一類Kukles型多項式微分系統的極限環

喬建元，水樹良

（浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004）

［數理科學與信息科學研究］

一類Kukles型多項式微分系統的極限環

喬建元，水樹良

（浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004）

考慮一類以圓為不變曲線的Kukles型多項式微分系統。運用一階、二階和三階平均理論，得到了這類系統存在從線性中心分支出極限環最多個數的一個上界。

極限環；Kukles系統；平均理論

實平面微分方程定性理論的一個主要問題是判定極限環的存在性、唯一性、個數和穩定性。對于一般的多項式系統，這些都是非常困難的問題。本文考慮下面的所謂Kukles多項式微分系統：

其中qi，i∈R和A1＞0。當n1∈｛2k，2k-1｝時，得到了從線性中心分支出至多k-2個極限環的結論。運用平均理論，文獻［10-11］討論了較一般的Kukles多項式微分系統極限環的個數問題。本文將討論一類一般的Kukles多項式系統，運用平均理論得到了共存于不變曲線極限環的最多個數的一個上界。

1　預備知識

為了得到周期軌的存在性，本文用到了一階、二階和三階平均理論［12-13］。該法為非自治周期系統和自治平均系統建立起定量的聯系。考慮微分系統：

其中Fj:R×D→R和R:R×D×（-ε0，ε0）→R是連續函數，并且它們的第一個變量是T周期的，D∈R是一個開集。

假設如下的兩個假設1和2成立。

假設1Fj（θ，·）∈C3-j。

其中 j=1，2，3，θ∈R，Fj，R，關于第二個變量滿足局部利普希茨條件，R關于ε是二階可微的。定義Fk，0:D→R，其中k=1，2，3。

假設2V?D是一個有界的開集，對于每一個ε∈（-ε0，ε0）