整體把握教材，注重有效銜接

陳莉紅　王淼生

一、小學、初中及高中知識銜接的教學現狀

我國中小學數學教育要求教師在實施教學時要整體把握教材，注重各學段知識的有效銜接。遺憾的是，在實際教學中出現以下現象：各個學段的教師要么抱著“各人自掃門前雪，莫管他人瓦上霜”的態度只管自己這一段，導致小學、初中及高中的教學內容嚴重脫節出現盲區，不利于知識系統性，破壞知識的連貫性；要么抱著“以越位求到位”的心態隨意提前教授高學段知識，超越學生已有認知水平與心理承受能力，挫傷學生學習數學積極性，不利于優化學生數學思維品質。

二、 確定學段邊界，順應思維發展，自然對接

以凸多邊形內角和為例：

求任意凸多邊形內角和，不僅對小學生，甚至對于初中生來說也較為困難。怎么辦？我們可以先探究最簡單的凸多邊形，即三角形，正如著名數學家華羅庚所說：“要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的訣竅。” 那如何求三角形內角和呢？讓我們順著教科書主編意圖一起來回顧吧。

1.三角形內角和

1.1小學測量拼接驗證法

方法1：借助量角器直接測量三個內角的度數，然后相加得到三角形三個內角的和等于180°（這種方法的優點是簡單直接，易于操作，便于理解接受，不足之處在于測量有誤差，學生通過測量得出的結果可能不是180°，易引發學生對結論產生懷疑，教師要適時引導，合理解釋，并用拼接的方法進一步驗證）。

方法2：用一張三角形紙片，把三角形的三個內角剪下來，然后拼在一起，通過觀察發現正好是一個平角，于是得到三角形內角和等于180°。

上述方法1與方法2正是小學生得到三角形內角和等于180°的思維方法與實施過程，符合小學生認知特點，其本質就是通過實驗與操作，初步驗證三角形內角和定理，建立初步的直覺意識，培養學生動手操作，觀察猜想的能力。那么老師可以設問這種驗證的方法能說明任何一個三角形內角和都是180°嗎？要解決這個問題就必須對數學結論給予嚴格證明，這為初中繼續探究與論證指明了方向，埋下了伏筆，這就是小學階段這一知識的邊界。

1.2初中幾何論證法

方法3：過三角形任意一頂點作對邊的平行線，有三種作法如圖1、圖2、圖3所示，利用平行線性質定理即可證得三角形內角和為180°。

方法4：在三角形某條邊上任取一點（不含端點）分別作另兩邊的平行線（如邊AC上任取一點D，過D作DE∥AB，DF∥BC，分別相交于E、F，如圖4所示），利用平行線性質即可證得三角形內角和為180°。

方法5：在三角形內任取一點（不含邊界），過D分別作AB、BC、CA平行線，分別相交于E、F；G、H；M、N，如圖5所示，利用平行線基本性質即可證得三角形內角和為180°。

上述方法3、方法4、方法5分別借助三角形頂點，邊上的點，內部的點構造平角的模型，從而實現三角形三個內角向共點平角的轉化。方法4和方法5是方法3的延伸和拓展，而方法3又是怎么想到的呢？其本質就是上述小學方法2從“實物”轉化為數學模型的過程，是具體到抽象的歷程，是一次質的飛躍。這個問題在教學過程中的處理尤為重要，教師應充分利用小學階段的拼接圖形為直觀模型，進行觀察抽象，引導學生動手畫出幾何圖形，并作出輔助線，由此即完成了從小學直觀驗證到初中幾何論證的自然對接，順應了學生的思維發展。

2.凸多邊形內角和

從運動與靜止的相對關系來看，對于三角形可以讓一個人沿著三角形周圍走一圈，會發現這個人也正好轉了一圈回到原處，即三角形外角和等于360度；讓人沿著凸n邊形周圍走一圈，最后還是回到原處，這就說明凸n邊形外角和是一個定值，恒為360°。

事實上，我們還可以由以下方法得到凸n邊形外角和恒為360°，如圖6所示。

有了這一新的發現，我們可以得到以下方法：

證法1：對于凸n邊形，我們將凸n邊形每一條邊都向同一個時針方向延長（射線），如圖6中的第一個圖，此時發現有n個平角，但是要減去所有的外角，故n邊形內角和：

n×180°-360°=（n-2）x180°。

對于上述得到的凸n邊形內角和等于（n-2）x180°，還可以有其他方法嗎？我們觀察（n-2）x180°相當于n-2個三角形內角和，為此得到：

證法2：對于凸n（n≥3，n∈N）邊形A1A2A3……An，任取其中一個頂點，不妨取A1，將A1分別與A3、A4、…、An-1連接，這樣的連線將凸n邊形分割成n-2個三角形，如圖7所示，故凸n邊形內角和為（n-2）x180°。

由證法2可知，凸多邊形內角和可以轉化為三角形內角和進行求解，三角形是初中階段的基本圖形，任意凸多邊形都可以分割轉化為多個三角形，這是一種基本的解題思路，也是在教學過程中必須讓學生掌握的方法。由特殊到一般，我們還可以在多邊形內部任取一點O（如圖8所示），或在多邊形的邊上任取一點O（不含端點）（如圖9所示），甚至在多邊形外部任取一點，即平面內任取一點與多邊形頂點連接，對多邊形進行分割，都可以證得結論成立（證明過程略）。

由以上方法可知，幾何證明教學中，教會學生畫圖、識圖，多角度探究與思考，掌握基本圖形的性質，滲透模型思想，從特殊到一般，轉化和化歸的思想等培養學生的幾何直觀，是初中階段的邊界。

上述都是從分割的角度來思考，能否從有限與無限的辯證關系來尋求問題的解決呢？

3.高中數學歸納法

證法3：（類比、歸納與猜想）三角形內角和等于180°，四邊形內角和呢？五邊形呢？凸n邊形呢？同樣采取分割的方法可知：

當n=4時，2×180°=（4-2）×180°=360°。

當n=5時，3×180°=（5-2）×180°=540°。