橫看成嶺側成峰，透過現象看本質
——談問題切入點選擇

陳國春

江蘇省濱海中學　(224500)

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橫看成嶺側成峰，透過現象看本質
——談問題切入點選擇

陳國春

江蘇省濱海中學(224500)

在平時的學習和考試中，在所難免會遇到一些有難度的題目.很多學生都會提出一個問題：遇到一些比較陌生的題目時，不知道解決問題的突破口和切入點在什么地方，頭腦一片空白；或者可能會有一些想法，但因為切入點選擇的不合理，導致解題繁瑣，從而失去解題的信心.本文筆者通過分析一道經典的調研試題的切入點去說明遇到一個數學問題時，我們如何去分析問題，如何去尋找解決問題的突破口和切入點.

一、題目再現

在ΔABC中，G為ΔABC的重心，且AG⊥BG,則sinC的最大值為．

這是鹽城市高三的一道調研試題.考試過后，筆者所任教班級里的學生普遍反映：題目比較陌生，信息量很少，不知道切入點在哪，很茫然.可事實是否真的如學生所說呢？下面筆者給出解決此問題的幾個切入點，供大家參考指正.

首先題目中有一個垂直的條件比較熟悉，而我們對于垂直這一條件又有哪些常見的處理方法呢？

二、橫看成嶺(切入點一)

圖1

根據垂直的條件AG⊥BG.根據AG⊥BG這一條件，我們很容易想到建系，將幾何問題代數化去解決.建立如圖1所示的平面直角坐標系.設A(0,a)，B(b,0)，因為G為重心，易得C點坐標為(-b,-a).

在建系的前提下，我們又可以嘗試以下兩種方法：

方法1：利用余弦定理和基本不等式可知

點評：這兩種方法本質上都是建系尋找到點的坐標之間的關系(本質上是三邊之間的關系)，然后利用余弦定理和基本不等式解決問題.

事實上我們還可以通過以下兩種方法去尋找到三邊之間的關系.

方法3：在直角ΔAGB、ΔAGE、ΔBGD、ΔDGE中，分別利用勾股定理易得BC2+AC2=5AB2,再用余弦定理和基本不等式易得結果.

從上面這些方法我們可以發(fā)現，抓住垂直這一條件，結合平時處理垂直的常用手法，可以從多個方向進行突破.

題目中還有另外一個條件：G為ΔABC的重心，我們能不能從這一條件入手解決問題呢？筆者經過思考整理形成如下的解法：

三、側看成峰(切入點二)

圖2

G為ΔABC的重心.

所以2(a2+b2)=c2+(3c)2=10c2，再用余弦定理和基本不等式即可得到.

有句話說得好：沒有無緣無故的愛，也沒有無緣無故的恨.題目中給出的條件也一樣.G為ΔABC的重心和AG⊥BG這兩個條件也不應該是孤立的條件.

四、透過現象、尋求本質(切入點三)

G為ΔABC的重心和AG⊥BG合二為一.

圖3

我們知道對于重心還有一個比較重要的幾何性質：OG∶GC=1∶2.

將AG⊥BG這一條件和圓中的知識聯系起來就有了如下的幾何方法：

如圖3所示：不妨設小圓和大圓的半徑分別為1和2，點C為大圓上一點，連接OC交小圓于點G,則ΔABC即為滿足題意的三角形.題目即轉化為點C在圓上運動時，要使角C最大，由著名的米勒定理可知：當過點A，B的圓與點C的軌跡即大圓相切時，角C最大.

圖4

點評：橫看成嶺側成峰，透過現象看本質，形成探究意識，培養(yǎng)探究能力.

五、反思總結

通過上面這些解決問題的切入點和方法的選擇，我們發(fā)現在平時的教學中應該鼓勵學生多從條件入手，結合常見的處理方法認真分析條件，努力尋找問題的突破口.我們教者更應該反思：為什么學生在處理問題時沒有能夠合理的從上面這些切入點去解決問題，這與我們平時的教學滲透肯定是分不開的.因此我們在平時的教學過程中應該注重數學綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重學生分析問題解決問題能力的提高，不能單純的就題論題.

筆者結合自己平時教學之后的反思給出下面兩道題供讀者參考，并共同思考在平時的教學過程中如何去培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的綜合數學素養(yǎng).

題目1(2016蘇北四市一調研11題)已知

(建議：從建系，取模平方，向量加法的幾何意義，三角不等式的向量形式，函數與方程等切入點分別考慮都可以解決此題)

圖5

k1=λk2，求λ的取值范圍.