凸顯模型價值，學(xué)習(xí)方程概念

王鋒琴

方程是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)概念，傳統(tǒng)教學(xué)往往過于注重傳授方程的形式化定義——“含有未知數(shù)的等式”，強(qiáng)調(diào)方程的外部特征，以學(xué)生能辨認(rèn)方程為主要認(rèn)知目標(biāo)。張齊華老師執(zhí)教的“認(rèn)識方程”一課，則將方程的形式化特征與其價值有機(jī)融合，在解決問題的需要之中，體現(xiàn)方程的價值，突出等量關(guān)系在方程概念中的重要地位，凸顯方程作為一種模型的價值，構(gòu)建方程的概念。

【片段一】感受價值，建立關(guān)系

師：怎樣把一個未知數(shù)變成已知數(shù)呢？知道張老師今年多大嗎？

生：不知道。

師：既然不知道，那它就是個未知數(shù)，哪位同學(xué)的年齡是已知數(shù)？

（一個學(xué)生示意他的年齡是11歲，教師在已知數(shù)下面板書：11。）

師：現(xiàn)在，如果我告訴大家，我的年齡和他的年齡之間的某種關(guān)系，你能不能知道我的年齡？

生（很肯定地）：能！

師（神秘地）：偷偷告訴大家，如果把我的年齡減去20歲，還要比他大，誰知道，我今年多大？

生：不能確定。

師：看來，根據(jù)這一年齡關(guān)系，還沒法確定我的年齡。這樣吧，我再換一條試試：如果我的年齡減去30歲，就要比他小了。

生：還是沒法確定！

師：奇怪了，給你這樣的關(guān)系不行，那樣的關(guān)系也不行。那你們到底要知道怎樣的關(guān)系？

生：不能大也不能小，要正好相等。

師：好厲害的想法！那行，如果現(xiàn)在我告訴你們，把我的年齡減去25歲，正好和他的年齡相等。

生：36歲！

師：奇怪，三句話，同樣都告訴了“我的年齡”和“他的年齡”之間的關(guān)系，為什么前兩回都不行，而這回就行了呢？

生：因為前兩回只說了你的年齡減掉幾歲后，要么比他多，要么比他少，所以我們無法確定。但這一次直接告訴相差25歲。

師：說得真好！不過，如果用數(shù)學(xué)的方式來觀察和思考，數(shù)學(xué)問題或許會顯得更清楚、更簡潔。下面我們試著把這三組關(guān)系，用含有字母的式子表示出來，看看大家會有什么新發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)，只要有了等號，我們就知道未知數(shù)是多少。

師：可別小看這個等號哦，正因為有了它，我們才能夠在未知數(shù)x和已知數(shù)11之間建立起某種等量關(guān)系，并根據(jù)等量關(guān)系找到未知數(shù)的結(jié)果。像這樣，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等量關(guān)系式，我們就把它叫做方程。

【賞析】方程是建立未知與已知之間等量關(guān)系的模型。張老師立足于這一本質(zhì)，用猜年齡的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生將已知與未知建立聯(lián)系，在經(jīng)歷兩次不等關(guān)系的“失敗”之后，已知與未知之間的等量關(guān)系呼之欲出，從而凸顯了方程的價值。這一設(shè)計特別注重方程的價值，也就是在解決問題的過程中建立等量關(guān)系，理解方程的意義，而不是把方程的意義與解決問題相分離，使方程的意義退化成一堆無用的符號碎片，造成對方程的認(rèn)識僵化。只有運(yùn)用方程知識，才能體現(xiàn)其價值，才能讓其生動活潑起來。學(xué)生在初步學(xué)習(xí)方程時，面臨的最大問題是：總是將思維聚焦于如何去求未知量，習(xí)慣于從問題出發(fā)或條件出發(fā)進(jìn)行推理求解，而不是主要著眼于相應(yīng)的等量關(guān)系。張老師將方程的認(rèn)識立足于等量關(guān)系，突出等量關(guān)系在認(rèn)識方程中的地位，方程沒有經(jīng)過任何運(yùn)算，只是闡述一個事實本身，一個沒有經(jīng)過任何加工的事實本身。

【片段二】豐富意義，深入認(rèn)識

（教師出示蘋果、西紅柿、西瓜、梨、草莓。）

師：它們的質(zhì)量都是未知數(shù)，有什么東西能使它們變成已知數(shù)嗎？

生：天平。

師：有了天平與砝碼就一定能知道它們的質(zhì)量嗎？出示下圖。

師：觀察上圖，哪些水果的質(zhì)量已知，哪些未知？把你的想法在小組內(nèi)說一說。

（學(xué)生交流。）

師：2號天平也有天平與砝碼，為什么西瓜的質(zhì)量我們沒法知道？

生：因為天平?jīng)]有平衡。

師：能不能說得專業(yè)一點(diǎn)？

生：因為2號天平中，未知數(shù)和已知數(shù)之間沒有建立起等量關(guān)系。

師：可3號天平建立了等量關(guān)系啊。

生：雖然建立了等量關(guān)系，但兩種水果的質(zhì)量都是未知數(shù)，沒有已知數(shù)。

生：這里的未知數(shù)沒有和已知數(shù)建立等量關(guān)系。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，相信大家對方程已經(jīng)有了初步認(rèn)識。這些式子中，有方程嗎？

（教師根據(jù)學(xué)生的回答整理出板書。）

【賞析】這一教學(xué)環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握方程的形式化定義。重視方程的價值，并不是說方程的形式化定義不重要，而是這種定義要讓學(xué)生感受到其價值，學(xué)生才有學(xué)習(xí)的意愿。學(xué)生對方程有了初步認(rèn)識之后，這里利用天平，再一次豐富學(xué)生對方程的認(rèn)識，因為天平是等量關(guān)系最直觀形象的表達(dá)，直觀地表示出方程的實質(zhì)是建立已知與未知之間等量關(guān)系。烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的?！痹谝淮未蔚谋容^辨析中，自然剝離了方程的非本質(zhì)屬性，逼近了方程的本質(zhì)，方程的概念呼之欲出。設(shè)計的練習(xí)采用正反例強(qiáng)化策略，緊緊圍繞方程意義中的要素——未知量和等式，科學(xué)合理。

【片段三】感受模型，體會思想

（學(xué)生分別列出4x=320。）

師：觀察這三道題，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：列出的方程都一樣。

師：奇怪，三個問題各不相同，怎么列出的方程是一樣的？

生：因為它們說的都是同一件事。

師：既然這樣，那你還能再找到一個問題，也列出這樣的方程嗎？

（學(xué)生交流，匯報。）

師：這樣的問題，能找到多少個？

生：無數(shù)個。

師：那這無數(shù)個問題，為什么只需要一個方程就能表示出來？

生：因為它們的數(shù)量關(guān)系是一樣的。

師：是啊，只要它們具有同樣的數(shù)量關(guān)系，無論多少個問題，一個方程就能概括。這就是方程的魅力所在。

【賞析】方程即模型，方程背后是建模思想。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！痹谶@一教學(xué)環(huán)節(jié)中，張老師精心設(shè)計了3個不同的情境，抽象出同一個方程。在反思中，學(xué)生剝離了具體的情境，意識到“說的是同一件事”，實質(zhì)就是讓學(xué)生“去情境化”的過程，學(xué)生意識到這是一個模型。走出情境，是為了讓學(xué)生建立模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程。讓學(xué)生再找列出同樣方程的問題情境，是為了加深對模型的認(rèn)識，也是數(shù)學(xué)化的過程，在數(shù)學(xué)與生活之間轉(zhuǎn)化，豐富了學(xué)生的抽象思維，著力于思維深刻性的培養(yǎng)。

筆者再次反思張老師的教學(xué)，不僅折服于他的教學(xué)藝術(shù)，更欣賞他對方程概念的深刻認(rèn)識。概念教學(xué)不是從概念到概念，而要深入到概念的深處——內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想及其在整個數(shù)學(xué)體系中的作用，這樣的教學(xué)才有利于學(xué)生對概念整體性的領(lǐng)悟與把握。