撓性空間機械臂偽速率增量反饋控制

曾祥鑫，李　偉，郭繼峰，崔乃剛

（哈爾濱工業大學，哈爾濱150001）

撓性空間機械臂偽速率增量反饋控制

曾祥鑫，李偉，郭繼峰，崔乃剛

（哈爾濱工業大學，哈爾濱150001）

針對空間機械臂平臺中撓性機械臂與平臺的耦合情況，采用偽速率反饋控制方法對機械臂平臺的姿態控制系統進行設計和分析，使機械臂平臺的姿態控制系統滿足穩定性、控制精度等性能，并采用描述函數法對所設計的姿態控制系統進行穩定性分析。

偽速率反饋控制；穩定性；控制精度；描述函數

偽速率反饋控制器是一個脈沖調制器，其輸出脈沖的寬度和相鄰脈沖的間隔時間隨輸入信號（姿態角）而變化。由于其數學模型可近似用線性關系描述，因而這是一種準線性噴氣控制器[1-2]。

偽速率脈沖調制噴氣控制方案是撓性飛行器姿態控制系統經常用到的方案，并在許多衛星上成功應用[3]。國內外很早就對如何提高控制系統的性能進行研究，例如我國的“東方紅三號”衛星就是采用了偽速率脈沖調制噴氣控制方案。本文在原有的偽速率脈沖調制控制的基礎上，采用帶有角速度反饋控制，使控制系統具有更好的精度和穩定性，而在分析這類非線性控制系統的方法中，描述函數法是較為有效的方法之一[4]。

在分析非線性系統時，描述函數作為一種古典的頻域方法，具有許多優點，其基本思想是以線性“等價”來逼近非線性控制系統中的非線性部件，并應用頻域方法來分析所得到的系統[5]。

1　系統描述

在保證系統基本性能的情況下，對系統進行合理的簡化，撓性航天器的單軸動力學模型[6]：

式

（1）、（2）中：θ為機械臂姿態角向量；I為機械臂平臺的轉動慣量；D為剛性平臺與撓性機械臂之間的耦合矩陣；η為撓性機械臂振動的模態向量；Tc為機械臂平臺的控制力矩；Td為平臺所受的干擾力矩；ζf為撓性機械臂阻尼系數矩陣；ωf為撓性機械臂固定—自由振動頻率矩陣。

空間機械臂平臺姿態控制系統的結構框圖如圖1所示[7]。控制器采用PD控制，脈沖調制器采用偽速率脈沖調制器（PSR），在此控制系統中，非線性環節只有偽速率脈沖調制器部分，其他環節都為線性環節。

圖1　機械臂平臺姿態控制系統結構框圖Fig.1 Block diagram of the manipulator platform attitude control system

2　設計方法

2.1非線性脈沖調制器設計

偽速率調制器是一種強非線性環節[8-9]，見圖2，其閥值θD，滯寬hθD及KF、TF等參數的選擇直接影響系統的性能，一般取KF=1進行設計，噴氣發動機點火脈寬最小值是Pmin，有：

圖2　偽速率脈沖調制器Fig.2 Pseudo-rate pulse modulator

可根據控制系統要求精度設計θD和h，根據發動機特性中，單臺發動機連續最短開機時間為Pmin，此時則由可知可求得參數TK。

2.2描述函數分析

如圖3所示，考慮非線性部分的幅值為A頻率為ω的正弦輸入，即。雖然非線性部分的輸出w(t)一般不是正弦的，但通常是周期的。如果非線性函數 f(x)是單值的，那么輸出總是周期的，因為輸出是。利用傅里葉級數，周期函數w(t)可以展開為[10]：

圖3　非線性元件及其描述函數表示Fig.3 Nonlinear element and its describing function

傅里葉系數an和bn一般是A和ω的函數并且由下式確定：

由非線性系統限制條件可知，非線性環節的輸入和輸出是奇對稱的，可得到a0=0。由限制條件，只要考慮基波分量w1(t)，即：

式（8）意味著對應于正弦輸入，輸出的基波分量是相同頻率的正弦函數。若用復數表示，這個正弦函數可以寫成w1(t)=Mej(ωt+φ)=(b1+ja1)ejωt。

類似于頻率響應函數的概念（系統的正弦輸入和正弦輸出在頻域上的比），可將非線性部分的描述函數定義為用復數表示的輸出的基波分量和正弦輸入的比，即：

用描述函數表示系統的非線性元件后，當存在正弦輸入時，非線性單元可看作頻率響應函數為N(A,ω)的線性元素[11]，如圖3所示。因此，描述函數的概念可以看作頻率響應函數的擴展。對于頻率響應函數為H(jω)的線性系統，容易證明其描述函數不依賴于輸入的增益。但是非線性部分的描述函數與線性系統的描述函數不同，它依賴于輸入的幅值A。因此，像圖3那樣表示非線性部分也稱為擬線性化[12]。

2.3帶有撓性機械臂平臺姿態控制器設計

僅由線性角度反饋及偽速率脈沖調制器所構成的噴氣控制系統的控制效果并不理想，進而可采用比例加微分校正，這樣可以使噴氣姿態控制系統增加了一定的阻尼，使系統具有足夠的穩定性。

空間機械臂平臺姿態噴氣姿態控制系統結構如圖4所示，其中比例系數為1。

圖4　采用偽速率脈沖調制器的單軸噴氣姿態控制系統框圖Fig.4 Block diagram of uniaxial jet attitude control system using pseudo-rate pulse modulator

偽速率控制器是由一個斯密特觸發器和一個一階慣性環節通過負反饋方式連接實現的。控制器的輸出以脈沖方式工作，在tN時間段內，脈沖輸出幅值為±1，在tF時間段內無脈沖輸出，脈沖周期Tp=tN+tF。

圖5表示出了正脈沖情況的特性。

圖5　偽速率控制器的工作特性Fig.5 Operating characteristics of pseudo-rate controller

設慣性環節的輸出為θF(t)，它是偽速率控制器環節的輸出u(t)呈單調指數函數關系。設斯密特觸發器的輸入信號為ε(t)=θr(t)-θ(t)-E(t)。

3　控制系統分析與仿真

3.1控制系統穩定性分析

在考慮一階模態情況下，撓性機械臂平臺姿態控制系統的控制器設計框圖如圖6所示，其中，GN(s)為偽速率脈沖調制器的描述函數，可以證明，在緩變信號的作用下，偽速率脈沖調制可以近似為一個線性環節[12]，一般取KF=1，此時有

圖6　撓性機械臂平臺姿態控制系統設計框圖Fig.6 Block diagram of attitude control system for flexible manipulator

以俯仰通道為例分析控制系統穩定性，取俯仰軸的轉動慣量 Iz=130kg/m2，推力 F=10 N，力臂L=0.305 m ，則 力 矩 Tc=3.05 N?m ，TK=0.17，Kd=1.8，考慮一階模態時 ξf=0.02，ωf=14.097，d=b/Iz，b=3.132 22，整理的系統的閉環傳遞函數為：

系統的特征方程為：

其勞思表如表1所示。表1中第1列系數計算值全都是正數，閉環控制系統穩定。

表1　勞斯表Tab.1 Routh table

特征方程的特征根為：

此時，系統閉環極點（特征根）全都具有負實部，它們全部分布在[s]平面的左半部，故此時系統是穩定的。

系統開環傳遞函數為：

開環系統Bode圖如圖7所示。

圖7　開環傳遞函數Bode圖Fig.7 Bode plot of the open-loop transfer function

3.2仿真分析

控制器參數：選擇繼電控制器的繼電死區θd=0.3°，斯密特觸發器滯環參數h=0.1，慣性環節時間常數TF=0.17 s，慣性環節放大系數KF=1°，角速度反饋系數Kd=1.2。

初始條件：分別給定初始俯仰角、初始偏航角和初始滾轉角為0°，初始俯仰角速度、初始偏航角速度和初始滾轉角速度為0(°)/s，在仿真開始時刻分別給定三通道5°的階躍指令信號。

仿真結果如圖8～12所示，其中前4階模態振型如圖9所示。

圖8　姿態角響應曲線Fig.8 Curve of attitude angle response

圖9　模態坐標變化曲線Fig.9 Curve of modal coordinates

圖10　俯仰通道相平面曲線Fig.10 Curve of pitch channel phase plane

圖11　偏航通道相平面曲線Fig.11 Curve of yaw channel phase plane

圖12　滾轉通道相平面曲線Fig.12 Curve of roll channel phase plane

由仿真結果可以看出，同時給定三通道控制指令時，機械臂平臺三通道都大約在5 s左右運動到達5°位置，并在7 s左右達到穩定，穩定誤差在0.3°以內，三通道相平面曲線可以看出3個姿態角由初始狀態0°收斂到5°附近，俯仰角速度穩定在0(°)/s附近，穩定誤差達到預定范圍之內。姿態控制都能較好的跟蹤指令信號并最終穩定在精度范圍之內，相平面曲線最終收斂到點(5,0)附近。

4　結論

對于帶有撓性機械臂的空間機械臂平臺噴氣姿態控制系統，采用帶有角速度反饋的偽速率反饋控制對平臺姿態控制系統進行設計，并采用描述函數方法對所設計的姿態控制系統進行穩定性分析，結果表明所設計的姿態控制系統穩定，并通過仿真分析可以看出控制系統穩定誤差在0.3°以內。

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Analysis of Pseudo-Rate Incremental Feedback Control for Flexible Space Manipulator

ZENG Xiangxin,LI Wei,GUO Jifeng,CUI Naigang
（Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China）

For the coupling of flexible manipulator and platform in the space manipulator platform,a pseudo-rate feedback control method was used to design and analyze the attitude control system of manipulator platform,as well satisfying its performance such as stability,control accuracy.And the describing function method was used to analyze the stability of the attitude control system.

pseudo-rate;stability;control accuracy;describing function

TP241

A

1673-1522（2016）01-0022-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.01.005

2015-08-23；

2015-12-15

曾祥鑫（1988-），男，博士生。