形數結合在中學數學解題中的應用

王合平

【摘 要】數學中兩大研究對象“數”與 “形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合貫穿于數學發展中的一條主線，使數學在實踐中的應用更加廣泛和深遠。“以形助數”和“以數解形”這兩個方面，相互滲透，不僅使學生掌握解題方法的要領，提高分析問題和解決問題的能力，也廣泛應用在其他學科上，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。

【關鍵詞】數形結合思想；中學數學；解題

數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，在中學學習中應用數形結合的思想，可以解決很多問題，這里介紹常見幾種：

一、解決函數問題

借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法。函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。

例： 設函數 若f（x0）>1，則x0的取值范圍是（ ）

解法2：如圖1，在同一坐標系中，作出函數y=f（x）的圖象和直線y=l，它們相交于（-1，1）和（1，1）兩點，由 f（x）>1 得x<-1或x>1.

通過對比兩種解法，對引入數形結合的第二種解法學生更易接受，其直觀、形象的優點更加突顯出來。

二、解決方程與不等式的問題

處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

例：方程lgx=sinx的實根的個數為（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

提示：畫出在同一坐標系中的圖象，即可。選（c）

三、解決三角函數問題

有關三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖象來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。

例：解三角不等式組

分析：利用三角函數的圖像或三角函數線（如圖）求解，先求出一個周期上的解再寫出全部。

解答：

由圖得解集為：

四、解決線性規劃問題

線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用。

例：已知變量x、y滿足條件則x+y的最大值是（ ）

A.2 B.5 C.6 D.8

解析：如圖所示，可行域為圖中陰影部分（包括邊界線），則z=x+y在A點處取得最大值，由得A（3，3），故最大值為3+3=6.

以“形”代“數”雖然存在許多優點，但卻無法精確計算，我們一定要注意正確使用。有時草率作圖，不注意“數”的精確性與“形”的全面性會導致一些錯誤結論。

總之，數和形是事物的數學特征的兩個相互聯系的側面，通常是指數量關系和空間形式之間的辯證統一。數與形的結合使得代數與幾何緊密相聯，息息相關，使得數學更具有生機和活力。