一道以圓為背景的高三聯考試題的探究歷程

劉　剛　趙　毅

北京市第十二中學高中部　(100071)

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一道以圓為背景的高三聯考試題的探究歷程

劉剛趙毅

北京市第十二中學高中部(100071)

1.試題

2016年東三省三校高三第一聯合模擬考試，理23題(選修4 - 4：坐標系與參數方程)

(1)求直線l和圓C的極坐標方程；

極坐標與參數方程是每年高考、聯考等重要考試的必考內容，通常以直線、圓為背景進行考查．試題考查了直線、圓的極坐標方程與參數方程、線段比例式乘積為最值的問題，考查了數形結合、轉化等數學思想及坐標法的運用，檢驗了運算求解及分析問題與解決問題的能力．試題解法多樣，綜合性強，能發散、拓展，是復習備考不可或缺的一道好題．

2.解法探究

解:(1) 直線l的極坐標方程分別是ρsinθ=8．圓C的普通方程分別是x2+(y-2)2=4，所以圓C的極坐標方程是ρ=4sinθ．

點評：解法借助極坐標表示出了所求線段的長，從而使問題得以解決．在解題過程中，遇到從一點出發的幾條線段長度的問題都可以借助極坐標解決．

圖1

點評:坐標法是解決解析幾何問題的基本方法．解法通過設而不求，利用韋達定理進行求解．

點評:解法借助基本不等式對所求代數式中的分子、分母分別進行放縮，恰好某一時刻使分子達到最大值、分母達到最小值，從而使問題得以解決．

圖2

點評:解法立足圖形，挖掘圖形特點，構造三角形相似，使所求代數式轉化為相似比的平方進行求解．

3.推廣

由特殊到一般，將問題推廣，可以得到以下結論．

圖3

圖4

圖5

圖6

[1]劉剛，趙毅．一道高考解三角形試題的多解與感悟[J]．中學數學研究(江西)，2016，6．

[2]劉剛，趙毅．一道高考導數試題的剖析與思考[J]．中小學數學，2016，1-2．