數學核心素養在“問題—互動”教學中的培育

摘 要

數學核心素養的培育可謂是數學教學的核心與靈魂，“問題-互動”以發現、解決實際問題為導向，在互動交流與合作中集思廣益，培養了學生探究數學奧秘、追求卓越創新的意識與精神，這一教學模式已成為提升學生數學核心素養的有效路徑。本文通過“問題-互動”實踐中的教學案例來說明這一數學教學的優勢所在。

核心素養 問題 互動

數學核心素養涵蓋了數學思維發展、數學方法使用的全過程，是促使個體有效開展理性思維、邏輯推理的數學品質。由此可見，衡量學生數學水平的標準絕不僅是數學知識掌握的多寡或數學成績的高低，而是突破數學這一學科工具束縛后，人們所掌握的數學思維方法與理性精神，因此，對數學核心素養的培育可謂是學科教學的核心與靈魂。在培養與提升學生數學核心素養的過程中，“問題-互動”教學模式的重要性與價值意義逐漸突顯：一方面，數學核心素養培育的要求推動著高中數學教育開展改革探索活動，“問題-互動”教學模式因此有了廣泛應用的可能性，實現了應用價值；另一方面，“問題-互動”教學模式貫穿了學生數學核心素養培育的全過程，使數學課堂教學成為師生之間的特殊交流活動，全面發展學生綜合素質。“問題-互動”以發現、解決實際問題為導向，在互動交流與合作中集思廣益，培養了學生探究數學奧秘、追求卓越創新的意識與精神，這一教學模式已成為提升學生數學核心素養的有效路徑。

一、互動中突出問題導向，創設有利于發展數學核心素養的情境

“問題-互動”教學過程中，問題的提出是引導學生探究數學科學的動力，重視師生互動中問題的導向作用，能有效開發學生數學學習的求異思維與探索精神，進而促使學生主動發現科學規律，達到數學核心素養的培育目標。從這個角度上看，“問題-互動”教學模式與建構主義科學理論的內涵是相契合的。建構主義理論以教育主體為核心，突出教育主體的主動性，通過教育情境的建構，促使教育主體主動探索、挖掘、認識知識的價值與意義。為更好地實現高中學生數學核心素養的實施與培育，可以嘗試在互動中突出問題導向，創設有利于發展數學核心素養的情境。

教學案例一：任意角

問題一（教師）：初中學習了角，實際生活中有比我們初中學過的角更大或更小的嗎？如果有，你能舉出實例嗎？

互動一（生生）：事實上，在實際生活中我們也經常遇到更大范圍內的角，比如：體操、跳水等體育項目中常常聽到轉體1080°這樣的解說，我們可以看到繞著射線端點旋轉三圈；現在時間是上午9∶10，手表指示為9∶00，與現在時間是上午8∶50，手表指示為9∶00，我們校準時間時，最簡捷的方法是：前者順時針旋轉60°，后者逆時針旋轉60°。

問題二（教師）：從以上這些實際情境，你對角有了怎樣的新認識？

互動二（師生、生生）生：角是既有大小又有方向的量，以往我們用正負來表示具有相反意義的量，所以也用正角負角來擴充角的概念。逆時針方向旋轉形成的角我們就把它叫正角、順時針方向旋轉形成的角叫負角。

師：射線可以不旋轉嗎？不旋轉可以形成角嗎？

生：可以，這種情況叫做零角。

【點評1】在高中數學課堂教學實踐中，應結合數學核心素養的內在需求，以問題引導學生參與課堂互動活動。首先，創設階梯式發展的數學問題情境，幫助學生積累數學基礎知識與活動經驗，在了解數學發展過程的同時，培育學生正確應用數學知識的數學核心素養。

問題三（教師）：你能用圖形表示不同的角嗎？請同學們相互給出一些角并且畫出這些角。

互動三（師生、生生）：學生試著畫出下列各角，330°，60°，495°，-150°；教師投影展示學生畫圖，進行點評。

問題四（教師）：這四個角位置各異、方向不定，顯然會給我們研究角帶來不便，能不能將它們統一起來進行研究？

互動四（生生）：借助平面直角坐標做參照系，以角的頂點為坐標原點、角的始邊為x軸非負半軸，建立平面直角坐標系，在平面直角坐標系內討論角，這樣角就統一了。

問題五（教師）：在直角坐標系我們又怎么研究任意角呢？

互動五（生生）：只要研究角的終邊位置，平面上的角按終邊位置可以分成三類：在象限內、在軸上、終邊相同。

【點評2】以“小步距”原則設計階梯式問題，將高中數學知識按照難易程度進行區分，采用逐步深入遞進的方式激發學生探究興趣，提升學生對數學知識的把握，解決數學問題。

問題六（教師）：你能給這些角一個名稱嗎？你們能寫出這些角的一般形式嗎？

互動六（師生、生生）：師生合作給出象限角、軸線角、終邊相同的角概念，進一步探究三種角的一般形式。

【點評3】創設可實踐操作的生活數學問題情境，培養學生自主探索、互動合作與實踐應用的數學核心素養，使學生能夠在生活中積極地應用數學思維解決實際問題。創設既有沖突又有懸念的開放性數學問題情境，拓展學生的數學思維空間。在設置沖突與懸念的過程中，充分利用學生學習數學的好奇心與激情，學生會主動尋找數學科學的規律，在互動思考中得到了啟發、解決了困惑。這種問題導向作用顯著，既鼓勵了學生在數學學習中學會質疑、學會交流，又激發學生的求知欲望，最終培養學生嚴謹的數學思維與創造性的數學品質。

二、互動中突出問題要求，關注教學目標與數學核心素養的融合

全人教育理念指引下的“問題-互動”教學帶給高中數學教育的不僅是教學模式的變革，更是一種課程觀念的變革，即：將數學課程作為生成的、動態的、系統的整體，其課程目標的設置指向兩大準則——促進學生個體成長與素質養成，最終落腳點在于高中學生數學核心素養的培育。因此，“問題-互動”教學立足于數學課程的深度開發，面向社會生活實踐，在問題與互動密切關聯的基礎上，結合高中數學課程的總體目標與具體目標，強調在數學課堂互動過程中突出問題要求，推進數學教學目標與數學核心素養的融合。

教學案例二：函數的單調性

引導學生看蘇教版必修一2.2.1函數的單調性（P37）的氣溫變化圖。

問題一（教師）：從圖中，你們能得到些什么信息呢？

互動一（師生）

生：可以知道最高溫度、最低溫度。

師：你能看出它們達到的時刻嗎？

生：可以知道，我們從圖中還可以知道一些時段溫度的變化情況，有溫度一直升高，也有一直降低的，如果把時段變化一下，溫度就會或高或低。

師：生活中多了解一些數據的變化規律，會給我們的生活帶來很多幫助。

問題二（教師）：還能舉出生活中其他隨時間變化的數據情況嗎？你能發現這些數據的變化規律嗎？

互動二（生生）：水位的高與低、降雨量的大與小、燃油價格的漲與跌、股票行情的變化等，如果用函數觀點看，這些都反映的是當自變量變化時，函數值跟隨著變大或變小。

【點評1】高中數學中增設的數據處理教學目標顯示了信息社會時代大數據蓬勃發展對數學學科教育的現實要求，教學目標的豐富推動了高中生的數學思維與創新意識的發展，有利于實現教學目標與核心素養的融合。結合問題設計的數學思想方法要求，將數學學習目標巧妙融合到問題設置之中，培養學生的數學創造力，使數學思維方法成為學生思考問題、解決問題、處理問題的有效方法，在學生思想中構建崇尚數學的理性精神。結合問題設計的數學能力培養要求，拓展原有教學目標能力培養的限制，極大豐富了學生數學能力培養路徑。

問題三（教師）：我們以前學過的函數有這樣的情況嗎？你能舉出具體的函數嗎？能不能根據自己的理解說說這些函數圖像的特點？

互動三（師生、生生）：分別作出函數y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=的圖像，學生從作出的圖中發現自變量與函數值之間的變化規律，教師引導學生觀察出函數的單調性是對定義域內某個區間而言的性質，它是有局部性的。

【點評2】“問題-互動”教學重視了結合問題設計的數學活動參與要求，將學生進行數學學習的情感、態度、價值觀念與數學教學目標融合，并形成具有實踐意義的數學問題，促使學生能夠立足于課堂在原有的數學基礎上進行新的數學探究活動，開拓學生的數學視野，使學生的數學應用意識與探索精神等核心素養得以建立。

問題四（教師）：怎么判定函數y=x2-（x>0）的單調性？

互動四（師生、生生）：不能通過觀察圖像判斷函數的單調性，需要對函數單調性這一性質引入符號語言；師生共同探究函數單調性符號語言，學生在教師的幫助下準確地用數學符號語言表述出增函數與減函數的定義。

【點評3】“問題-互動”教學突出了由形到數、由特殊到一般、由具體到抽象的數學教學模式特點，強化了學生的思維能力，活躍了課堂氛圍，使學生在探究、思辨、質疑之中具備了獨立鉆研與學習的能力，構建具有批判價值的數學思維與探索精神。在具體實施過程中，應秉持以下問題創設原則：第一，科學設計數學問題，不僅要求問題的設計、創設符合數學知識體系的要求，而且對于問題的描述、解決都應是科學合理的，謹防誤導；第二，針對教學目標設計數學問題，問題應具有明確的目的性，在問題難易程度、數學知識層次上環環相扣，符合高中生的認知要求；第三，問題的設計應以學生為核心，能夠激發學生探究興趣，引導學生參與到數學活動中，才能達到培養學生學科核心素養的要求；第四，采用多種形式設計具有啟發意義的數學問題，鼓勵學生在問題的引導下開展知識的自我建構。

問題五（教師）：能用定義去判定函數y=x2-（x>0）的單調性嗎？

互動五（生生、師生）：應用中總結出定義判斷的步驟與運算技巧。

【點評4】在高中數學課堂互動中，應用構建的新數學概念解決問題時要注意對學生的運算能力這一數學核心素養的培養。結合問題設計的基礎知識與技能訓練要求，幫助學生獲得扎實的數學知識，掌握數學運算能力，達成初級的數學教學目標與核心素養的融合。

三、互動中突出問題主線，處理好教學內容與數學核心素養的關系

“問題-互動”教學的構建重視學生對問題的認識與理解，將互動中的問題主線作為開展數學教學的關鍵環節，以問題主線引領高中數學教學內容，處理好教學內容與數學核心素養之間的關系。宏觀上，高中數學教學內容由必修與選修兩部分組成，注意區分高中數學教學內容中包含的學習層次與核心素養培育要求，以必修內容為主線，突出數學中的核心內容，如：函數、數列、解析幾何等為主線，通過主線去培養學生的數學核心素養。微觀上，每節課的教學互動中突出問題主線，處理好教學中的數學基礎知識、數學實踐應用知識、數學發展知識這三個內容之間的關系，以期培育并提升學生的數學核心素養。

教學案例三：任意角三角函數

問題一（教師）：初中學習銳角三角函數時，是通過直角三角形的邊角關系來定義的，現在把銳角推廣到了任意角，能把銳角三角函數概念推廣到任意角嗎？如果能，怎樣推廣？（要求學生獨立思考或分小組討論）

互動一（生生、師生）

生：我們不能用直角三角形的對邊、鄰邊、斜邊比值研究任意角的三角函數。

師：如何研究呢？

生：已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，可以繼續用直角坐標系來研究任意角的三角函數。

問題二（教師）：很好，請同學們在直角坐標系中重新定義銳角三角函數。

互動二（生生）：師生互動合作（可以學生口述，教師板書與演示）

【點評1】以互動為依托，突出數學基礎知識的問題主線，立足數學教學內容中的知識體系，挖掘數學科學的基礎地位，幫助學生構建基本的數學結構與系統。教學主線是教學內容與每個教學點之間連續不斷的有機互動與有效交融所形成的課堂教學形態，在問題主線的引導下，課堂上的每個教學點之間環環相扣、彼此相連，在融通共生環境下構建它們的意義關系，從而生成完整的意義鏈。

問題三（教師）：P點是任意一點，比值會隨P在終邊上的移動而變化？銳角α大小發生變化時，比值會改變嗎？比值是銳角的函數嗎？（可以小組討論）

互動三（生生）通過小組討論，小組代表匯報交流。

小組1：我們聯系了相似三角形知識，探索發現：P點是任意一點，比值不會隨P在終邊上的移動而變化比值。

小組2：因為P點的任意性，我們在研究過程中，就取r=1并且讓角的終邊繞坐標原點O旋轉，觀察角α在銳角范圍內變化時，三個比值變化的情況。我們發現三個比值是隨角α在銳角范圍內變化而變化。

師：比值是否是角α的函數呢？

生：是的，因為這種變化關系是角α與比值之間的單值對應關系，對于角α在銳角范圍的每一個確定值，三個比值都是唯一確定的，所以，三個比值分別是以角α為自變量、比值為函數值的銳角三角函數。

【點評2】為了更好地突出問題的主線，在“問題-互動”教學的具體實施形式上可以采用分組進行的策略，由4～6名學生構成的學習小組在數學學習程度上應存在差異，小組成員作為教學主體，通過思考、討論、歸納、總結等方式開展問題探究與互動合作，形成自主探究、多元交流的學習氛圍。“問題-互動”教學根據學生認知、身心發展等規律，在課堂教學中每個層級教學點的分布與教學規律之間，以及教學點之間的層次轉換等呈現出梯度最佳的序列，促使課堂教學能圍繞教學內容突出問題主線從個別到一般的有序展開，使得“問題-互動”教學得以拾級而上、前后相連、環環連貫、步步推進、層層相依，形成一個多層級的完整意義鏈。

問題四（教師）：能將銳角的比值情形推廣到任意角α嗎？具體怎么研究？（要求小組討論）

互動四（生生、師生）

小組1：任意角α的終邊所在位置可以分兩類八種情形：終邊分別落在四個象限內與終邊分別落在四個半軸上，我們對這八種情形進行研究。

小組2：我們可以用上面研究問題的手段建立任意角的三角函數，先在角的終邊上任意取一點，分別作出兩坐標軸垂線，再找到角與比值的關系，說明比值是角的函數。

師：比值一定是角的函數嗎？點P取在什么地方與比值有關系嗎？

生：根據函數的定義去驗證。

師：用課件演示學生的結論。

【點評3】問題的提出與互動形式的安排是教學內容的重要環節，也是“問題-互動”教學培育學科核心素養的關鍵所在。根據教學內容與學科核心素養的要求，問題的設計要科學合理，對有些變化的圖像可以通過演示實驗或多媒體展示等教學形式輔助。學習小組深入理解了問題及問題情境的內涵，以此開展研究、分析、解決問題的數學學習過程。問題解決后的學生反思與課堂評價、反饋至關重要，這是培育學生數學核心素養必不可少的步驟，只有經過實踐檢驗、反饋的數學問題才能成為學生自主掌握并理解的數學知識，是促使學生掌握數學思維的重要途徑。主線教學不是教學點的疊加或漂移，而是在教學內容的統領下，建立課堂上每個教學點之間的意義關系，將每個教學點之間連接融合起來，使得前面教學點是后續教學點的基礎，而后續教學點又是前面教學點的發展和延伸。

建構主義理論認為，學生是教學的主體，互動交流協作與問題解決應該貫穿于學生知識學習與意義建構的全過程；“問題-互動”教學中教師要面向全體學生，放棄課堂教學主體的身份，確立學生主體的中心地位，以問題引導互動的發生，構建全新的數學課堂師生關系。問題的引領與互動的交流加深了師生之間的良性交往關系，教師在引導學生實現知識的自我建構過程中，確立并強調問題這一“基點”，使問題成為激發學生數學興趣與建立數學思維的驅動力，教師告別了解答數學問題權威的身份，在師生共同思考、共同探究的基礎上實現師生的共同發展。課堂是民主的、是開放的，是“綠色”的；問題來源于生活、來源于發現探索、來源于互動中生成。在這樣的情境教學中學生關注的不僅僅是數學知識本身，更加關注數學思維方法與理性精神，使學生的學科核心素養得到全面提升。

參考文獻

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[3] 馬云鵬.關于數學核心素養的幾個問題[J].課程·教材·教法，2015（9）.

【責任編輯 郭振玲】