巧妙建構模型加深數學理解

潘麗（松溪縣實驗小學，福建松溪353500）

巧妙建構模型加深數學理解

潘麗
（松溪縣實驗小學，福建松溪353500）

模型思想是新版數學課程標準提出的10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念。數學教學中，教師應充分重視滲透模型化思想，利用合適的素材幫助學生建立并把握有關數學模型，發展“模型思想”，促進學生在數學上獲得更好的發展。

模型思想；建模

模型思想是《義務教育數學課程標準（2011年版）》新增的核心概念，也是10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念。數學教學中應當引導學生感悟建模過程，發展“模型思想”，為學生的終身學習，可持續發展奠定基礎。

那么，如何發展學生的模型思想呢？

一、選擇合適的問題情境是建模的土壤［1］

數學模型的建立要以具體問題為載體，選擇的問題情境要典型、有代表性，充分反映學生對學習的主觀愿望，能激發學生的學習興趣，喚起學生對知識的渴望和追求。教師要積極創設有效的利于建模的問題情境。在教學北師大版四年級上冊《路程、時間與速度》一課的導入環節時，一位教師進行了如下處理。

1.第一場比賽

師：咱們班有三位同學為“誰跑得快”的問題而爭論不休，于是他們三人比了一場，請看比賽結果。

師：你們看到了哪些數學信息？你是怎么想的？

生1：他們都跑了50米。

生2：陳紹緯跑得最快，因為他只用了8秒。

師：如果路程相同，比快慢可以比時間。

2.第二場比賽

師：我也加入了他們的比賽，請看

生3：還是陳紹緯跑得快。

生4：（迫不及待地搶答）雖然你們都是跑了8秒，可是他跑了50米，你才跑了48米。

師：如果用的時間相同，比快慢可以看——

生：（異口同聲地）路程。

3.第三場比賽

生5：我發現李老師和張鋮比賽，時間和路程都不相同，這怎么比啊？

生6：把他們也變成時間一樣或路程相同就行了。如果他們都跑了80秒，該教師跑了48×10=480（米），張鋮跑了50×8=400（米），480＞400，所以李老師跑得快。

生7：不用那么麻煩，直接比速度。

李老師：48÷8=6（米）

張鋮：50÷10=5（米）

師：6米表示什么？5米呢？

生7：表示他們1秒跑多遠。

師：根據這位同學列出的算式，你能解讀剛才他說的速度的含義嗎？

……

以上“誰跑得快”的問題情境的設計是基于學生已有經驗的。李老師巧妙地將不同特點的數據蘊涵于情境之中，鼓勵學生在開放的數學活動中運用經驗從多種角度思考問題的解決方法。不僅讓學生真切地體會到跑的快慢時間、路程有關，更使學生感受到了路程、時間都不相同時，速度產生的必要性。問題的選擇富有生活氣息，符合學生的興趣愛好和年齡特征，使他們全身心地投入到學習中，自然導入了“速度=路程÷時間”模型的學習。

二、抽象本質屬性是建模的關鍵

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數學活動，從具體的表象中抽象出本質特征，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環節。

在教學人教版數學三年級上冊《分數的初步認識》［2］時，為讓學生抽象出分數本質，筆者設計了以下三個環節。

環節一：鋪墊

師（課件出示盤子里裝著一個蛋糕）：羊村長要把一個蛋糕平均分給四只小羊，每只羊可以分到多少蛋糕？

生1：個。

師：真好，你是怎么想到這個分數的？

生1：把一個蛋糕平均分成4份，每只小羊分到其中的一份，就是這個蛋糕的。

師（出示課件）：哪幅圖可以表示剛才分蛋糕的情況？說說你的理由？

環節二：思辨

師（課件出示用布遮住的第二盤蛋糕）：看著這盤蛋糕，你們猜羊村長會怎么分呢？

生2：也是平均分成4份，這樣最公平。

師：這個盤子到底有幾個蛋糕呢？（出示8個蛋糕的集合圖）你能幫村長分一分嗎？（生比劃著分。）

師：每只小羊分到這些蛋糕4份中的一份，也就是這些蛋糕的……

生3：。

師：這次分蛋糕的情況還能用剛才這兩幅圖表示嗎？（出示課件）

生1：我認為不能，這里有8個蛋糕，剛才只有1個蛋糕。

生2：我認為能，這個大長方形表示的是8個蛋糕，把它平均分成四份，每只小羊分到的是其中的一份。

生3：我也認為能。第一次分，大長方形表示一個蛋糕，第二次分，大長方形表示的是8個蛋糕組成一個整體。

師：整體這個詞用得妙！剛才兩次分的過程，無論是一個蛋糕，還是8個蛋糕，只要是把它平均分成4份，其中的1份都是整體的。

環節三：提升

（學生畫圖，展示交流。）

生4：不用這么麻煩，用剛才的圖也能表示12個蛋糕的。

師：這兩幅圖有這么厲害？

生4：是的，大長方形12個蛋糕，把它平均分成4份，其中的1份就是整體的。

生5：16、20、24、40……

師：原來整個圖代表一個整體，不論整體里有幾個蛋糕，只要是把它平均分成4份，其中的1份就是它的。

教師引領學生經歷了“猜測—想象—操作”的過程，學生在不同觀點的碰撞、討論、辨析中，溝通了“一個物體的幾分之一”與“一些物體的幾分之一”的聯系，強化了“整體”意識。剝離掉物體個數等非本質屬性，抽象出分數的本質屬性，建立了幾分之一的直觀模型，實現了建模質的飛躍。

三、浸潤數學思想是建模的靈魂

數學思想是數學教學的精髓，在建模過程中，教師要重視數學思想方法的滲透，讓學生在“潤物細無聲”中體驗和感悟數學思想方法，增加建模的思維厚度。教學人教版二年級上冊第八單元“數學廣角”第一課時《簡單的排列組合》［3］，筆者引導學生運用分類方法進行有效推理。

師：懶羊羊到商店買蛋糕，它挑中了一個香草味的蛋糕，標價是5元。懶羊羊手里有1張5元的紙幣、2張2元的紙幣、5個1元硬幣。請同學們幫懶羊羊想一想，可以怎樣付錢？最多有幾種付錢方案？

（學生交流討論。）

師：指名匯報并將學生的付錢方案填入表格中。

師：找全了嗎？

（學生面露難色不敢肯定。）

師：這樣吧，我們按照每次用的人民幣的種類和張數排列一下，你們再來觀察一下。

（師生一起整理：按順序，依次只付5元、2元和1元的……）

師：現在找全了嗎？

生齊：找全了！

師：為什么這次一下就知道沒有重復和遺漏呢？

生1：因為我們是按照順序將所有可能性一一列舉的。

以上教學注重數學思想方法的滲透，教師先使學生感受到無序的雜亂，然后巧妙地將無序轉化成有序，使學生感受到有序的好處。從無序到有序，學生不僅解決了問題，同時還感受到有序思想的重要性，學生的思維逐漸走向深入。

四、解決一類問題是建模的拓展

用新建立的數學模型來解釋生活現象，解決生活實際中的問題。讓學生體會到數學模型的應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，以此深化模型的內涵，拓展模型的外延。

如：鄭玲玲《抽屜原理》教學片段［4］

師：剛才我們借助抽屜和小球研究了這個原理，有的國家是用鴿子和鴿籠研究的：7只鴿子飛進5個鴿籠，至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿籠？

生1：7÷5=1……2，1+1=2，至少飛進2只鴿子。

師：這里的鴿子相當于什么？鴿籠呢？

生1：這里的鴿子相當于物體，鴿籠相當于抽屜。

師：抽屜原理也被人們形象的稱為鴿籠原理。把鴿籠看作抽屜可以叫鴿籠原理，如果把文具盒看作抽屜，可不可以叫文具盒原理？假如有4個文具盒，5支鉛筆，總有一個文具盒里有幾支鉛筆？

生2：不管怎么放，總有一個文具盒里有2支鉛筆。

師：有口袋嗎？6枚硬幣，4個口袋，不管怎么放，總有一個口袋里有幾枚硬幣？

生3：不管怎么放，總有一個口袋里有2枚硬幣。

師：口袋原理又誕生了，好玩嗎？要按這種叫法，抽屜原理還可以有很多名字。看來，抽屜原理在生活中隨處可見，它其實就是解決該類問題的一種方法，一個模型。在解決問題時關鍵要看清什么是抽屜，什么是要分的物體。現在你能用抽屜原理來解釋為什么課前老師說30位同學中至少有8人在同一個季節里過生日嗎？

生4：把30位同學看作待分的物體，四個季節看作抽屜，30÷4=7……2，7+1=8，30位同學中至少有8人在同一個季節里過生日。

師：你能再來解釋30位同學中至少有3人在同一個月里過生日嗎？

（學生解釋。）

師：我國宋代的學者費袞在《梁溪漫志》一書中就曾運用抽屜原理來批駁過算命。直到十九世紀德國的狄利克雷才把它抽象成抽屜原理。

數學模型來源于生活，還要應用到生活中。教師利用抽屜原理模型解釋鴿籠原理、文具盒原理、口袋原理、生日問題等生活中的問題，讓模型更加豐滿具有生命力，同時，培養了學生分析問題、解決問題的能力，滲透了模型思想。

總之，在小學數學教學中，應充分重視滲透模型化思想，利用合適的素材幫助學生建立并把握有關數學模型。教師要充分認識到模型思想在整個數學學習過程中的價值，通過建模教學，逐步培養學生數學建模的思想方法，促進學生在數學上獲得更好的發展。

［1］楊豫暉.義務教育課程標準（2011年版）案例式解讀小學數學［M］.北京：教育科學出版社，2012.

［2］曹小培.借幾何直觀建分數模型促深透理解［J］.教學月刊，2013（7-8）.

［3］吳正憲.小學數學課堂教學策略——師生互動共同創建有效課堂［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［4］王吉鵬.思想感悟讓數學模型更加豐滿［J］.小學教學設計，2014（4）.

（責任編輯：陳志華）

本文系2014年度福建省基礎教育課程教學研究立項課題“小學數學教學設計理論與實踐研究”（項目編號：MJYKT2014-232）階段性研究成果。