既是“解決問題”，更是“分數的再認識”

俞軍

【摘 要】“求一個數是另一個數的幾分之幾”既是“解決問題”，更是“分數的再認識”，即分數比定義的認識。基于此，本課教學應側重引導學生理解分數是兩個整數之比，并讓學生充分認識到它是分數意義教學的延續和遞進，可以通過遷移、類推達成理解。

【關鍵詞】解決問題 再認識 遷移 類推

【教學內容】

人教版教材五年級下冊第50頁例3。

【教材分析】

分數的認識，對于小學生來說是一個比較抽象的概念，“求一個數是另一個數的幾分之幾”其實是分數認識中的一個重要節點。在這之前，學生已經學習了分數的意義、分數與除法的關系；在這之后又要學習真分數與假分數，六年級分數乘、除法解決問題也與本課內容息息相關。從分數的定義來看，“分數的意義”一課，教材著重從“平均分”的角度闡釋分數的意義；“分數與除法的關系”一課，教材只是呈現關系并未引導聯系“商定義”；本課側重讓學生理解分數是兩個整數之比。通過三節課的學習，讓學生完善對分數兩種含義的理解。一種含義是表示一個具體的數量，如米、千克等；另一種含義表示兩個數（或數量）之間的關系，是一個比率，具有無量綱性。

教材上求“7只鵝是10只鴨的幾分之幾”，是根據絕大部分學生能夠自行獲得的“鵝的只數是鴨的十分之七”這個分數結果，再依據分數與除法的關系，得出求“7只鵝是10只鴨的幾分之幾”可以用除法計算。對此，筆者認為由十分之七這個結果推出列式為除法還是比較別扭的。

用張奠宙教授文章中的觀點來看，“目前的小學數學教材大多回避這一定義，只是用‘分數和除法的關系，分數是分子除以分母這樣不著邊際的話蒙混過去”。“人教版教材在用黑體字寫出分數與除法的關系之后，馬上給出分數的比定義，所用例題是：小新家養鵝7只，養鴨10只，養鵝的只數是鴨的幾分之幾？這個彎子繞得很大，恐怕要多做些鋪墊才好”。

其實張教授談到的例題是實驗稿時的編排，現在的修訂版例題變為：小新家養鵝7只，養鴨10只，養雞20只。鵝的只數是鴨的幾分之幾？雞的只數是鴨的多少倍？

我們不難發現，修訂教材已經試圖通過對比，溝通求一個數是另一個數的幾分之幾或者幾倍在本質上是一樣的。但例題所附除法由來還是與實驗稿相同。

【學情分析】

為了更好地了解學生的學習起點，我們對200名五年級學生進行了前測。

問題一：媽媽買了4個蘋果，又買了（ ）個梨，梨的個數是蘋果的（ ）。

問題二：下面這個圖形你看出了什么分數？

1.學生真的理解嗎？

問題一說明部分學生在直面兩個數量間的關系時，只能從整數倍來理解，60%的學生已經知道分數也可以表示兩個數（或數量）之間的關系。但是，在隨后的訪談中，我們發現填寫了分數的學生，也并不真正理解一個數是另一個數的幾分之幾所表示的意義。一位學生在課后找到筆者說：“老師，你算錯了。”“為什么呀？”“11÷7=。”筆者愣了一下，恍然大悟。在學生的腦海中，分數就是要比1小的，比1大了，這是不可能的。

2.要出現假分數嗎？

學生之所以出現上面的疑問，是因為人教版教材在編寫本課時，回避了假分數，把假分數和真分數的認識放到了下一課時。而另外版本的教材，都是把假分數與求一個數是另一個數的幾分之幾放在一起的，兩個數（或數量）之間相比，自然而然就出現了假分數。因此，本節課有必要出現假分數。

【教學目標】

（1）理解“求一個數是另一個數的幾分之幾”用除法計算，進一步拓展和加深對分數意義的理解。

（2）經歷探究“求一個數是另一個數的幾分之幾”的解答過程，滲透類比推理的數學方法。

（3）初步感知事物間在一定的條件下是可以相互轉化的辯證唯物主義觀點。

【教學過程】

（一）激活經驗，喚醒對分數的原認知

教師邊說邊畫出下圖：媽媽買了4個蘋果，已經吃了3個，已經吃的個數是總個數的（ ）。

生（齊答）：四分之三。

師：這里的四分之三你是怎么理解的？（根據學生回答，師逐步完善上圖，最終得到下圖）

生：把4個蘋果看作單位“1”，平均分成4份，已經吃的個數表示這樣的3份，所以用四分之三表示。

（反思：通過這樣的學習材料能有效激活學生對分數意義的已有認知，即分數就是把單位“1”平均分成若干份后表示這樣的一份或幾份的數，進一步加深了學生對四種分數定義中“份數定義”的理解，為后面引導學生進一步認識分數奠定了基礎。）

（二）類比推理，實現對分數的再認識

教師邊說邊畫在大黑板上：現在媽媽買了4個蘋果，又買了12個梨，梨的個數是蘋果的（ ）。

梨：

蘋果：

師：怎樣列算式？（板書：12÷4=3）這里把誰看作了標準？

生：把4個蘋果看作了標準。

師：從圖中你看到3倍了嗎？誰上來圈一圈？

師（擦去4個梨）：如果媽媽買8個梨，算式又是怎樣列的呢？（板書：8÷4=2）

師（再擦去4個梨）：梨繼續減少，如果買4個呢？（板書：4÷4=1）

師（再擦去1個梨）：假如媽媽買3個梨，算式又該怎樣列呢？一起說吧！（板書：3÷4=）

師：誰能說一說，這里的你是怎么理解的呢？

師啟發：通過前面的學習，我們都知道3個蘋果是4個蘋果的四分之三，現在可是3個梨呀，不一樣的哦，3個梨怎么也是4個蘋果的四分之三呢？這是什么道理？

師：下面請四人小組討論一下其中的緣由。誰來說說其中的原因？

生：這里比的是個數，即在個數上，3個梨相當于3個蘋果。

師：什么意思？誰聽懂了？

生：在這里大家都是在比個數，都是3個對3個，不是比什么重量、形狀等等。

師：現在你對這里的有什么新的認識？（指名提問）

生：把4個蘋果看作單位“1”，平均分成4份，1個蘋果是它的，1個梨的個數相當于1個蘋果，因此1個梨也就相當于這個整體的，3個梨也就相當于這個整體的。

師：誰聽懂了？（指名復述）

師（再擦去1個梨）：如果媽媽買2個梨，算式怎樣列呢？（板書：2÷4=）

師（再擦去1個梨）：假如買1個梨呢？（板書：1÷4=）

師小結：同學們，現在黑板上有6個算式，上面三個算式的商都是整數，都是在求一個數是另一個數的幾倍；后面三個算式的商都是幾分之幾，這就是這節課我們要學習的求一個數是另一個數的幾分之幾。（板書課題）

（反思：教師在這個環節的教學中舍得花時、重點潑墨，通過類比推理，引導學生理解：即在個數上，3個梨相當于3個蘋果，自然3個梨也是4個蘋果這個整體的，讓學生深深地感悟到分數不僅僅是把一個整體平均分成若干份表示這樣的一份或幾份的數，還可以表示兩個數（或數量）之間的一種關系，有效地突破了學生對分數的原認知，并順利地實現了對分數的新認識。）

（三）夯實模型，鞏固對分數的再認識

師：根據屏幕上提供的信息，你能用今天學到的知識提一個數學問題并解決嗎？（學生獨立提問解答，教師巡視）

集體交流：說說你提的是哪個數學問題？

生答師板書：籃球的個數是排球的幾分之幾？

師：這個數學問題你會解決嗎？（生答師板書：7÷20=）說說這里的你是怎么理解的？

師：請說說你寫的算式，讓其他同學猜猜你解決的是哪一個數學問題。（生答師板書算式）

生答師板書每個算式相對應的問題。

師：黑板上哪個分數你有點看不太明白？

生：。

師：沒關系，那我們先來看10÷7解決的是哪個問題。這里是把誰看作單位“1”？

生：把7個籃球看作單位“1”

師：想一想，這里的又是什么意思？

比較：我們一起看這兩個問題“籃球的個數是足球的幾分之幾？（）”和“足球的個數是籃球的幾分之幾？（）”，它們都在研究籃球和足球之間的關系，為什么得到的結果卻不一樣呢？（生：因為它們的單位“1”不同）

總結：同學們，一開始的回顧，讓我們回憶起了3個蘋果是4個蘋果這個整體的四分之三，接著通過新課的學習，讓我們明白了3個梨在個數上就相當于3個蘋果，所以3個梨也是4個蘋果的四分之三，因為有了這種新變化，所以也就出現了像這樣與眾不同的分數。

（反思：這個環節主要采用開放式的教學，先讓學生自主提問、自主解決，然后再集體交流所提的問題和相應的算式，通過豐富的、相類似的問題與算式，引導學生進一步強化對分數的再認識，即分數還可以表示部分和部分之間的關系，而不僅僅是部分和整體之間的關系。因此，假分數的出現變得不那么突然，不那么難以接受。）

（四）拓展延伸，深化對分數的再認識

1.從形到數，完善意義。

師：請一起看屏幕（見下圖），從圖中你看到分數了嗎？

生答教師板書： ……

師：你能看懂哪個分數？能說說誰是誰的幾分之幾嗎？

生：陰影部分三角形的個數是整體的。

生：空白三角形的個數是整體的。

生：紅色三角形的個數是空白三角形的……

2.從數到形，延伸意義。

師：課件出示：五（2）班女生人數相當于男生人數的。（齊讀）

師：你能用一幅圖來表示這句話的意思嗎？

學生動手畫圖，教師巡視，收集材料。

反饋交流：有位同學這樣畫，你看得懂嗎？

教師投影出示學生的作品：

男生

女生

師：這位同學用線段圖表示的，誰看懂了？

投影出示學生的作品：

男生

女生

師：根據這個線段圖，你還想到了哪些分數？

生： ……

反饋： 你是怎么想的？， 又是什么意思？

師：誰能看懂？（生：相差的一份是男生的）相差的一份在哪里？誰上來指一指？呢？（生：相差的一份是女生的）如果老師寫一個又表示什么意思呢？

啟發：都是相差的1份，為什么得到的結果卻不一樣呢？

生：因為單位“1”不同。

（反思：這個環節旨在幫助學生進一步拓展和延伸對分數的認識，即幫助學生理解分數的第三種定義，即比定義：它是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整體，也可以是部分，把一部分當作新的整體。同時，還力圖讓學生體會到這里的比是一個有序概念，顛倒兩個數（或數量）之間的比較順序，就得到另一個比。）

（五）課堂小結，梳理對分數的再認識

通過這節課的學習，你對分數有了哪些新的認識？

生：分數不一定表示部分和整體之間的關系，也可以是不同物體之間的關系。

生：分數不一定都是分子比分母小，也有可能分子比分母大。

生：同一個圖，從不同的角度觀察可以看到不同的分數。

（反思：通過課堂小結、梳理，使學生對分數有了更加系統、深刻的認識，即分數不僅僅表示同一類數量之間的比，也可以表示不同類數量之間的比；分數不一定都是分子比分母小，也有可能分子和分母一樣大，甚至分子比分母大；分數的分子和分母隨著兩個數（或數量）之間的比較順序的顛倒而交換位置；等等。這對將來靈活地運用分數大有裨益。）

【總體思考】

整節課，在厘清份數定義顯示過程，商定義表示結果的基礎上，旨在著力解決如何妥善實現由算式到結果這一教學難題，同時深入思考與之有相同本質的已有數學知識，并最終確認應該是“如修訂版教材中所要體現的求一個數是另一個數的幾倍”。綜觀兩個數（或數量）相比，既可比較相差多少即差比，又可比較兩者的倍數關系即倍比。求一個數是另一個數的幾分之幾，其實質就是倍比，所以整節課的新授部分先由求一個數是另一個數的幾倍引入，后運用類比推理的方法展開教學，最終由商定義得出商是整數時我們說一個數是另一個數的幾倍，當商不是整數時我們就說一個數是另一個數的幾分之幾，自然地獲得求一個數是另一個數的幾分之幾也用除法計算的思考方法。

另外，在細細解讀張奠宙教授的觀點“已經學過比和比例之后的小學六年級學生仍然有缺乏用比和比例的眼光去審視分數的缺陷”“在小學數學教學中，在講比和比例的時候，應該補充‘分數的再認識，這對將來靈活地運用分數很有好處”等之后，更加堅定了筆者對此例題的定位，那就是此例題既是“解決問題”，更是“分數的再認識”，即分數比定義的認識。因此，教師在練習中進一步豐富學生對比定義的認知，力圖讓學生在自主嘗試中體會到部分與部分之比、部分與和之比、差與部分之比、差與和之比等等，有的問題即使不能當堂解決，但對學生六年級學習分數（或百分數）解決問題時應該會有不少的幫助。

總之，作為數學教師既要讀懂知識發展的思維軌跡，又要讀懂學生學習的思維軌跡，兩者同樣重要，缺一不可，只有讓知識發展的思維軌跡和學生學習的思維軌跡和諧共振，課堂才會更有張力、更有魅力、更能煥發出生命活力。

參考文獻：

[1]張奠宙.“分數”教學中需要澄清的幾個數學問題[J]. 小學教學（數學版）， 2010（1）.

[2]王永.從分數產生的現實背景認識分數的本質 [J]. 小學教學（數學版）， 2008（4）.

（浙江省平湖市叔同實驗小學 314200）