哲學視野下小學數學多元表征變式教學構建及其實證研究

李 靜

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哲學視野下小學數學多元表征變式教學構建及其實證研究

李 靜

（廊坊師范學院數學與信息科學學院，河北廊坊 065000）

多元表征是西方倡導的教與學方式，變式教學是中國傳統數學教學方式．小學數學多元表征與變式教學整合哲學基礎是多元主義與本質主義的融合．實驗研究表明，采用“小學數學多元表征變式教學”策略與措施，利于學生數學認知能力和解決實際問題能力的發展．

小學數學；多元表征；變式教學；實驗研究

數學教學模式或策略的發展，同任何事物的發展一樣，是繼承與改革的發展過程．變式教學是中國傳統數學教學的特色，已形成教師的日常規范教學[1]．利用西方倡導的多元表征，發展中國傳統的數學變式教學，提升學生數學思維和創新能力．以小學數學為例，探討小學數學多元表征變式教學的哲學理論基礎與具體實踐操作，并分析和實證其合理性和科學性．

1 小學數學多元表征變式教學的理論基礎

1.1 多元表征中的多元主義詮釋

表征是被表征對象的一個替代．數學表征是數學理解的一部分，又是數學理解工具（Ball, D. L, 1993）[2]．美國NCTM在2000年《學校數學課程標準與原則》中指出：“不同表征（情景表征、圖表表征、言語表征和符號表征等）將導致不同思維方式（NCTM, 2000）”[3]，它建議學生不僅學會在問題解決過程中選擇、使用與轉化多種數學表征，而且能夠在多種表征之間建立廣泛聯系，促進學生數學思維能力和創新意識發展[4]．為了學生多角度理解，許多學者都建議，在課程教材編寫時應該提供多元表征（Keller & Hirsch, 1998）[5]．由此可見，多元表征數學學習是一種傾向于多元主義學習．

知識學習，需要對材料進行信息解碼和編碼，以此獲得豐富多樣的信息．數學學習活動中，采用文字、數字、背景、圖象、操作和符號等多元表征，實現了由具體直觀到一般抽象、再由一般抽象到思維具體的數學歷程．表征外在形式是多種多樣的，但表征內在實質是相近或相同的．每個學習者的表征外在形式是不一樣的，這取決于每個學習者長期形成的認知風格，有人偏愛直觀思考，有人偏向抽象演繹，等等．在數學學習活動中，學習者基于不同經驗知識背景[6]，作用于學習材料，選擇符合自己的表征方式來呈現材料，由此獲得基于自我體驗的材料意義，提高了學習者的數學思考能力[7]．基于多元表征的數學學習活動，強調學習者認知方式多元化，尊重每個學習者的背景和經驗，強化學習共同體的多向交流，強調對知識的多元化理解，允許學生不恰當理解，表達對材料信息的不同認識和態度，關注學習過程的獨特感受，這充分體現了多元主義學習觀點．但這種多元主義學習，有可能過度地消解結構本質內容學習．

1.2 變式教學中的本質主義剖析

顧明遠[8]指出，變式教學是在教學中使學生確切掌握概念的重要手段之一，即在教學中用不同形式的直觀材料或事例闡明事物的本質屬性，從而對一事物形成科學概念．顧泠沅等[9]指出，中國數學教師的變式教學，可以促進數學概念掌握，也可以促進數學活動經驗增長，提高學生思維品質．由此可見，變式教學是一種傾向于本質主義學習．

變式教學在基本知識和基本技能學習方面，有著獨特的功能價值，是一種典型本質主義教學．在數學變式教學過程中，為了利用概念的非本質特征的變式來突顯概念本質特征，可以通過改變一些能混淆概念外延的屬性或改變概念外延來獲得對所學概念本質的多角度理解．例如，用直觀或具體變式引入學習方程概念，用非標準其它形式突顯方程概念的本質屬性，用“舉反例”糾正方程概念的不正確理解，等等．還可以通過數學活動操作，對問題涉及到條件和結論等的有層次變式，得到解決問題表征和策略，形成概念的層次理解．例如，教師在“問題變式”中設置程序化方程概念模型來促進方程概念形成，鋪墊層次化問題串來形成方程解題策略方法，采用一題多變（解）或多題一解等設計幫助學生獲得方程問題解決的基本經驗．從中可以看出，變式教學時，事前設定了知識本質，教學只不過圍繞“本質”內核所進行的“削皮”活動，將本質還原為不同要素來學習識別，至于學生個性和差異不是主要的，獲得結果本質成為教學主要目的，這充分體現了本質主義學習觀點．但這種本質主義學習，運用不當，會限制學生數學創新思維發展，會對素質教育產生相當大的消極影響．

可見，作為多元主義傾向的多元表征，需要本質主義的導引；作為本質主義傾向的變式教學，也需要多元主義的支撐．本質主義學習觀與多元主義學習觀的融合，是一種新型生成主義取向，是數學形式化與非形式化統一的實現[10]．所以說，多元表征與變式教學整合有其合理性．對于小學數學教材內容圖文并茂的特點，以及小學生具體直觀形象思維特點，多元表征變式教學的價值和意義更大．

2 小學數學多元表征變式教學的操作模型

2.1 數學概念多元表征的變式

數學概念學習追求一個豐富的概念圖式，便于理解和應用．而對概念涉及到的多元表征進行變式后，就可以很容易達到學習概念的目的，如下所示．

如1/2的理解，變式其線段表征、面積表征、集合表征、言語表征和運算表征等：如，

①線段表征變式：

②面積表征變式：

③集合表征變式：

④運算表征變式：

A、1個梨分給2個人，可以用1÷2表示（二分之一）

B、小明有3元，小兵有6元，小明是小兵的幾倍？表示為3∶6=1/2

C、一個餅分給3個人，每個人吃1/2

（注：每一個表征的變式中，前兩個是肯定變式，后一個是否定變式．）

教師引導學生對1/2不同表征進行變式，形成抽象本質的認識，從概念內涵上啟發學生對1/2意義思考．這樣的概念理解，從深度上為概念鞏固找到了捷徑，培養了學生數學抽象思維能力[11]．

2.2 問題解決多元表征的變式

問題解決需要對問題背景以及問題意義進行分析，運用以往解題模式策略，尋找出解題思路，并做好解題總結回顧．這個過程實質上就是形成問題圖式．而利用多元表征及其變式，可以從多角度出發，把握問題本質，實現解決問題的突破，問題學習達到一個新的層次，如下所示，

如，小學數學課本（人教版）《有關正比例實際問題解決》教學構想．

（1）問題．

汽車行駛的路程和時間如下．

時間/時123456 路程/km80160240320400480

①寫出幾組路程和相對應時間的比，并比較比值大小．說一說這個比值表示什么．

②表中的時間和路程成正比例嗎？為什么？

③畫出坐標圖，并在圖中描出表示路程和相對應時間的點，然后把它們按順序連結起來．并估計一下行駛120 km大約要用多少小時．

（2）問題教學構想．

本問題解決目的應是：以正比例符號表征=(≠0)理解為核心，聯系正比例圖表或圖象表征、數字表征，在各自表征相互轉化中，形成了正比例函數的概念圖式，由此解決實際問題．培養學生分析問題解決問題的策略．

教學過程：主要是各種表征之間的“轉化”．即：表格表征——數字表征（路程與時間之比）——符號表征（=）——圖象表征（直線）．

引導學生活動：

①數字表征變式：

變式1：

變式2：

變式3：

②表格表征變式：

變式1：表格中前3列時間和路程同時擴大1倍后，出現原表格中對應數據，如下表．

時間/時246 路程/km160320480

變式2：因此，原表格同樣可以縮小一半．

時間/時0.511.522.53 路程/km4080120160200240

圍繞正比例關系模式，在不同的表征及其變式中加以體現應用，一方面加深理解正比例函數的各種表征意義，體會各種表征之間的轉化，另一方面形成了相關類型問題的解題思路和方法，感受了數學解決實際問題中多元表征及其變式的作用，體會了數學與生活實際的聯系．

運用該教學思想進行教學設計或教學時須注意，第一，突出數學本質思考，每個知識內容都有一個“核心概念”或“一般算法”，作為學習目標，進行非形式化的“復歸”——多元表征，這是為了更好地把握本質東西——概念或算法．第二，把握課程標準定位，對概念或問題進行多元表征及其變式時，注意其范圍和水平，以此確定建構的廣度和深度．第三，分析教材內容特征，對于準備學習的內容，在教材上，是傾向于事例敘述型，還是言語描述型，抑或實物圖形呈現，教師要糾偏歸全，形成便于學生學習的豐富多元表征．第四，了解學生學習特點，不同學段的小學生喜歡不同類型表征，以此進行適宜表征，來變式教學，教師可以從多元表征中讀懂學生學習心理過程，及時改善教學．第五，開展課堂活動教學，對一個概念原型或問題進行多元表征及其變式，以此為課堂小組活動的“玩具”，吸引學生思考數學，創新屬于自己的數學，達到對“數量關系和空間形式”的深層次理解[12]，可以有效達到新課改要求的數學教學活動水平，由此提高了學生數學認知成績和解決實際問題的能力．

3 小學數學多元表征變式教學的實驗研究

3.1 實驗目的與假設

針對小學生的數學學習特點，有意識地采取“小學數學多元表征變式教學”策略及措施，進而提高學生數學認知成績和解決實際問題能力，以實證該教學的科學性．

3.2 實驗方法與過程

（1）被試選擇．實驗選擇了廊坊市一所重點校的兩個教學班，五年級二班為實驗班，五年級三班為控制班．

（2）實驗類型．采用的是不等控制組前、后測準實驗設計．

（3）自變量．“小學數學多元表征變式教學”的策略及具體措施．

（4）因變量．學生數學思考能力和創新能力的發展，體現為學生的數學認知成績和解決實際問題能力的提高．

（5）對無關變量的控制．實驗班與控制班均由同一數學教師任教；為避免“霍桑效應”的影響，不告知實驗班學生有關實驗情況；為保證測試題質量，對測試題進行了信度和效度檢驗[13]．

（6）前測與后測．2013年8月對實驗班與控制班進行了數學認知水平和解決實際問題能力的測試，以便了解兩班的原有水平．通過近一個學期的試驗，2014年1月對兩班進行了后測，以便與前測進行比較，驗證教學實驗的效果．

3.3 實驗策略與措施

在數學課堂教學過程中，結合課程學習目標，聯系學生的實際水平，針對教學內容，在不同的教學階段采用不同的表征及其變式，保證學生由此學會多元表征及其變式，以利于學生的數學學習．

第一，關于“數學知識引入”．

數學知識學習引入，要借助于新舊知識之間聯系的材料，多采用言語表征與符號表征相結合等方式，用言語表征喚起學生已有知識經驗，并用符號表征復習有關知識內容，以問題變式啟發學生思考，引出所學課題，并激發小學生學習動機．

對于概念學習引入時，在教師的多元表征及其變式導引下，學生學習了概念的多元表征后，形成了概念的抽象認識，為深入理解打下基礎．教師通過具體的實例引入數學概念及其蘊含的思想方法，還要了解學生學習這些思想方法會感到哪些不適，還要針對數學概念內含的基本要素，將內容分解成若干梯度的步子，使得學生在教師設置的有啟發的場景中，積極思考，識別概念例子，體會數學思想，復演人類產生這個數學概念的簡縮過程[14]，生動活潑地探究數學概念的內涵．教師還需注意，在數學概念不同階段選用相應的實物、言語、圖例、符號等表征，促動學生對這些表征間的轉換，以培養學生思維的深刻性．

同樣，在數學技能引入學習時，明確技能訓練目標，尤其是了解訓練操作中的思想方法以及操作表征．教師盡量將操作任務化成問題或問題變式，引起興趣，促動學生運用已學過的知識方法表征這一操作，進而讓學生用言語表征敘述操作中的內涵，要為操作規則內化而進行操作變式．

第二，關于“數學知識理解”．

數學知識理解，對于知識廣度理解應采用言辭表征、直觀表征（操作、實物和圖示）等概念性變式，對于知識深度理解采用具體表征到抽象表征的問題性變式，最后形成學生的符號表征．

對于概念學習理解時，通過鋪設一定的臺階，探究有關概念的外延與內涵的各種概念變式和非概念變式，并對概念意義進行多元表征，做到概念的多角度辨析與概括，構建概念的符號表征體系，明確所學概念與相關概念實質聯系，內化數學概念，靈活應用概念．此階段的變式類型要適量，不要增加學生認知加工負荷，但也要考慮學生實際水平．設置多元表征的問題性變式盡量豐富，有利于學生從中探究概念符號表征的各種類型，進而全息理解概念的實質．

需要注意的是，問題情境引出的多元表征及其變式不易過多．只要能夠突出模型特征，表征類型3~4個就可以了．所用的變式也要控制，以免增加學生認知負荷．多元表征變式只是一個引領方向，一旦打開后，學生思維處于發散和聚合中，外顯活動變成內在思考，其目的也就達到了．

同樣，在數學技能理解學習時，技能的理解到熟練，先通過問題的解答，學會技能的一般步驟，明白技能的每步依據和算理，并會用語言敘述技能的步驟，然后通過一定量的變式練習，直到技能操作自動化．需要注意的是，在技能理解訓練中，程序性技能知識需要變式練習，更需要算法思想或操作規程的指導．

第三，關于“數學知識應用”．

數學知識應用，要注意符號表征間的關系，明確新舊內容之間結構聯系，使得學生將知識內容的心理表征，即所形成的數學關系結構模式，應用于具體問題中．利用所學的多元表征方式方法探究問題空間，能從問題直觀表征概括出抽象表征，得到問題解決的恰當表征與策略，最后利用符號表達出解答過程．

對于數學概念應用時，一方面，利用概念來判斷有關事物的類別和屬性，培養學生判斷分析能力，并形成數學概念的觀念性認識，納入相關概念體系，了解此概念在概念系中的地位和作用．另一方面，讓學生利用數學概念分析解決相關的問題，使得學生在理解題意的過程中，識別數學概念應用的結構模式，即將數學概念符號表征作為操作對象來加工思考，由此發現問題解決的策略模式．教師設置問題串變式，要由簡單到復雜，有層次性和挑戰性，讓學生在訓練中，體會概念的性質，了解過程操作的思想方法．變式探究要有利于學生尋求問題抽象模式表征，而不是形式上的操作，使得學生在多元表征探究問題解決的過程中，發現或創造適宜于自己的解題表征和策略．

對于數學問題解決，其目的是為了理解和運用數學思想方法，發展數學思維能力．解題時，學會識別問題類型，激活相關的記憶．在教師問題變式或學生嘗試表征過程中，師生共同尋找問題解決的線索，找到問題解決的表征和策略，形成了問題解決的模型．為此，教師要利用變式問題來發散學生的思維，促動學生提出問題．鼓勵學生利用不同的表征，言語表征或圖表表征或符號表征，表征問題的結構，形成大的問題空間，在表征轉化上協調和調整最佳表征，完成問題解決的策略優選．最后，對所用的策略和表征進行反思，感受數學思想方法的作用，總結數學問題解決的經驗，形成牢固的數學認知結構．

此外，數學知識學習總結時，教師啟發學生反思課程所涉及的知識技能，以及操作練習過程中的方法策略性知識，加深學生對知識間的聯系和觀念的體悟，進而形成數學思想方法的抽象表征認識．對于學生獲得的解決問題經驗，需要學生反思和拓展，并發展其創新思維．教師布置與當堂課類似問題讓學生對問題進行結構上的變式，或補充條件變更結論，或改變一些條件，或考慮構成該問題的有關元素關系，等等，鼓勵學生表征式分析思考“問題變式，滿足什么條件，才有解？”，以此發散學生數學思維構造能力，訓練學生的思維品質，從而培養學生數學問題解決的元思維．

3.4 實驗結果與分析

數學認知成績及解決實際問題能力測試成績統計及分析（表1—4）．

表1 數學認知成績前測統計表

表2 解決實際問題能力前測統計表

表3 數學認知成績后測統計表

表4 解決實際問題能力后測統計表

由以上表中的數據可知：

（1）實驗班數學認知成績顯著提高．由表1知，實驗班與控制班的數學認知前測平均成績無顯著差異，所以，認為兩班的數學基礎是相同的，而經過一個學期的教學實驗后，由表3可以看出，兩班成績開始拉開了距離，實驗班的數學認知成績明顯高于控制班成績，而且達到顯著性水平．再從表1和表3的標準差變化不大來看，說明實驗班的全體學生的數學認知成績有了整體提高．可見，在實驗中所采取的教學策略與措施，加速了學生的數學認識發展，產生了好的教學效果．

（2）實驗班解決實際問題的能力顯著提高．由表2可以看出，實驗前，實驗班與控制班解決實際問題的能力也基本相同．由表4可知，在實驗結束后，實驗班解決實際問題的能力高于控制班，二者差異達到顯著水平，這說明通過“小學數學多元表征變式教學”的策略和措施，豐富了學生的問題表征及其解題策略，提高他們解決實際問題的能力，即學生數學思考能力和創新能力得到了很大程度的發展．但再從表2和表4的標準差變化較大來看，個別學困生的問題解決成績提高速度不夠理想，需要在數學思維訓練方面加強個別輔導．

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[責任編校：周學智]

Construction and Empirical Analysis of Elementary Mathematics Instruction with Variation Based on Multi-Representations from a Philosophical Perspective

LI Jing

(Mathematics and Information, Langfang Teachers’ College, Hebei Langfang 065000, China)

Multi-representations is a method of teaching and learning advocated by the west. Instruction with variation is a method of traditional Chinese mathematics teaching. Integrating of elementary mathematics multi-representations and instruction with variation follows up the integration of pluralism with essentiality. Experiment study of elementary mathematics instruction with variation based on multi-representations shows that this teaching plays a role on cultivating students ability to mathematics thinking and to practical problem solving.

elementary mathematics; multi-representations; instruction with variation; experiment study

G40-02

A

1004–9894（2016）05–0045–04

2016–04–20

全國教育科學“十一五”規劃教育部重點課題——基于多元表征學習的初中代數變式教學模式研究——“以學論教”改革實驗（GOA107019）

李靜（1966—），男，河北張北人，教授，博士，主要從事數學課程與教學論研究．