挖掘數學內在美，讓常規教學更有魅力

杜煜

【摘 要】數學美不僅僅蘊含在特殊數學內容中，還蘊含在數學學習的各個情境中。在數學常規教學中，捕捉隱藏的數學美，使以往平庸的課堂展現美的情境，進而啟迪學生用數學美思想去解決數學問題，這是提高學生學習效果的普遍性的教學策略。

【關鍵詞】數學美 審美規律 常規教學

如果我們問學生什么是美，得到的答案基本都是說“好看的就是美”。由此反映出我們教學中的一個誤區：以往在我們的數學常規教學中，更多關注數學外在形式美和一些特殊數學問題中的美，而忽視廣泛的數學美特別是數學內在隱藏的規律美，好像數學美思想滲透的載體只是美的形式，凸顯的是一部分特殊數學內容，大量的數學知識學習似乎與數學美無緣，學生數學學習絕大多數在枯燥與乏味中度過，而感受不到數學美的“滋味”。事實上，數學美不僅體現在特殊的數學內容和外在形式上，更普遍地體現在數學內涵的本質規律上。古代哲學家、數學家普羅科拉斯斷言：“哪里有數，哪里就有美。”數學教學中，注意挖掘數學知識背后隱藏的數學美的因素，讓數學美在普遍的常規課堂中都能得到體現，學生的數學學習才會感到有滋有味，我們的數學教學才更有生命力。下面筆者通過“梯形的面積”同課異構教學片段的對比賞析，來體驗常規教學中數學美的魅力，思考透過現象挖掘內在數學美和運用數學美的教學途徑。

一、以美引學，重啟數學美與常規教學的開端

在教學導入環節的情境創設中，教師更多關注的是學生的認知與興趣，而忽視數學美的情境效應，事實上，后者十分重要。我們看“梯形的面積”教學中兩種創設情境的對比。

【導入片段一】

教師出示問題：（1）計算圖中平行四邊形的面積；（2）平行四邊形面積和三角形面積的計算公式是怎么推導出來的？求三角形面積為什么要“除以2”？（3）受此啟發，你能不能求出圖中的梯形面積？

【導入片段二】

師：同學們，該圖案美不美？它主要由什么圖形構成？

生：美，是由平行四邊形構成的（這是對圖形形成感知，是感受后產生的美感，但還沒達到美的理性思考層面）。

師：平行四邊形對邊平行，對邊相等，對角相等，它的形狀美，因而人們常常應用它來設計圖案，但它的美不僅僅體現在形狀上，它這個家族還含有長方形、正方形和菱形。如圖5，它的邊長和高都已知時，它的周長和面積都可求……此時我們會感到它是一個完美的圖形。（學生在美感的激發和教師的啟迪下，美的理性思考初步產生）

師：我將該平行四邊形沿一條線剪開（如圖6），去掉一部分，剩下的是梯形，該圖形還有原來的圖形美嗎？

生：形狀沒有原來的美了，面積我們也不會求了。（學生產生了與美感相悖的失落感）

師：剩下的圖形和原圖相比，在大家心目中是個殘缺的圖形，因為在這里，形狀不好看了，周長和面積我們也不會求了。（學生回味完整圖形的形式美，甚至產生將圖形還原的念頭，滋生對美的理性思考，為以后環節的思考埋下伏筆）

【思考】導入方式一是我們熟悉并常用的，它通過復習相關的舊知來引出新知。該教學思路明確了學生探究的方向，但忽視了數學美的因素。導入方式二讓學生在課始就欣賞數學所帶來的外在形式美。這好像在做與本課主題無關的事，其實則不然，這是以學生的數學審美經驗為基礎，不斷引導學生主觀上對數學外在美進行捕捉、欣賞和體驗，為以下發現數學內在美及滋生相關數學美思想方法提供動力因素。相比較，導入方式二更發揮了數學美的效應，更能對準學生思維的活躍點，開啟了數學美與常規教學的結合點。

二、順美導學，深化數學美與常規教學的融合

數學教學中的引導，第一個誤區是只關注學生情感的激發而忽視遵循認知規律；第二個誤區是只關注學生思維過程而忽視數學美感的激發。我們接著前面導入環節進入到推導梯形的面積公式環節來進行對比分析。

【探究片段一】（1）學生各小組拿出自己準備好的梯形紙片，剪一剪、拼一拼，推導梯形面積公式；（2）各組互相交流得出：兩個完全一樣的梯形能拼成一個平行四邊形；平行四邊形的底等于梯形的上、下底之和，高等于梯形的高；梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，即梯形面積為（上底+下底）×高÷2 。

【探究片段二】師：該圖原來是由小正方形拼成的類似平行四邊形，剪下一些后，剩下這殘缺圖形，圖形形狀好像梯形，你能算出這里小正方形的塊數嗎？

生：6+7+8+9+10=40。

師：同學們不感到這樣一行一行地加，運算煩瑣嗎？（學生在教師啟迪下思考簡潔算法，實際是在尋求內在的簡潔美）

師：該計算煩瑣的原因是各行小正方形個數不等，若各行的小正方形個數相等，我們就可用乘法計算了。該圖形是個殘缺的圖形，計算煩瑣是殘缺造成的吧？（教師的啟迪“一石激起千層浪”，學生在激情中思考將圖形復原，恢復整體美）

師生共同得到下面美麗的圖形，求得小正方形個數為（10+6）×5÷2=40。

師：一個不好計算的圖形，有可能是個殘缺的圖形，我們要學會將圖形整體復原，變為完美。一個完美的圖形往往和很多數學知識相關，將不完美的圖形復原為完美的圖形，往往會從中發現解題思路。下面我們學習梯形面積公式。

師出示問題：如圖11，求該梯形面積（單位：厘米）。

（前面教學為學生創設了美的情境，積淀了數學美的思考。此時學生在數學美的感染下，萌發了學習激情，將殘缺圖形復原，占優勢思維狀態，在自主探索中求得面積，如圖12）

師出示問題：求梯形面積（如圖13）。

（學生在數學美的感染中自主探索得到梯形面積公式，如圖14）

師：現在梯形已經有了面積計算公式，這樣就變得完美了吧？在數學中，有這樣一個規律：一個完美的圖形，往往是形狀好看、和很多數學知識有直接關聯的圖形。當遇到一個圖形不典型、很難求解的問題時，可想象它是個殘缺不完美的圖形，將其轉化為一個完美的圖形，有時能求得問題解答。

【思考】探究片段一設計時考慮的關鍵是學生經歷發現過程，引發他們的探究欲望，培養數學興趣。而探究片段二，正如王永春教授所說，“讓人看到了數學美的魅力和橋梁作用”。此時教師在“梯形面積公式直接推導”中并沒做多少講解工作，而將工作主要放在前面的美感激發上。此后由于前面數學美思想的感染，學生大腦中已經將轉化、類比等思考和數學美融為一體，學生的思路已經打開了。這些美感、激情和數學方法會有效遷移到后面的梯形面積公式的推導中。教師將梯形面積公式的推導這一重點內容放手交給學生，發揮了學生的主體作用，反而有效實現了重點內容的教學目標。

通過同課異構的對比，我們發現數學美情境效應的魅力，讓人想到“化腐朽為神奇”這句話。德國一位學者有過一句精辟的比喻：將 15 克鹽放在你的面前，無論如何你難以下咽，但當將 15 克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就在享用佳肴的過程中不知不覺地將15 克鹽全部吸收了。數學美對常規教學好比這湯與鹽，我們只有讓學生經歷數學美的感知、感受、感動過程，引導學生進行數學美的理性思考，才能促進學生形成穩定的數學美的心理，從而喜愛數學這碗好喝的湯，我們的常規教學才能避免讓學生的數學學習產生味同嚼蠟之境，而對數學課有著回味無窮之感。

（浙江省衢州市衢江區橫路中心小學 324000）