例談數學解題要“適法”

蘭詩全

福建省古田縣第一中學　(352200)

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例談數學解題要“適法”

蘭詩全

福建省古田縣第一中學(352200)

通法，就是在解決問題(通常是某類問題)中具有普遍意義的方法．這種方法通常是以基礎知識為依據，以基本方法為技能，它的解法思想合乎一般的思維規律，其具體操作過程必須為全體學生所掌握．

巧法，著眼于提高．巧法的靈魂在于“巧”，即在于它整體地把握問題，靈活地運用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發散、合情推理的產物．巧法中的“關鍵一著”有不少不屬于學習內容的主體，更有不少是一般學生不易掌握的，加之“巧”便意味著運用面相對過窄，影響面小，所以教學中教師必須慎用．

適法，重在實用．適法的核心在于“適”，是具備實用性、針對性、靈活性、深刻性、本質性的方法，是扎實數學功力的重要體現．所以師生在解題中必須立足通法，兼顧巧法，重在適法．

1.此法雖為通法但不是“適法”

例1設函數f(x)=logax.

(Ⅰ)若f(4)+f(2)=3，求a的值；

(Ⅱ)若f(2a)

解法1：(Ⅰ)(Ⅱ)略.

(1)m=0時，g(t)=-t+2在[-3,1]上單調遞減,∴g(t)min=g(1)=-1+2=1≥0,∴m=0滿足條件.

解法1是一權威考試卷中的標準答案．筆者認為以上方法雖為通法，但不為“適法”．這種解法有點機械，顯得“笨手笨腳、呆頭呆腦”，達不到解題應有的目的．

(mlog2x-1)=(log2x-2)(mlog2x-1)=

解法2簡捷明了，能針對本題特點，給人“且做且思”、“靈秀專業”之感，反映了思維的敏捷性、針對性、深刻性，應稱為“適法”．

2.此法堪稱“巧法”但不為“適法”

例2一位教師在不等式證明例題教學中，引用下面例子，并展開師生對話．

生：因為不等式兩邊均為無理式，因此可在兩邊平方……

師(打斷學生說法)：如果平方展開，那是多大的工作量啊！這將是十分繁瑣的！難道有根號就一定要平方嗎？這是一種思維定勢！而這種思維定勢有可能將我們引入歧途，使問題復雜化．若突破這個定勢，將使我們豁然開朗，還有其他方法嗎？

學生顯然沒有足夠的思想準備，一時找不到合適的方法，保持沉默．

師：不等式屬a+b>c結構，與什么結論很相似？

生：三角形兩邊之和大于第三邊．

師：很好！那么根號下的x2+xy+y2與什么公式有密切聯系？

學生說法不一，有學生說距離公式，有學生說是圓錐曲線方程，有人說是余弦定理．

師：由不等式的結構可聯想到三角形中的余弦定理，因此可構造三角形求解，即過O作三條線段OA,OB,OC，使它們兩兩夾角為120°，并且長度分別是x、y、z，利用余弦定理，結合△ABC中兩邊之和大于第三邊可證．

在學生的一片驚嘆聲中，進入下一個問題的講解……

這種解法曾一度被認為是“好法”，被大量引用．筆者認為，這種解法既牽強又附會，學生會驚呼數學真的好難，感嘆數學的神秘，數學方法的神奇，感到數學真的不容易學，甚至打擊一些同學學習數學的信心．其實，化“無理”為“有理”是解決無理問題的常規思路，而平方法是處理問題的常用手段．

這里平方法并非授課教師所說的“十分繁瑣”，實為本題“適法”．

證明：左式2=x2+xy+2y2+yz+z2+

平方以后進行了簡單的放縮法處理，思路清晰，簡捷明了．

3.解題應在通巧法中探求“適法”

解題的核心目的是培養學生思維的敏捷性、靈活性、深刻性、本質性．過分“通法”，不利培養解題能力；過分“巧法”，無法提高解題能力；解題要力求“適法”，這才是提高解題能力的根本大法．

例3關于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,給出下列四個命題：

(1)存在實數k,使得方程恰有2個不同的實根．

(2)存在實數k,使得方程恰有4個不同的實根．

(3)存在實數k,使得方程恰有5個不同的實根．

(4)存在實數k,使得方程恰有8個不同的實根．

其中假命題的個數是().

(A)0( B)1(C)2(D)3

簡解：原方程整理為|x2-1|2-|x2-1|+k=0,設t=|x2-1|(1)，則已知方程化為t2-t+k=0(2)，問題轉化為方程(2)有多少個根及根是否在(0，1)內，再判斷關于x的方程(1)的根個數問題．

例如當k=0,得x2=2或x2=1或x2=0，滿足命題(3)，選(A).

以上原方程為四次且含絕對值的方程，直接研究困難大．通過換元化為兩基本方程，此換元將問題簡單化、基本化，是“好法”，也是“適法”，值得深思悟透．

以下習題將有助于練習用“適法”解好題，讀者不妨一試．

4.已知函數f(x)=x2-2asin(cosx)+a2( a為常數)，若方程f(x)=0有唯一解，求實數a的值．

5.設集合A={(x,y)|xcosθ+ysinθ=1,θ∈R}，全集U={(x,y)|x,y∈R}，求集合uA對應的圖形面積．

[1]蘭詩全.有效課堂教學宜機智把握的“四個關鍵點”[J]. 中小學數學(高中版)，2011.7.

[2]徐樹成.新課程理念下數學課堂實踐的反思[J].中學數學月刊，2005.7.

[3]陳兆華.新課程理念下“教學設計”的有效性問題與思考[J].中學數學月刊，2009.6.