探索，使學生在消化吸收課本經典例題的基礎上，有所發現，有所創新，這樣，就能極大的提高學生學習的主動性、積極性和趣味性，就能充分發揮教材的創造性作用，提高教材例題的教學價值.

[1]周學祁.暴露思維過程是數學教改的重要課題[J].中學數學,1989,6：1-2.

[2]黃仁壽.數學復習課例題教學管見[J].數學通訊，1992,11,4-6.

[3]蔡欣.芻議高三數學專題復習的選題.[J].中學數學教學參考，2014,3,39-40.