一道幾何競賽題在圓錐曲線中的推廣

張留杰　王小平

北京市陳經綸中學　(100020)

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一道幾何競賽題在圓錐曲線中的推廣

張留杰王小平

北京市陳經綸中學(100020)

圖1

題目如圖1，A為⊙O外一點，過點A作⊙O的割線l與⊙O交于點B，C，B′為點B關于OA的對稱點．證明：OA與CB′的交點位置與直線l的選擇無關．

這是第58屆白俄羅斯數學奧林匹克競賽的一道平面幾何題，問題結構雖然簡單，但是內涵十分豐富，尤其是將其推廣到圓錐曲線，能充分揭示圖中幾何元素之間的內在聯系，體現有心圓錐曲線的一類定值與定點問題．

將圓壓縮為橢圓，可得

圖2

如果將橢圓改為雙曲線，利用參數法，同理可證此結論也是正確的；如果點A在y軸上，可得|OM|·|OA|=b2，點M的位置依然和直線l的選擇無關．

所以可得如下結論：

結論1已知中心在原點的有心圓錐曲線W，點A為曲線外x軸(y軸)上的一點，過A作曲線W的割線l，與曲線W交于點B、C，點B關于x軸(y軸)的對稱點為B′，連結CB′與x軸(y軸)交于點M，則點M的位置與直線l的選擇無關．

根據推廣1，不難發現只要點A確定，點M就隨之唯一確定，點M和點A的這種對應關系中是否蘊含其它幾何特征呢？根據直線l的任意性，借助信息技術手段，我們發現當直線l運動為橢圓的切線時，點M恰好與過點A所引的兩條切線的切點共線．

于是得出

圖3

若將橢圓改為雙曲線，同理可證此結論也是正確的．于是可得

結論2已知中心在原點的有心圓錐曲線W，點A為曲線外x軸(y軸)上的一點，過A作曲線W的割線l，與W交于點B、C，點B關于x軸(y軸)的對稱點為B′，連結CB′與x軸(y軸)交于點M，過點A作直線l1⊥x軸(y軸)，點P為l1上的任意一點，過點P作曲線W的兩條切線為PD，PE，切點分別為D，E，則點D，M，E三點共線．

通過壓縮變換將圓中有關問題推廣到橢圓中，然后再推廣到雙曲線中，得到更有價值和意義的新問題，是我們研究幾何問題的一條途徑，也是探究有心圓錐曲線性質的一種常用方法．