一道試題的解法思考與改編

黃永生　楊　丹　吳寶樹

福建省泉州市第七中學　(362000)

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一道試題的解法思考與改編

黃永生楊丹吳寶樹

福建省泉州市第七中學(362000)

函數是高中數學教學的基礎和重點，而函數解析式是函數的三種表示方法中最重要、最常見的一種.有許多函數問題，能否順利解決，往往取決于解析式能否順利求解.本文就一道試題的解法研究，總結了根據求導法則構造函數求解析式的幾種情形，并從題目結構出發，改編了幾道試題.

1.試題呈現

設定義在R上的函數f(x)的導函數是f′(x)，且f′(x)+f(x)=3x2e-x，若f(0)=0，則下列結論正確的是().

(A)f(x)在R上單調遞減

(B)f(x)在R上單調遞增

(C)f(x)在R上有最大值

(D)f(x)在R上有最小值

評析:本題的難點在于如何求出函數f(x)的解析式，突破口在于采用構造法.根據求導法則(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),結合已知等式f′(x)+f(x)=3x2e-x,令u(x)=ex，從而構造函數g(x)=exf(x),順利完成試題的解答.

2.解法思考

3.試題的改編

改編1設定義在R上的函數f(x)的導函數是f′(x)，且f′(x)-f(x)=2xex，若f(0)=0，則下列結論正確的是().

(A)f(x)在R上單調遞減

(B)f(x)在R上單調遞增

(C)f(x)在R上有最大值

(D)f(x)在R上有最小值

改編2設定義在R上的函數f(x)的導函數是f′(x)，且f(x)f′(x)=e2x，若f(0)=-1，則下列結論正確的是().

(A)f(x)在R上單調遞減

(B)f(x)在R上單調遞增

(C)f(x)在R上有最大值

(D)f(x)在R上有最小值

(A)f(x)有最大值無最小值

(B)f(x)有最小值無最大值

(C)f(x)無最大值也無最小值

(D)f(x)有最大值也有最小值

[1]黃永生,楊丹.一道試題的解法思考與改編[J].福建中學數學.2015(10):14-15.